Гептомино

Гептамино 7 - (или 7-омино или септомино ) представляет собой полимино го порядка; то есть многоугольник на плоскости, одинакового размера состоящий из 7 квадратов , соединенных ребром к краю. ^[1] Название этого типа фигур образуется с помощью приставки гепт(а)- . Если не считать вращения и отражения отдельными формами, существует 108 различных свободных гептамино. Если считать отражения отдельными, то получается 196 односторонних гептамино. Если вращения также считать отдельными, существует 760 фиксированных гептамино. ^[2]^[3]

Симметрия

На рисунке показаны все возможные свободные гептамино, раскрашенные в соответствии с их группами симметрии :

84 гептамино (серого цвета) не имеют симметрии . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
9 гептамино (красного цвета) имеют ось симметрии отражения, совмещенную с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и отражения в линии, параллельной сторонам квадратов.

7 гептамино (зеленого цвета) имеют ось симметрии отражения под углом 45° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и диагонального отражения.

4 гептамино (синего цвета) обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия второго порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и поворота на 180°.

3 гептамино (фиолетового цвета) имеют две оси симметрии отражения, обе выровнены по линиям сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: единицы, двух отражений и поворота на 180°. Это группа диэдра второго порядка, также известная как четырехгруппа Клейна .

1 гептамино (оранжевого цвета) имеет две оси симметрии отражения, обе выровнены по диагоналям. Его группа симметрии также состоит из четырех элементов. Его группа симметрии также представляет собой группу диэдра второго порядка с четырьмя элементами.

Если отражения гептамино считать отдельными, как в случае с односторонними гептамино, то каждая из первой и четвертой категорий, указанных выше, увеличится вдвое, в результате чего появятся дополнительные 88 гептамино, всего 196. Если вращения также считаются отдельными, тогда гептамино из первой категории считаются восьмикратными, гептамино из следующих трех категорий — вчетверо, а гептамино из двух последних категорий — дважды. В результате получается 84 × 8 + (9+7+4) × 4 + (3+1) × 2 = 760 фиксированных гептамино.

Упаковка и укладка плитки

Из 108 свободных гептамино 101 удовлетворяет критерию Конвея и еще 3 могут образовать участок, удовлетворяющий критерию. Таким образом, только 4 гептамино не удовлетворяют критерию и, по сути, эти 4 не способны замощить плоскость. ^[4]

этого набора невозможно Хотя полный набор из 108 свободных гептамино состоит в общей сложности из 756 квадратов, выложить прямоугольник из . Доказательство этого тривиально, поскольку существует одно гептамино с дыркой. ^[5] Также невозможно упаковать их в прямоугольник размером 757 квадратов с отверстием в один квадрат, поскольку 757 — простое число.

Однако набор из 107 односвязных свободных гептамино, то есть гептамино без отверстия, может выложить прямоугольник размером 7 на 107 (749 квадратов). ^[6] Кроме того, полный набор свободных гептамино может выложить три прямоугольника размером 11 на 23 (253 квадрата), каждый с одноквадратным отверстием в центре; Полный набор также может выложить двенадцать квадратов размером 8 на 8 (64 квадрата) с одноквадратным отверстием в «центре». ^[7]

Ссылки

^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Гептамино» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 22 июля 2008 г.
^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 (2): 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
^ Роудс, Гленн К. (2005). «Плоские замощения полимино, полигексами и полиалмазами». Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. дои : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .
^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1 .
^ «Полимино: еще больше гептамино!»
^ Изображение «Невероятное решение гептамино Патрика Хэмлина» из «Материала», добавленного в феврале-августе 2001 г. на MathPuzzle.com.

[1] Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Гептамино» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 22 июля 2008 г.

[3] Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 (2): 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .

[4] Роудс, Гленн К. (2005). «Плоские замощения полимино, полигексами и полиалмазами». Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. дои : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .

[Gruenbaum-5] Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1 .

[6] «Полимино: еще больше гептамино!»

[7] Изображение «Невероятное решение гептамино Патрика Хэмлина» из «Материала», добавленного в феврале-августе 2001 г. на MathPuzzle.com.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

v т и Полиформы
Полимино	Домино Тромино Тетромино Пентамино Гексомино Гептомино Октамино Нономино декомино
Высшие измерения	Полиоминоид Поликуб
Другие	Поляболо Полиграфтер Полигекс Полиалмаз Псевдополимино Полистик
Игры и головоломки	Блоки Кубик сомы Змеиный куб Танграм Гексастикс Тантрикс Тетрис
ВикиПроект Портал