Тромино
Тромино составленный из или тримино — это полимино размера 3, то есть многоугольник на плоскости, одинакового размера трёх квадратов , соединённых ребром к ребру. [1]
Симметрия и перечисление
[ редактировать ]Когда вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует только два разных свободных тримино: «I» и «L» (форма «L» также называется «V»).
Поскольку оба свободных тримино обладают зеркальной симметрией , они также являются единственными двумя односторонними тримино (тромино с отражениями, которые считаются разными). Если вращения также считаются отдельными, существует шесть фиксированных тримино: две формы I и четыре формы L. Их можно получить, повернув указанные выше формы на 90°, 180° и 270°. [2] [3]
Рептилирование и теорема о тримино Голомба
[ редактировать ]
Оба типа тримино можно разделить на n 2 меньшие тримино того же типа для любого целого числа n > 1. То есть они являются реп-плитами . [4] Продолжение этого расчленения рекурсивно приводит к замощению плоскости, которое во многих случаях является апериодическим замощением . В этом контексте L-тромино называется стулом , а его замощение путем рекурсивного подразделения на четыре меньших L-тромино называется замощением стула . [5]
Вдохновленный проблемой изуродованной шахматной доски , Соломон В. Голомб использовал эту мозаику в качестве основы для того, что стало известно как теорема о тримино Голомба: если любой квадрат удален из 2 н × 2 н шахматной доске, оставшуюся доску можно полностью покрыть L-тромино. Чтобы доказать это методом математической индукции , разделите доску на четверть доски размером 2. n−1 × 2 n−1 который содержит удаленное поле и большое тримино, образованное тремя другими четвертьдосками. Тромино можно рекурсивно разрезать на единичные тримино, и рассечение четверти доски с удалением одной клетки следует по гипотезе индукции.Напротив, когда на шахматной доске такого размера удалена одна клетка, не всегда возможно покрыть оставшиеся клетки I-тромино. [6]
См. также
[ редактировать ]Предыдущий и следующий заказы
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Триомино» . Математический мир .
- ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 : 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
- ^ Ницица, Виорел (2003), «Возвращение к рептилиям», MASS selecta , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 205–217, MR 2027179 .
- ^ Робинсон, Э. Артур младший (1999). «На столе и стуле» . Indagationes Mathematicae . 10 (4): 581–599. дои : 10.1016/S0019-3577(00)87911-2 . МР 1820555 . .
- ^ Голомб, SW (1954). «Шашечные доски и полимино». Американский математический ежемесячник . 61 : 675–682. дои : 10.2307/2307321 . МР 0067055 . .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Индуктивное доказательство Голомба теоремы о тримино при разрезании узла
- Тромино-головоломка в кратчайшие сроки
- Интерактивная головоломка Тромино в Амхерстском колледже
| Полимино | |
|---|---|
| Высшие измерения | |
| Другие | |
| Игры и головоломки | |
