Применение двойных кватернионов в 2D-геометрии

Планарное умножение кватернионов

$\times$	$1$	$i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$1$	$1$	$i$	$\varepsilon j$	$\varepsilon k$
$i$	$i$	$-1$	$\varepsilon k$	$-\varepsilon j$
$\varepsilon j$	$\varepsilon j$	$-\varepsilon k$	$0$	$0$
$\varepsilon k$	$\varepsilon k$	$\varepsilon j$	$0$	$0$

В этой статье мы обсуждаем некоторые приложения двойственной алгебры кватернионов к двумерной геометрии. В настоящее время статья сосредоточена на 4-мерной подалгебре двойственных кватернионов, которую мы будем называть планарными кватернионами .

Плоские кватернионы составляют четырехмерную алгебру над действительными числами . Их основное применение — представление движений твердого тела в 2D-пространстве.

В отличие от умножения двойственных чисел или комплексных чисел , умножение плоских кватернионов некоммутативно .

Определение

В этой статье множество плоских кватернионов обозначается $\mathbb {DC}$. Общий элемент $q$ из $\mathbb {DC}$ имеет форму ${\textstyle A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k}$ где $A$, $B$, $C$ и $D$ являются действительными числами; $\varepsilon$ — двойственное число , которое обращается в ноль; и $i$, $j$, и $k$ являются стандартными базисными элементами кватернионов .

Умножение производится так же, как и с кватернионами, но с дополнительным правилом, согласно которому ${\textstyle \varepsilon }$ нильпотентен относительно индекса $2$, то есть, ${\textstyle \varepsilon ^{2}=0}$, что в некоторых обстоятельствах делает ${\textstyle \varepsilon }$ сравнимо с бесконечно малым числом. Отсюда следует, что мультипликативные обратные плоские кватернионы имеют вид

$$(A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k)^{-1}={\frac {A-Bi-C\varepsilon j-D\varepsilon k}{A^{2}+B^{2}}}$$

Набор $\{1,i,\varepsilon j,\varepsilon k\}$ образует основу векторного пространства плоских кватернионов, где скалярами являются действительные числа.

Величина плоского кватерниона $q$ определяется как

$$|q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}.$$

Для приложений в компьютерной графике число $A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ обычно представляется как четырехкортеж $(A,B,C,D)$.

Матричное представление

Плоский кватернион $q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ имеет следующее представление в виде комплексной матрицы 2x2:

$${\begin{pmatrix}A+Bi&C+Di\\0&A-Bi\end{pmatrix}}.$$

Ее также можно представить в виде двойной числовой матрицы 2 × 2:

$${\begin{pmatrix}A+C\varepsilon &-B+D\varepsilon \\B+D\varepsilon &A-C\varepsilon \end{pmatrix}}.$$

Два приведенных выше матричных представления связаны с преобразованиями Мёбиуса и преобразованиями Лагерра соответственно.

Терминология

Алгебру, обсуждаемую в этой статье, иногда называют двойственными комплексными числами . Это название может ввести в заблуждение, поскольку оно предполагает, что алгебра должна иметь форму:

1. Двойные числа, но с записями комплексных чисел
2. Комплексные числа, но с двойными числами.

Алгебра, встречающая любое описание, существует. И оба описания эквивалентны. (Это связано с тем, что тензорное произведение алгебр коммутативно с точностью до изоморфизма ). Эту алгебру можно обозначить как $\mathbb {C} [x]/(x^{2})$ с помощью кольцевого факторинга . Полученная алгебра имеет коммутативное произведение и далее не обсуждается.

тела

Позволять

$$q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$$

быть плоским кватернионом единичной длины, т.е. мы должны иметь это

$$|q|={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}=1.$$

Евклидову плоскость можно представить множеством ${\textstyle \Pi =\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}}$.

Элемент $v=i+x\varepsilon j+y\varepsilon k$ на $\Pi$ представляет точку на евклидовой плоскости с декартовой координатой $(x,y)$.

$q$ заставить действовать можно $v$ к

$$qvq^{-1},$$

какие карты $v$ на какую-то другую точку $\Pi$.

Мы имеем следующие (множественные) полярные формы для $q$:

1. Когда $B\neq 0$, элемент $q$ можно записать как
   $$\cos(\theta /2)+\sin(\theta /2)(i+x\varepsilon j+y\varepsilon k),$$
   что означает поворот на угол $\theta$ вокруг точки $(x,y)$.
2. Когда $B=0$, элемент $q$ можно записать как
   $${\begin{aligned}&1+i(x\varepsilon j+y\varepsilon k)\\={}&1-y\varepsilon j+x\varepsilon k,\end{aligned}}$$
   что означает перевод вектором ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}.$

Геометрическое построение

Принципиальную конструкцию плоских кватернионов можно найти, сначала заметив, что они являются подмножеством двойственных кватернионов .

Есть две геометрические интерпретации двойных кватернионов , обе из которых можно использовать для вывода действия плоских кватернионов на плоскости:

• Как способ представления движений твердого тела в трехмерном пространстве . Тогда можно будет рассматривать плоские кватернионы как подмножество этих движений твердого тела. Это требует некоторого знакомства с тем, как двойственные кватернионы действуют в евклидовом пространстве. Мы не будем описывать этот подход здесь, поскольку он адекватно реализован в других местах .
• Двойные кватернионы можно понимать как «бесконечно малое утолщение» кватернионов. Напомним, что кватернионы можно использовать для представления трехмерных пространственных вращений , а двойственные числа можно использовать для представления « бесконечно малых величин ». Объединение этих функций вместе позволяет бесконечно изменять вращение. Позволять $\Pi$ обозначим бесконечно малую плоскость, лежащую на единичной сфере, равную $\{i+x\varepsilon j+y\varepsilon k\mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}$. Обратите внимание, что $\Pi$ является подмножеством сферы, несмотря на то, что она плоская (это благодаря поведению бесконечно малых двойственных чисел).
  Затем заметьте, что плоские кватернионы, будучи подмножеством двойственных кватернионов, вращают плоскость. $\Pi$ обратно на себя. Эффект, который это оказывает на $v\in \Pi$ зависит от стоимости $q=A+Bi+C\varepsilon j+D\varepsilon k$ в $qvq^{-1}$:
  1. Когда $B\neq 0$, ось вращения направлена ​​в какую-то точку $p$ на $\Pi$, так что точки на $\Pi$ испытать вращение вокруг $p$.
  2. Когда $B=0$ось вращения направлена ​​в сторону от плоскости, а угол поворота бесконечно мал. В этом случае точки на $\Pi$ испытать перевод.

См. также

• Эдуард Стьюд
• Кватернион
• Двойной номер
• Двойной кватернион
• Алгебра Клиффорда
• Изометрия евклидовой плоскости
• Аффинное преобразование
• Проекционная плоскость
• Однородные координаты
• СЛЕРП
• Конформная геометрическая алгебра