Сплит-бикватернион

В математике расщепленный бикватернион — это гиперкомплексное число вида

$q=w+x\mathrm {i} +y\mathrm {j} +z\mathrm {k} ,$

где w , x , y и z — расщепленные комплексные числа , а i, j и k умножаются, как в группе кватернионов . Поскольку каждый коэффициент w , x , y , z охватывает два действительных измерения , разделенный бикватернион является элементом восьмимерного векторного пространства . Учитывая, что оно выполняет умножение, это векторное пространство является алгеброй над действительным полем или алгеброй над кольцом , где расщепляющиеся комплексные числа образуют кольцо. Эта алгебра была введена Уильямом Кингдоном Клиффордом в статье 1873 года для Лондонского математического общества . С тех пор это неоднократно отмечалось в математической литературе, по-разному как отклонение в терминологии, иллюстрация тензорного произведения алгебр и как иллюстрация прямой суммы алгебр .Сплит-бикватернионы были идентифицированы алгебраистами по-разному; см. § Синонимы ниже.

Современное определение

Сплит-бикватернион является кольцом, изоморфным алгебре Клиффорда Cl _0,3 ( R ). Это геометрическая алгебра, порожденная тремя ортогональными базисными направлениями мнимых единиц, { e ₁ , e ₂ , e ₃ } в соответствии с правилом комбинирования.

$e_{i}e_{j}={\begin{cases}-1&i=j,\\-e_{j}e_{i}&i\neq j\end{cases}}$

давая алгебру, состоящую из 8 базисных элементов {1, e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₁ e ₂ , e ₂ e ₃ , e ₃ e ₁ , e ₁ e ₂ e ₃ } , с ( e ₁ e ₂ ) ² знак равно ( е ₂ е ₃ ) ² знак равно ( е ₃ е ₁ ) ² = −1 и ω ² знак равно ( е ₁ е ₂ е ₃ ) ² = +1.Подалгебра, состоящая из 4 элементов {1, i = e ₁ , j = e ₂ , k = e ₁ e ₂ }, является телом Гамильтона кватернионов , H = Cl _0,2 ( R ) .Таким образом, можно видеть, что

$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \otimes \mathbf {D}$

где D = Cl _1,0 ( R ) — алгебра, натянутая на {1, ω} , алгебра расщепленных комплексных чисел .Эквивалентно,

$\mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbf {R} )\cong \mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .$

Группа расщепленных бикватернионов

Сплит-бикватернионы образуют ассоциативное кольцо , как это ясно из рассмотрения умножений в его базисе {1, ω, i, j, k, ωi, ωj, ωk}. Когда ω присоединяется к группе кватернионов, получается группа из 16 элементов.

( {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k, ω, ωi, ωj, ωk, −ω, −ωi, −ωj, −ωk}, ×).

Модуль

Поскольку элементы {1, i, j, k} группы кватернионов можно взять за основу пространства расщепленных бикватернионов, его можно сравнить с векторным пространством . Но расщепленные комплексные числа образуют кольцо, а не поле, поэтому векторное пространство не подходит. Скорее, пространство расщепленных бикватернионов образует свободный модуль . Этот стандартный термин теории колец выражает сходство с векторным пространством, и примером может служить структура, предложенная Клиффордом в 1873 году. Сплит-бикватернионы образуют алгебру над кольцом , но не групповое кольцо .

Прямая сумма

Прямая сумма тела кватернионов сама с собой обозначается $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$. Произведение двух элементов $(a\oplus b)$ и $(c\oplus d)$ является $ac\oplus bd$ в этой алгебре прямой суммы .

Предложение: Алгебра расщепленных бикватернионов изоморфна $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .$

Доказательство: каждый разделенный бикватернион имеет выражение q = w + z ω, где w и z — кватернионы, а ω ² = +1. Теперь, если p = u + v ω — еще один расщепленный бикватернион, их произведение равно

$pq=uw+vz+(uz+vw)\omega .$

Отображение изоморфизма расщепленных бикватернионов в $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$ дается

$p\mapsto (u+v)\oplus (u-v),\quad q\mapsto (w+z)\oplus (w-z).$

В $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$, произведение этих изображений, согласно алгебраическому произведению $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$ указанное выше, является

$(u+v)(w+z)\oplus (u-v)(w-z).$

Этот элемент также является образом pq при отображении в $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H} .$Таким образом, произведения совпадают, отображение является гомоморфизмом; и поскольку оно биективно , оно является изоморфизмом.

Хотя расщепленные бикватернионы образуют восьмимерное пространство , подобно бикватернионам Гамильтона, на основании Предложения очевидно, что эта алгебра распадается в прямую сумму двух копий реальных кватернионов.

Бикватернион Гамильтона

Сплит-бикватернионы не следует путать с (обычными) бикватернионами, ранее введенными Уильямом Роуэном Гамильтоном . Гамильтона Бикватернионы являются элементами алгебры

$\mathrm {Cl} _{2}(\mathbf {C} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .$

$\mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \mathbf {C} .$

Синонимы

Следующие термины и соединения относятся к алгебре расщепленных бикватернионов:

• эллиптические бикватернионы - Клиффорд 1873 г., , Руни 2007 г.
• Бикватернион Клиффорда – Джоли, 1902 г., , ван дер Варден, 1985 г.
• дикватернионы - Розенфельд, 1997 г.
• $\mathbf {D} \otimes \mathbf {H}$ где D = расщепленные комплексные числа – Бурбаки, 1994 г., , Розенфельд 1997 г.
• $\mathbf {H} \oplus \mathbf {H}$, прямая сумма двух алгебр кватернионов - ван дер Варден, 1985 г.

См. также

• Сплит-октонионы

Ссылки

• Клиффорд, В.К. (1873) Предварительный набросок бикватернионов , страницы 195–7 в математических статьях через Интернет-архив.
• Клиффорд, В.К. (1882) Классификация геометрических алгебр , страница 401 в Mathematical Papers , редактор Р. Такера
• Жирар, PR (1984). «Группа кватернионов и современная физика». Евро. Дж. Физ . 5 (1): 25–32. Бибкод : 1984EJPh....5...25G . дои : 10.1088/0143-0807/5/1/007 . S2CID   250775753 .
• Руни, Джо (2007). «Уильям Кингдон Клиффорд» . В Чеккарелли, Марко (ред.). Выдающиеся деятели в области механизмов и машиноведения: их вклад и наследие . Спрингер. стр. 79–. ISBN  978-1-4020-6366-4 .
• Жоли, Чарльз Джаспер (1905). Руководство по кватернионам . Макмиллан. п. 21 .
• Розенфельд, Борис (1997). Геометрия групп Ли . Клювер. п. 48. ИСБН  978-0-7923-4390-5 .
• Бурбаки, Н. (2013) [1994]. Элементы истории математики . Перевод Мелдрама, Дж. Спрингера. п. 137. ИСБН  978-3-642-61693-8 .
• ван дер Варден, БЛ (1985). История алгебры . Спрингер. п. 188 . ISBN  978-0-387-13610-3 .