До

Два математических объекта $a$ и $b$ называются «равными с точностью до отношения эквивалентности $R$ ».

если $a$ и $b$ связаны $R$ , то есть
если $выполнено aRb$ , т.е.
если эквивалентности a $b$ и $R$ относительно $классы$ равны.

Эта фигура речи чаще всего используется в связи с выражениями, производными от равенства, такими как уникальность или количество.Например, « $x$ уникален вплоть до $R$ » означает, что все рассматриваемые объекты $находятся$ в одном и том же классе эквивалентности относительно отношения $R.$ x

Более того, отношение эквивалентности $R$ часто довольно неявно обозначается порождающим условием или преобразованием.Например, утверждение «факторизация простых чисел целого числа уникальна с точностью до порядка» — это краткий способ сказать, что любые два списка простых множителей данного целого числа эквивалентны относительно отношения $R$ , которое связывает два списка, если один из них может быть получен. путем изменения порядка ( перестановки ) другого. ^[1] В качестве другого примера, утверждение «решением неопределенного интеграла является $sin(x)$ с точностью до добавления константы» молчаливо использует отношение эквивалентности $R$ между функциями, определяемыми $fRg$ , если разность $f - g$ является постоянной функцией, и означает, что решение и функция $sin(x)$ равны до этого $R$ .На рисунке «есть 4 разделения до вращения» означает, что множество $P$ имеет 4 класса эквивалентности относительно $R,$ определенного $aRb$ , если $b$ может быть получено из $a$ путем вращения; по одному представителю от каждого класса показано в нижней левой части рисунка.

Отношения эквивалентности часто используются для игнорирования возможных различий объектов, поэтому «до $R$ » неформально можно понимать как «игнорирование тех же тонкостей, которые $игнорирует R$ ».В примере факторизации «до порядка» означает «игнорирование конкретного порядка».

Дополнительные примеры включают «с точностью до изоморфизма», «с точностью до перестановок» и «с точностью до вращений», которые описаны в разделе «Примеры» .

В неформальном контексте математики часто используют слово modulo (или просто mod ) для аналогичных целей, например, «изоморфизм по модулю».

Примеры [ править ]

Тетрис [ править ]

Рассмотрим семь частей тетриса (I, J, L, O, S, T, Z), математически известных как тетромино . Если вы рассмотрите все возможные повороты этих частей — например, если вы считаете, что буква «I», ориентированная вертикально, отличается от буквы «I», ориентированной горизонтально, — то вы обнаружите, что на экране может отображаться 19 различных возможных форм. (Эти 19 — так называемые «фиксированные» тетромино. ^[2]) Но если вращения не считать отдельными — так что мы безразлично относимся и к «Я вертикально», и к «Я горизонтально» как к «Я», — тогда их будет только семь. семь Мы говорим, что « тетромино с точностью до вращения». Можно также сказать, что «есть пять тетромино, с точностью до вращения и отражения», что объясняет тот факт, что отраженное L дает J, а отраженное S дает Z.

Восемь королев [ править ]

Если в головоломке с восемью ферзями ферзи считаются разными (например, если они раскрашены в восемь разных цветов), то существует 3709440 различных решений. Однако обычно ферзи считаются взаимозаменяемыми, и обычно говорят: «Существует $3 709 440 / 8! = 92$ уникальных решения с точностью до перестановки ферзей» или что «существует 92 решения по модулю имен ферзей». это означает, что два разных расположения ферзей считаются эквивалентными, если ферзи были переставлены местами, при условии, что набор занятых полей остается прежним.

Если бы, помимо того, что ферзи считались идентичными, были бы разрешены вращения и отражения доски, у нас было бы только 12 различных решений «с точностью до симметрии и именования ферзей». Дополнительную информацию см. в разделе «Загадка с восемью королевами» § Решения .

Полигоны [ править ]

Правильный n $-$ угольник при фиксированном $n$ уникален с точностью до подобия . Другими словами, отношение эквивалентности «подобия» над правильными $n$ -угольниками (при фиксированном $n$ ) имеет только один класс эквивалентности; невозможно создать два правильных $n$ -угольника, не похожих друг на друга.

Теория групп [ править ]

В теории групп можно иметь группу $G,$ действующую на множестве $X$ , и в этом случае можно сказать, что два элемента $X$ эквивалентны «с точностью до действия группы» — если они лежат на одной и той же орбите .

Другим типичным примером является утверждение, что «существуют две различные группы порядка 4 с точностью до изоморфизма », или «по модулю изоморфизма существуют две группы порядка 4». Это означает, что если считать изоморфные группы «эквивалентными», то существует только два класса эквивалентности групп порядка 4.

Нестандартный анализ [ править ]

Гиперреальный x $x$ и его стандартная часть $st() равны$ с точностью до бесконечно малой разницы.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Нековарж, Ян (2011). «Математический английский язык (краткое содержание)» (PDF) . Институт математики Жюсье – Париж Рив Гош . Проверено 8 февраля 2024 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Тетромино» . Математический мир . Проверено 26 сентября 2023 г.

[1] Нековарж, Ян (2011). «Математический английский язык (краткое содержание)» (PDF) . Институт математики Жюсье – Париж Рив Гош . Проверено 8 февраля 2024 г.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Тетромино» . Математический мир . Проверено 26 сентября 2023 г.

[1]

[2]