Гексомино
Гексомино 6 - (или 6-омино ) — это полимино го порядка; то есть многоугольник на плоскости, одинакового размера состоящий из 6 квадратов , соединенных ребром к краю. [1] Название этого типа фигур образуется с помощью префикса hex(a)- . Если вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 35 различных свободных гексомино. Когда отражения считаются отдельными, имеется 60 односторонних гексомино. Если вращения также считаются отдельными, существует 216 фиксированных гексомино. [2] [3]
Симметрия
[ редактировать ]На рисунке выше показаны все 35 возможных свободных гексомино, раскрашенных в соответствии с их группами симметрии :
- Двадцать серых гексомино не имеют симметрии . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
- Шесть красных гексомино имеют ось зеркальной симметрии, параллельную линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и отражения в линии, параллельной сторонам квадратов.
- Два зеленых гексомино имеют ось зеркальной симметрии, расположенную под углом 45° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и диагонального отражения.
- Пять синих гексомино обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия второго порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и поворота на 180°.
- Два фиолетовых гексомино имеют две оси зеркальной симметрии, обе параллельны линиям сетки (таким образом, одна горизонтальная ось и одна вертикальная ось). Их группа симметрии состоит из четырех элементов. Это группа диэдра второго порядка, также известная как четырехгруппа Клейна .
Если отражения гексомино считаются отдельными, как в случае с односторонними гексомино, то каждая из первой и четвертой категорий, указанных выше, увеличится вдвое, в результате чего появятся дополнительные 25 гексомино, всего 60. Если вращения также считаются отдельными, тогда гексомино из первой категории считаются восьмикратными, из следующих трех категорий — вчетверо, а из последней категории — дважды. В результате получается 20 × 8 + (6 + 2 + 5) × 4 + 2 × 2 = 216 фиксированных гексомино.
Упаковка и укладка плитки
[ редактировать ]Каждое из 35 гексомино удовлетворяет критерию Конвея ; следовательно, каждое гексомино способно замостить плоскость. [4]
невозможно Хотя полный набор из 35 гексомино имеет в общей сложности 210 квадратов, упаковать их в прямоугольник . (Такое расположение возможно с 12 пентамино , которые можно упаковать в любой из прямоугольников 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12 и 6 × 10.) Простой способ продемонстрировать, что такая упаковка гексомино не является возможно через аргумент четности . Если гексамино расположены в шахматном порядке, то 11 гексамино покроют четное количество черных квадратов (либо 2 белых и 4 черных, либо наоборот), а остальные 24 гексамино покроют нечетное количество черных квадратов (3 белых). и 3 черных). В целом, в любой расстановке будет покрыто четное количество черных квадратов. Однако в любом прямоугольнике из 210 квадратов будет 105 черных и 105 белых квадратов, и поэтому он не может быть покрыт 35 гексомино.
Однако есть и другие простые фигуры из 210 квадратов, которые можно упаковать гексомино. Например, квадрат 15×15 с удаленным от центра прямоугольником 3×5 имеет 210 квадратов. При раскраске шахматной доски он имеет 106 белых и 104 черных квадрата (или наоборот), поэтому четность не препятствует упаковке, и упаковка действительно возможна. [5] Также возможно, что два набора фигур поместятся в прямоугольник размера 420, или набор из 60 односторонних гексомино (18 из которых покрывают четное количество черных квадратов) поместятся в прямоугольник размера 360. [6]
Многогранные сети для куба
[ редактировать ]
Многогранная сеть куба обязательно представляет собой гексамино, причем 11 гексамино (показано справа) на самом деле являются сетями. Они появляются справа и снова окрашены в соответствии с их группами симметрии.
Многогранная сетка куба не может содержать ни О-тетромино, ни I-пентамино, ни U-пентамино, ни V-пентамино.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Гексомино» . Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram . Проверено 22 июля 2008 г.
- ^ Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 : 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
- ^ Роудс, Гленн К. (2003). Плоские мозаики и поиск апериодического прототиля . Докторская диссертация, Университет Рутгерса.
- ^ Математические хитрости: Hexominos (на английском языке)
- ^ Конструкции Гексомино
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Страница Юргена Кёллера о гексомино, включая симметрию, упаковку и другие аспекты.
- Страница полимино на Дэвида Эппштейна свалке геометрии
- Одиннадцать анимаций, показывающих узоры куба (на французском языке)
- Полиполигональные мозаики. Архивировано 18 октября 2007 г. в Wayback Machine , Стивен Датч.
| Полимино | |
|---|---|
| Высшие измерения | |
| Другие | |
| Игры и головоломки | |
