Полиформ

18 односторонних пентамино : полиформы, состоящие из пяти квадратов.

В развлекательной математике полиформа — это плоская фигура или твердое соединение, построенное путем соединения одинаковых базовых многоугольников . Базовый многоугольник часто (но не обязательно) представляет собой выпуклый многоугольник, заполняющий плоскость, например квадрат или треугольник . Полиформам, возникающим на основе конкретных базовых многоугольников, были даны более конкретные имена, как подробно описано в таблице ниже. Например, квадратный базовый многоугольник дает хорошо известное полимино .

Правила строительства

Правила соединения полигонов могут различаться и поэтому должны быть указаны для каждого отдельного типа полиформы. Однако в целом применяются следующие правила:

1. Два базовых многоугольника могут быть соединены только по общему краю и должны полностью использовать это ребро.
2. Никакие два базовых многоугольника не могут перекрываться.
3. Полиформа должна быть связной (то есть вся одна часть; см. связный граф , связное пространство ). Конфигурации несвязанных базовых полигонов не считаются полиформами.
4. Зеркальное изображение асимметричной полиформы не считается отдельной полиформой (полиформы «двусторонние»).

Обобщения

Полиформы также можно рассматривать в более высоких измерениях. В трехмерном пространстве базовые многогранники можно соединять по конгруэнтным граням. Соединение кубов таким способом дает многокубы , а соединение тетраэдров таким образом дает политетраэдры. Двухмерные полиформы также можно складывать из плоскости по краям аналогично сети ; в случае полимино это приводит к полиоминоидам .

Можно разрешить более одного базового многоугольника. Возможности настолько многочисленны, что это упражнение кажется бессмысленным, если не предъявляются дополнительные требования. Например, плитки Пенроуза определяют дополнительные правила соединения ребер, в результате чего получаются интересные полиформы со своего рода пятиугольной симметрией.

Когда базовая форма представляет собой многоугольник, покрывающий плоскость, правило 1 может быть нарушено. Например, квадраты могут быть соединены ортогонально по вершинам, а также по краям, чтобы сформировать шарнирные/ псевдо-полиомино , также известные как полиплеты или поликороли.

Типы и приложения

Полиформы — богатый источник задач, головоломок и игр . Основная комбинаторная задача — подсчет количества различных полиформ с учетом базового многоугольника и правил построения в зависимости от n — количества базовых многоугольников в полиформе.

Правильные многоугольники

Стороны	Базовый многоугольник (моноформный)		Моноэдрический мозаика	Полиформ	Приложения
3		равносторонний треугольник	Для Делта	Полиалмазы : мониамонд, алмаз, триамонд, тетриамонд, пентиамонд, гексиамонд.	Блоки Тригон
4		квадрат	Кадриль	Полимино : мономино, домино , тримино , тетромино , пентамино , гексомино , гептомино , октомино , нономино , декомино.	Тетрис , Филломино , Тентай-шоу , Ripple Effect (головоломка) , LITS , Нурикабэ , Судоку , Блокус
6		правильный шестиугольник	Гекстиль	Многогексы : одногекс, дигекс, тригекс, тетрагекс, пентагекс, шестиугольник.

Другие полиформы

Стороны	Базовый многоугольник (моноформный)		Моноэдрический мозаика	Полиформ	Приложения
1		сегмент линии		полистик	Сегментированные дисплеи
3		Треугольник 30°-60°-90°	Кисромбиллес	полиграфик	Вечность головоломка
		прямоугольный равнобедренный (45°-45°-90°) треугольник	Кискадрилья	полиаболо	Танграмы
4		ромб	Ромбилл	многоромб
4		Соединённые полуквадраты		Polyare
12		Объединенные полукубы		Полибе
5		Каирский Пентагон		Поликаир
12		Куб		Поликуб	Куб Сомы , Куб Бедлама , Дьявольский куб , Загадка Слотубера-Граатсмы , Загадка Конвея
4		Соединенные полушестиугольники		Полихе
4		60°-90°-90°-120° См.		Поликит
4		Квадрат (соединен по краям или углам)		Полиплет
3		Равнобедренный треугольник 30°-30°-120°		Полипон
4		Прямоугольник		Полирект

См. также

• Поликуб
• Полимино
• Полиоминоид

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полиформ» . Математический мир .
• Страницы Poly на RecMath.org , иллюстрации и информация о многих видах полиформ.