Ранг (дифференциальная топология)

В математике ранг дифференцируемого отображения $f:M\to N$ между дифференцируемыми многообразиями в точке $p\in M$ является рангом производной $f$ в $p$ . Напомним, что производная от $f$ в $p$ это линейная карта

d_{p}f:T_{p}M\to T_{f(p)}N\,

из касательного пространства в точке p к касательному пространству в точке f ( p ). Как линейная карта между векторными пространствами, имеет четко определенный ранг, который представляет собой размерность изображения она в T _{f ( p )} N :

\operatorname {rank} (f)_{p}=\dim(\operatorname {im} (d_{p}f)).

Карты постоянного ранга [ править ]

дифференцируемое отображение f : M → N Говорят, что имеет постоянный ранг , если ранг f одинаков для всех p в M . Карты постоянного ранга обладают рядом замечательных свойств и являются важным понятием в дифференциальной топологии .

Встречаются три особых случая карт постоянного ранга. Отображение постоянного ранга f : M → N — это

погружение , если Rank f = dim M (т.е. производная всюду инъективна ),
субмерсия , если Rank f = dim N (т.е. производная всюду сюръективна ),
локальный диффеоморфизм , если Rank f = dim M = dim N (т. е. производная всюду биективна ).

Для выполнения этих условий само отображение f не обязательно должно быть инъективным, сюръективным или биективным, важно только поведение производной. Например, существуют инъективные отображения, не являющиеся погружениями, и погружения, не являющиеся инъекциями. Однако если f : M → N — гладкое отображение постоянного ранга, то

если f инъективно, это погружение,
если f сюръективно, это погружение,
если f биективен, то это диффеоморфизм .

Карты постоянного ранга имеют хорошее описание в терминах локальных координат . Предположим, что M и N — гладкие многообразия размерностей m и n соответственно, а f : M → N — гладкое отображение постоянного ранга k . Тогда для всех p из M существуют координаты ( x ¹, ..., х ^м) с центром в точке p и координатами ( y ¹, ..., и ^н) с центром в f ( p ) такой, что f задается формулой

f(x^{1},\ldots ,x^{m})=(x^{1},\ldots ,x^{k},0,\ldots ,0)\,

в этих координатах.

Примеры [ править ]

Блокировка подвеса происходит потому, что карта T ³ → РП ³ не имеет ранга 3 во всех точках. На этой анимации показан набор из трех подвесов, смонтированных вместе, что обеспечивает *три* степени свободы в целом (ранг 3 в обычных точках). Когда все три подвеса выровнены (в одной плоскости), система может двигаться из этой конфигурации только в двух измерениях, а не в трех — в такой особой точке она имеет ранг 2 — и находится в *режиме блокировки подвеса* . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не катиться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

часто встречаются карты, ранг которых в общем случае максимален, но снижается в определенных особых точках В системах координат . Например, в сферических координатах ранг карты от двух углов до точки на сфере (формально карта T ² → С ² от тора к сфере) равна 2 в правильных точках, но равна только 1 на северном и южном полюсах ( зените и надире ).

Более тонкий пример встречается на диаграммах SO(3) , группы ротации . Эта группа широко распространена в технике, поскольку трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других областях. Топологически SO(3) — это реальное проективное пространство RP. ³, и часто желательно представлять вращение набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), как потому, что это концептуально просто, так и потому, что можно построить комбинацию из трех подвесов для создания вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора T ³ трех углов к реальному проективному пространству RP ³ вращений, но это отображение не имеет ранга 3 во всех точках (формально потому, что оно не может быть покрывающим , так как единственным (нетривиальным) накрывающим пространством является гиперсфера S ³), а явление падения ранга до 2 в определённых точках в технике называется блокировкой карданного подвеса .

Ссылки [ править ]

Ли, Джон (2003). Введение в гладкие многообразия . Тексты для аспирантов по математике 218 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-95495-0 .