Критерий Конвея
В математической теории тесселяций критерий Конвея , названный в честь английского математика Джона Хортона Конвея , является достаточным правилом для определения того, когда прототип замостит плоскость. Он состоит из следующих требований: [1] Плитка должна представлять собой замкнутый топологический диск с шестью последовательными точками A, B, C, D, E и F на границе, такими что:
- граничная часть от A до B конгруэнтна граничной части от E до D посредством трансляции T, где T(A) = E и T(B) = D.
- каждая из граничных частей BC, CD, EF и FA центросимметрична , то есть каждая из них конгруэнтна сама себе при повороте на 180 градусов вокруг своей средней точки.
- некоторые из шести точек могут совпадать, но по крайней мере три из них должны быть разными. [2]
Любой прототип, удовлетворяющий критерию Конвея, допускает периодическое замощение плоскости — и делает это, используя только повороты на 180 градусов. [1] Критерий Конвея является достаточным условием для доказательства того, что прототайл закрывает плоскость, но не является необходимым. Есть тайлы, которые не соответствуют критерию, но все равно закрывают плоскость. [3]
Каждую плитку Конвея можно сложить либо в изотетраэдр , либо в прямоугольный диэдр , и наоборот, каждая развертка изотетраэдра или прямоугольного диэдра является плиткой Конвея. [4] [3]
История
[ редактировать ]Критерий Конвея применим к любой форме, представляющей собой замкнутый диск: если граница такой формы удовлетворяет критерию, то она замостит плоскость. Хотя художник-график М. К. Эшер так и не сформулировал этот критерий, он открыл его в середине 1920-х годов. Одна из его самых ранних мозаик, позже названная им под номером 1, иллюстрирует его понимание условий критерия. Все шесть его самых ранних мозаик удовлетворяют этому критерию. В 1963 году немецкий математик Генрих Хеш описал пять типов плиток, удовлетворяющих этому критерию. Он показывает каждый тип с обозначениями, которые идентифицируют края плитки при движении вокруг границы: CCC, CCCC, TCTC, TCTCC, TCCTCC, где C означает центросимметричное ребро, а T означает сдвинутое ребро. [5]
Конвей, вероятно, был вдохновлен колонкой Мартина Гарднера в журнале Scientific American в июле 1975 года , в которой обсуждалось, какие выпуклые многоугольники могут замостить плоскость. [6] В августе 1975 года Гарднер сообщил, что Конвей открыл свой критерий, пытаясь найти эффективный способ определить, какое из 108 гептамино закрывает плоскость. [7]
Примеры
[ редактировать ]
В своей простейшей форме критерий просто утверждает, что любой шестиугольник с парой противоположных сторон, параллельных и конгруэнтных, будет мозаикой плоскости. [8] В статье Гарднера это называется шестиугольником первого типа. [7] Это справедливо и для параллелограммов . Но перемещения, соответствующие противоположным краям этих плиток, представляют собой композицию двух поворотов на 180° — вокруг середин двух соседних ребер в случае шестиугольного параллелогона и вокруг середины ребра и одной из его вершин в случае параллелограмма. Когда плитка, удовлетворяющая критерию Конвея, поворачивается на 180° относительно середины центросимметричного края, она создает либо обобщенный параллелограмм, либо обобщенный шестиугольный параллелогон (у них противоположные края конгруэнтны и параллельны), поэтому удвоенная плитка может замостить плоскость переводы. [4] Трансляции представляют собой композицию поворотов на 180 °, как и в случае с прямым шестиугольным параллелогоном или параллелограммами. [9]
Критерий Конвея на удивление эффективен, особенно применительно к полиформам . За исключением четырех гептамино , все полимино до 7-го порядка либо удовлетворяют критерию Конвея, либо две копии могут образовывать участок, удовлетворяющий критерию. [10]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Будет ли это плитка? Попробуйте критерий Конвея! Дорис Шатшнайдер Журнал Mathematics Magazine Vol. 53, № 4 (сентябрь 1980 г.), стр. 224–233.
- ^ Периодическая мозаика: многоугольники в целом
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Пути к интуитивной геометрии: мир многоугольников и многогранников Джин Акияма и Киёко Мацунага, Springer 2016, ISBN 9784431558415
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Две геометрические жемчужины Конвея , Дорис Шатшнайдер, 1 ноября 2021 г. [видео]
- ^ Закрытие зоны. Система форм плавно соединяющихся плоских деталей Генриха Хеша и Отто Кинцле, Берлин: Springer, 1963.
- ^ Гарднер, Мартин. О мозаике плоскости выпуклыми многоугольными плитками «Математические игры» Scientific American, vol. 233, нет. 1 (июль 1975 г.)
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Гарднер, Мартин. Подробнее о мозаике плоскости: возможности полимино, полиромба и многогекса «Математические игры» Scientific American, vol. 233, нет. 2 (август 1975 г.)
- ^ Полимино: Путеводитель по головоломкам и проблемам с мозаикой , Джордж Мартин, Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, 1991, стр. 152, ISBN 0-88385-501-1
- ^ Рисование узоров обоев: пять типов многоугольной плитки по критерию Конвея , файл PDF.
- ^ Роудс, Гленн К. (2005). «Плоские замощения полимино, полигексами и полиалмазами» . Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. дои : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Conway's Magical Pen Онлайн-приложение, в котором вы можете создавать свои собственные оригинальные плитки критериев Конвея и их мозаику.