Ромбическая плитка
| Ромбическая плитка | |
|---|---|
 | |
| Тип | Укладка плитки завершена. |
| Лица | ромб 60°–120° |
| Диаграмма Кокстера |      |
| Группа симметрии | п6м, [6,3], *632 п3м1, [3 [3] ], *333 |
| Группа ротации | р6, [6,3] + , (632) п3, [3 [3] ] + , (333) |
| Двойной многогранник | Трехгексагональная плитка |
| Конфигурация лица | В3.6.3.6  |
| Характеристики | переходный по краю , переходный по грани |
В геометрии это ромбовидная мозаика . [1] также известный как кувыркающиеся блоки , [2] обратимые кубики , или решетка игральных костей , представляет собой мозаику одинаковых ромбов со стороной 60° на евклидовой плоскости . по 60° и два угла по 120° Каждый ромб имеет два угла ; ромбы такой формы иногда еще называют ромбами . Наборы из трех ромбов встречаются под углами 120 °, а наборы из шести ромбов встречаются под углами 60 °.
Характеристики
[ редактировать ]
Ромбическую мозаику можно рассматривать как подразделение шестиугольной мозаики, где каждый шестиугольник разделен на три ромба, встречающихся в центральной точке шестиугольника. Это подразделение представляет собой регулярную составную мозаику . Его также можно рассматривать как подразделение четырех шестиугольных плиток, где каждый шестиугольник разделен на 12 ромбов.
Диагонали каждого ромба относятся как 1: √ 3 .Это двойная мозаика тригексагональной мозаики или решетки кагоме . Как двойственный к однородному мозаике , это одно из одиннадцати возможных мозаик Лавеса , а в конфигурации граней для моноэдральных мозаик оно обозначается [3.6.3.6]. [4]
Это также одна из 56 возможных изоэдральных мозаик четырехугольниками. [5] и одна из восьми мозаик плоскости, в которой каждое ребро лежит на линии симметрии мозаики. [6]
Можно встроить ромбовидную мозаику в подмножество трехмерной целочисленной решетки , состоящее из точек ( x , y , z ) с | х + у + г | ≤ 1, таким образом, что две вершины являются смежными тогда и только тогда, когда соответствующие точки решетки находятся на единичном расстоянии друг от друга, и, более строго, так, что количество ребер на кратчайшем пути между любыми двумя вершинами мозаики равно такое же, как манхэттенское расстояние между соответствующими точками решетки. Таким образом, ромбическую мозаику можно рассматривать как пример бесконечного графа единичных расстояний и частичного куба . [7]
Художественное и декоративное применение
[ редактировать ]Ромбическую мозаику можно интерпретировать как изометрическую проекцию набора кубов двумя разными способами, образуя обратимую фигуру, связанную с кубом Неккера . В этом контексте это известно как иллюзия «обратимых кубов». [8]
В М. К. Эшера работах «Метаморфоза I» , «Метаморфоза II» и «Метаморфоза III» Эшер использует эту интерпретацию мозаики как способ трансформации между двух- и трехмерными формами. [9] В другой своей работе, «Цикле» (1938), Эшер обыграл напряжение между двумерностью и трехмерностью этой мозаики: в ней он рисует здание, в котором в качестве архитектурных элементов присутствуют как большие кубические блоки (нарисованные изометрически), так и внутренний дворик наверху выложен ромбовидной плиткой. Человеческая фигура спускается из патио мимо кубов, становясь при этом более стилизованной и двумерной. [10] Эти работы включают только одну трехмерную интерпретацию мозаики, но в «Выпуклых и вогнутых» Эшер экспериментирует с обратимыми фигурами в более общем плане и включает изображение иллюзии обратимых кубов на флаге внутри сцены. [11]
Ромбическая плитка также используется в качестве рисунка для паркета. [12] а также для облицовки пола или стен, иногда с вариациями формы ромбов. [13] Он появляется на древнегреческих напольных мозаиках Делоса . [14] и из итальянской напольной плитки XI века, [15] хотя плитки с этим узором в Сиенском соборе относятся к более позднему году. [16] В квилтинге он известен с 1850-х годов как узор «кувыркающиеся блоки», что связано с визуальным диссонансом, вызванным его удвоенной трехмерной интерпретацией. [2] [15] [17] Как образец для выстегивания, он также имеет много других названий, включая кубическую вышивку, небесную лестницу и ящик Пандоры. [17] Было высказано предположение, что узор лоскутного одеяла из кувыркающихся блоков использовался в качестве сигнала на Подземной железной дороге : когда рабы видели его висящим на заборе, они должны были собрать свои вещи и бежать. См. Одеяла подземной железной дороги . [18] В этих декоративных применениях ромбы могут иметь несколько цветов, но обычно им присваиваются три уровня затенения: самый яркий для ромбов с горизонтальными длинными диагоналями и более темный для ромбов с двумя другими ориентациями, чтобы усилить их трехмерность. есть единственный известный пример неявного ромба и тригексагональной мозаики В английской геральдике – в гербе Гил/е. [19]
Другие приложения
[ редактировать ]Ромбическую мозаику можно рассматривать как результат наложения двух разных шестиугольных мозаик, преобразованных так, что некоторые вершины одной мозаики попадают в центры шестиугольников другой мозаики. Таким образом, его можно использовать для определения блочных клеточных автоматов , в которых ячейки автомата представляют собой ромбы ромбической мозаики, а блоки на чередующихся шагах автомата представляют собой шестиугольники двух наложенных шестиугольных мозаик. В этом контексте его называют «окружением Q*bert» в честь видеоигры Q*bert , в которой в качестве игрового поля использовалась изометрическая проекция пирамиды из кубов.Окрестность Q*bert может использоваться для поддержки универсальных вычислений посредством моделирования компьютеров с бильярдными шарами . [20]
В физике конденсированного состояния ромбовидная мозаика известна как решетка кубиков , решетка кубиков или двойная решетка кагоме . Это одна из нескольких повторяющихся структур, используемых для исследования моделей Изинга и связанных с ними систем спиновых взаимодействий в двухатомных кристаллах . [21] и это также изучалось в теории перколяции . [22]
Связанные многогранники и мозаики
[ редактировать ]
Ромбическая мозаика является двойственной тригексагональной мозаикой .Это один из многих способов замощения плоскости равными ромбами.Другие включают сплюснутую по диагонали вариацию квадратной мозаики (с трансляционной симметрией на всех четырех сторонах ромба), мозаику, используемую в виде складчатого узора Миура-ори (чередующаяся между трансляционной и отражательной симметрией), и мозаику Пенроуза , в которой используются два вида ромбов с острыми углами 36° и 72° апериодически .Когда разрешено более одного типа ромба, возможны дополнительные мозаики, в том числе те, которые топологически эквивалентны ромбической мозаике, но с более низкой симметрией.
Замощения, комбинаторно эквивалентные ромбильным замощениям, также могут быть реализованы с помощью параллелограммов и интерпретированы как аксонометрические проекции трехмерных кубических ступеней.
Существует только восемь замощений ребер , мозаик плоскости со свойством, заключающимся в том, что отражение любой плитки через любое из ее краев создает другую плитку; один из них — ромбовидная мозаика. [6]
Примеры
[ редактировать ]
Ромбическая мозаика наложена на двойную, тригексагональную мозаику .
из ромбической плитки Напольная мозаика в Делосе
Узор ромбической плитки на полу Сиенского собора
Ромбическая плитка в круизном терминале в Таллинне, Эстония
См. также
[ редактировать ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Конвей, Джон ; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008), «Глава 21: Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик», «Симметрии вещей» , А.К. Петерс, с. 288, ISBN 978-1-56881-220-5 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Смит, Барбара (2002), Кувыркающиеся блоки: новые лоскутные одеяла из старого фаворита , Книги для коллекционеров, ISBN 9781574327892 .
- ^ Ричард К. Гай и Роберт Э. Вудро, Светлая сторона математики: материалы мемориальной конференции Юджина Стренса по развлекательной математике и ее истории , 1996, стр.79, рисунок 10
- ^ Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987), Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman, ISBN 0-7167-1193-1 . Раздел 2.7, Тайлинги с правильными вершинами, стр. 95–98.
- ^ Grünbaum & Shephard (1987) , рисунок 9.1.2, мозаика P 4-42 , стр. 9.1.2. 477.
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Кирби, Мэтью; Амбл, Рональд (2011), «Мозаика по краям и головоломки со складыванием штампов», Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169/math.mag.84.4.283 , MR 2843659 .
- ^ Деза, Мишель ; Гришухин Вячеслав; Штогрин, Михаил (2004), Масштабно-изометрические многогранные графы в гиперкубах и кубических решетках: Многогранники в гиперкубах и , Лондон: Imperial College Press, стр. 150, номер домена : 10.1142/9781860945489 , ISBN 1-86094-421-3 , МР 2051396 .
- ^ Уоррен, Говард Кросби (1919), Психология человека , Хоутон Миффлин, с. 262 .
- ^ Каплан, Крейг С. (2008), «Метаморфозы в искусстве Эшера», Бриджес 2008: Математические связи в искусстве, музыке и науке (PDF) , стр. 39–46 .
- ^ Эшер, Мауриц Корнелис (2001), MC Эшер, Графическая работа , Taschen , стр. 29–30, ISBN 9783822858646 .
- ^ Де Мэй, Йос (2003), «Живопись по мотивам М. К. Эшера», в Шатшнайдере, Д .; Эммер, М. (ред.), Наследие MC Эшера: празднование столетия , Springer, стр. 130–141 .
- ^ Шляйнинг, Лон; О'Рурк, Рэнди (2003), «Обман глаз с помощью акробатических блоков», « Сундуки с сокровищами: наследие необычных коробок» , Taunton Press, стр. 58, ISBN 9781561586516 .
- ^ Тесселяция Танго , Математический турист, Университет Дрекселя, получено 23 мая 2012 г.
- ^ Данбабин, Кэтрин, доктор медицинских наук (1999), Мозаика греческого и римского мира , издательство Кембриджского университета, стр. 32, ISBN 9780521002301 .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Татем, Мэри (2010), «Акробатические блоки», « Одеяло радости: истории надежды из лоскутной жизни» , Ревелл, с. 115, ISBN 9780800733643 .
- ^ Уоллис, Генри (1902), Итальянское керамическое искусство , Бернард Куоритч, с. XXV .
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Фаулер, Эрлин (2008), Кувыркающиеся блоки , Тайны Бенни Харпера, Пингвин, ISBN 9780425221235 . Это детективный роман, но он также включает в себя краткое описание рисунка лоскутного одеяла в виде кувыркающихся блоков на обложке.
- ^ Тобин, Жаклин Л.; Добард, Раймонд Г. (2000), «Скрытые на виду: секретная история одеял и подземной железной дороги» , Random House Digital, Inc., стр. 81 , ISBN 9780385497671 .
- ↑ Aux Armes: символизм , Символизм в оружии, Плеяда, получено 17 апреля 2013 г.
- ↑ Район Q*Bert , Тим Тайлер, по состоянию на 23 мая 2012 г.
- ^ Фишер, Майкл Э. (1959), «Преобразования моделей Изинга», Physical Review , 113 (4): 969–981, Бибкод : 1959PhRv..113..969F , doi : 10.1103/PhysRev.113.969 .
- ^ Ёнезава, Фумико; Сакамото, Шоичи; Хори, Мотоо (1989), «Перколяция в двумерных решетках. I. Метод оценки порогов», Phys. Rev. B , 40 (1): 636–649, Bibcode : 1989PhRvB..40..636Y , doi : 10.1103/PhysRevB.40.636 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Кейт Кричлоу, Порядок в космосе: справочник по дизайну , 1970, стр. 77–76, образец 1.
