Нономино
Нономино ) (или эннеомино , или 9-омино представляет собой полимино 9-го порядка; то есть многоугольник на плоскости, одинакового размера состоящий из 9 квадратов , соединенных ребром к краю. [1] Название этого типа фигур образуется с помощью приставки не(а)- . Если вращения и отражения не считаются отдельными формами, существует 1285 различных свободных нономино. Когда отражения считаются отдельными, имеется 2500 односторонних нономино. Если вращения также считаются отдельными, имеется 9910 фиксированных нономино. [2]
Симметрия
[ редактировать ]1285 свободных нономино можно классифицировать в соответствии с их группами симметрии : [2]
- 1196 нономино не обладают симметрией . Их группа симметрии состоит только из тождественного отображения .
- 38 нономино имеют ось симметрии отражения , совмещенную с линиями сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и отражения в линии, параллельной сторонам квадратов.
- 26 номино имеют ось симметрии отражения под углом 45° к линиям сетки. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и диагонального отражения.
- 19 нономино обладают точечной симметрией, также известной как вращательная симметрия второго порядка. Их группа симметрии состоит из двух элементов: единицы и поворота на 180°.
- 4 нономино имеют две оси симметрии отражения, обе выровнены по линиям сетки. Их группа симметрии состоит из четырех элементов: единицы, двух отражений и поворота на 180°. Это группа диэдра второго порядка, также известная как четырехгруппа Клейна .
- 2 нономино имеют четыре оси симметрии отражения, выровненные по линиям сетки и диагоналям, и вращательную симметрию 4-го порядка. Их группа симметрии, группа диэдра 4-го порядка, состоит из восьми элементов.
В отличие от октамино , не существует номино с вращательной симметрией порядка 4 или с двумя осями симметрии отражения, совмещенными с диагоналями.
Если отражения нономино считаются отдельными, как в случае с односторонними номино, то размер первой и четвертой категорий выше удваивается, в результате чего получается дополнительно 1215 нономино, что в общей сложности составляет 2500. Если вращения также считаются отдельными, то нономино из первой категории учитываются в восьмикратном размере, из следующих трех категорий — вчетверо, из пятой категории — дважды, а из последней категории — только один раз. В результате получается 1196 × 8 + (38+26+19) × 4 + 4 × 2 + 2 = 9910 фиксированных нономино.
Упаковка и укладка плитки
[ редактировать ]
В 37 номинино есть дырки. [3] [4] Поэтому полный набор не может быть упакован в прямоугольник, и не все номино имеют мозаику . Из 1285 свободных нономино 960 удовлетворяют критерию Конвея , и еще 88 могут образовать участок, удовлетворяющий этому критерию. Два дополнительных нономино допускают мозаику, но не удовлетворяют ни одному из предыдущих критериев. [5] Это полимино низшего порядка, для которого существуют такие исключения. [6]
Одно номинано имеет отверстие в два квадрата (второе справа в верхнем ряду) и является самым маленьким полимино с таким отверстием.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Голомб, Соломон В. (1994). Полимино (2-е изд.). Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02444-8 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Редельмайер, Д. Хью (1981). «Подсчет полимино: еще одна атака» . Дискретная математика . 36 : 191–203. дои : 10.1016/0012-365X(81)90237-5 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Полимино» . Математический мир .
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001419 (Количество n-клеточных полимино с дырками)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Роусторн, Дэниел А. (1988). «Сложность мозаики маленьких n -амино ( n <10)» . Дискретная математика . 70 : 71–75. дои : 10.1016/0012-365X(88)90081-7 .
- ^ Роудс, Гленн К. (2005). «Плоские замощения полимино, полигексами и полиалмазами». Журнал вычислительной и прикладной математики . 174 (2): 329–353. дои : 10.1016/j.cam.2004.05.002 .
| Полимино | |
|---|---|
| Высшие измерения | |
| Другие | |
| Игры и головоломки | |
