Тетромино

5 бесплатных тетромино
Снимок из типичной игры в тетрис .

Тетромино — это геометрическая фигура, состоящая из четырех квадратов , соединенных ортогонально (то есть по краям, а не по углам). [1] [2] Тетромино, как домино и пентамино , представляют собой особый тип полимино . Соответствующий поликуб , называемый тетракубом , представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из четырех кубов, соединенных ортогонально.

Тетромино популярно используется в видеоигре «Тетрис», созданной советским игровым дизайнером Алексеем Пажитновым , в которой они называются тетримино . [3] Тетромино, используемые в игре, представляют собой односторонние тетромино.

Виды тетромино [ править ]

Бесплатные тетромино [ править ]

Полимино образуются путем соединения единичных квадратов по их краям. — Свободное полимино это полимино, рассматриваемое с точностью до конгруэнтности . То есть два свободных полимино одинаковы, если существует комбинация перемещений , вращений и отражений , превращающая одно в другое. Свободное тетромино — это свободное полимино, составленное из четырех квадратов. Есть пять бесплатных тетромино.

Свободные тетромино имеют следующую симметрию:

  • Прямой: вертикальная и горизонтальная симметрия отражения, а также двойная вращательная симметрия.
  • Квадрат: вертикальная и горизонтальная симметрия отражения и четырехкратная вращательная симметрия.
  • T: только симметрия вертикального отражения
  • Л: нет симметрии
  • S: только двукратная вращательная симметрия
«прямое тетрамино»
«квадратное тетромино»
«Т-тетромино»
«L-тетромино»
"перекос тетромино"

Односторонние тетромино [ править ]

Односторонние тетромино — это тетромино, которые можно перемещать и вращать, но не отражать. Они используются и в подавляющем большинстве связаны с Тетрисом . Существует семь различных односторонних тетромино. Эти тетромино названы по буквам алфавита, на которые они наиболее похожи. Тетромино «I», «O» и «T» обладают отражательной симметрией, поэтому не имеет значения, считаются ли они свободными или односторонними тетромино. Остальные четыре тетромино, «J», «L», «S» и «Z», демонстрируют явление, называемое киративностью . J и L — отражения друг друга, а S и Z — отражения друг друга.

В качестве свободного тетромино J эквивалентен L, а S эквивалентен Z. Но в двух измерениях и без отражений невозможно преобразовать J в L или S в Z.

я
ТО
Т
Дж
л
С
С

тетромино Исправлены ​ ​

Фиксированные тетромино допускают только перемещение, но не вращение или отражение. Существует два отдельных фиксированных I-тетромино: четыре J, четыре L, один O, два S, четыре T и два Z, всего 19 фиксированных тетромино:

Укладка прямоугольника [ править ]

Заполнение прямоугольника одним набором тетромино [ править ]

Один набор свободных тетромино или односторонних тетромино не может поместиться в прямоугольник. Это можно показать с помощью доказательства, подобного рассуждению об изуродованной шахматной доске . Прямоугольник 5х4 с шахматным рисунком имеет 20 квадратов, содержащих 10 светлых и 10 темных квадратов, но полный набор свободных тетромино имеет либо 11 темных квадратов и 9 светлых квадратов, либо 11 светлых квадратов и 9 темных квадратов. Это связано с тем, что тетромино Т имеет либо 3 темных квадрата и один светлый квадрат, либо 3 светлых квадрата и один темный квадрат, в то время как все остальные тетромино имеют по 2 темных квадрата и 2 светлых квадрата. Аналогично, прямоугольник 7×4 имеет 28 квадратов, содержащих по 14 квадратов каждого оттенка, но набор односторонних тетромино имеет либо 15 темных квадратов и 13 светлых квадратов, либо 15 светлых квадратов и 13 темных квадратов. В более широком смысле, любое нечетное количество наборов любого типа не может поместиться в прямоугольник. Кроме того, 19 фиксированных тетромино не могут поместиться в прямоугольник 4×19. Это было обнаружено путем исчерпания всех возможностей компьютерного поиска.

Свободные тетромино (левая сторона линии) состоят из 11 темных и 9 светлых квадратов.
Односторонние тетромино (все семь показаны выше) состоят из 15 темных и 13 светлых квадратов.
На доске 5×4 по 10 клеток каждого цвета.
На доске 7×4 по 14 клеток каждого цвета.

прямоугольника одним набором модифицированного Заполнение тетромино

Однако все три набора тетромино могут соответствовать прямоугольникам с отверстиями:

  • Все 5 бесплатных тетромино помещаются в прямоугольник 7×3 с отверстием.
  • Все 7 односторонних тетромино укладываются в прямоугольник 6х5 с двумя отверстиями одного «шахматного цвета».
  • Все 19 фиксированных тетромино помещаются в прямоугольник 11×7 с отверстием.
Бесплатные тетромино в прямоугольнике с одним отверстием
Односторонние тетромино в прямоугольнике с двумя отверстиями.
Фиксированные тетромино в прямоугольнике с одним отверстием.

прямоугольника двумя наборами Заполнение тетромино

Два набора свободных или односторонних тетромино могут по-разному вписаться в прямоугольник, как показано ниже:

Два набора бесплатных тетромино в прямоугольнике 5х8.
Два набора бесплатных тетромино в прямоугольнике 4×10.
Два набора односторонних тетромино в прямоугольнике 8х7.
Два набора односторонних тетромино в прямоугольнике 14×4.

Этимология [ править ]

Название «тетромино» представляет собой комбинацию приставки тетра- «четыре» (от древнегреческого τετρα- ) и « домино ». Название было введено Соломоном В. Голомбом в 1953 году вместе с другой номенклатурой, связанной с полимино. [4] [1]

Наполнение коробки тетракубами [ править ]

Каждому из пяти свободных тетромино соответствует соответствующий тетракуб, представляющий собой тетромино, выдавленное на одну единицу. J и L представляют собой тот же тетракуб, что и S и Z, поскольку один из них можно вращать вокруг оси, параллельной плоскости тетромино, образуя другой. Возможны еще три тетракуба, все они создаются путем размещения единичного куба на изогнутом трикубе :

я
«прямой тетракуб»
ТО
«квадратный тетракуб»
Т
«Т-тетракуб»
л
«L-тетракуб»
J то же самое, что L в 3D.
С
«косой тетракуб»
Z то же самое, что S в 3D.
Б
"Ветвь"
Д
«Правильный винт»
Ф
«Левый винт»

Тетракубы можно упаковать в двухслойные 3D-коробки несколькими различными способами, в зависимости от размеров коробки и критериев включения. Они показаны как в графической, так и в текстовой диаграмме. Для коробок, в которых используются два набора одинаковых деталей, на графической диаграмме каждый набор изображен как более светлый или темный оттенок одного и того же цвета. На текстовой диаграмме каждый набор обозначен заглавной или строчной буквой. На текстовой диаграмме верхний слой находится слева, а нижний слой — справа. 

1.) 2×4×5 box filled with two sets of free tetrominoes: 

Z Z T t I        l T T T i
L Z Z t I        l l l t i
L z z t I        o o z z i
L L O O I        o o O O i





2.) 2×2×10 box filled with two sets of free tetrominoes:

L L L z z Z Z T O O        o o z z Z Z T T T l
L I I I I t t t O O        o o i i i i t l l l





3.) 2×4×4 box filled with one set of all tetrominoes:

F T T T        F Z Z B
F F T B        Z Z B B
O O L D        L L L D
O O D D        I I I I





4.) 2×2×8 box filled with one set of all tetrominoes: 

D Z Z L O T T T        D L L L O B F F
D D Z Z O B T F        I I I I O B B F





5.) 2×2×7 box filled with tetrominoes, with mirror-image pieces removed:

L L L Z Z B B        L C O O Z Z B
C I I I I T B        C C O O T T T

См. также [ править ]

Предыдущий и следующий заказы [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Jump up to: а б Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-02444-8 .
  2. ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 (2): 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
  3. ^ «О Тетрисе» , Tetris.com. Проверено 19 апреля 2014 г.
  4. ^ Дорогой, Дэвид. «Полимино» . daviddarling.info . Проверено 23 мая 2020 г.

Внешние ссылки [ править ]

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Tetromino&oldid=1205490871"