Изоэдральная фигура

В геометрии мозаика размерности 2 $3$ (плоская мозаика) или выше, или многогранник размерности $если$ ( многогранник ) или выше, является изоэдральным или гране-транзитивным, все его грани одинаковы. Точнее, все грани должны быть не просто конгруэнтны , но и транзитивны , т. е. должны лежать на одной и той же орбите симметрии . Другими словами, для любых двух граней $A$ и $B$ должна существовать симметрия всей фигуры посредством перемещений , вращений и/или отражений которые отображают $A$ на $B.$ , По этой причине выпуклые равногранные многогранники представляют собой формы, из которых можно сделать игральные кости . ^{[ 1 ]}

Изоэдральные многогранники называются изоэдрами . Их можно описать по конфигурации лица . У изоэдра четное количество граней.

Двойственный , т.е. изоэдральному многограннику является вершинно-транзитивным изогональным. Каталонские тела , бипирамиды и трапецоэдры являются изоэдрическими. Они являются двойниками (изогональных) архимедовых тел , призм и антипризм соответственно. Платоновы тела , которые либо самодвойственны, либо двойственны другому Платонову телу, являются транзитивными по вершинам, ребрам и граням (т. е. изогональными, изотоксальными и изоэдральными).

Форма, которая является изоэдральной, имеет правильные вершины, а также является транзитивной по ребрам (т.е. изотоксальной), называется квазирегулярной двойственной формой. Некоторые теоретики считают эти фигуры действительно квазирегулярными, поскольку они обладают одной и той же симметрией, но это не является общепринятым.

Многогранник, который является равногранным и изогональным, называется благородным .

Не все изозоноэдры ^{[ 2 ]} являются изоэдрическими. ^{[ 3 ]} Например, ромбический икосаэдр является изозоноэдром, но не изоэдром. ^{[ 4 ]}

Примеры

Выпуклый			Вогнутый
Шестиугольные бипирамиды , V4.4.6, представляют собой неправильные равногранные многогранники.	Пятиугольная мозаика Каира , V3.3.4.3.4, изоэдральна.	Ромбидодекаэдрические соты изоэдральны (и изохорны, и заполняют пространство).	Квадратная мозаика, искаженная в спиральную мозаику H (топологически эквивалентную), по-прежнему остается изоэдральной.

Классы изоэдров по симметрии

Лица	Лицо конфиг.	Сорт	Имя	Симметрия	Заказ
4	V3 ³	Платонический	тетраэдр тетрагональный дисфеноид ромбический дисфеноид	Т _д , [3,3], (332) Д _2д , [2 ⁺,2], (2) Д ₂ , [2,2] ⁺, (222)	24 4 4 4
6	V3 ⁴	Платонический	куб трехугольный трапецоэдр асимметричный тригональный трапецоэдр	О _ч , [4,3], (432) Д _3д , [2 ⁺,6] (23) Д ₃ [2,3] ⁺, (223)	48 12 12 6
8	V4 ³	Платонический	октаэдр квадратная бипирамида ромбическая бипирамида квадратный скаленоэдр	О _ч , [4,3], (432) Д _4h ,[2,4],(224) Д _2h ,[2,2],(222) Д _2д , [2 ⁺,4],(22)	48 16 8 8
12	V3 ⁵	Платонический	правильный додекаэдр пиритоэдр тетартоид	I _h, [5,3], (532) Т _ч , [3 ⁺,4], (32) Т, [3,3] ⁺, (*332)	120 24 12
20	V5 ³	Платонический	правильный икосаэдр	I _h, [5,3], (*532)	120
12	Версия 3.6 ²	каталанский	триакис тетраэдр	Т _д , [3,3], (*332)	24
12	V(3.4) ²	каталанский	ромбический додекаэдр дельтовидный додекаэдр	О _ч , [4,3], (432) Т _д , [3,3], (332)	48 24
24	Версия 3.8 ²	каталанский	триакис октаэдр	О _ч , [4,3], (*432)	48
24	Версия 4.6 ²	каталанский	тетракис шестигранник	О _ч , [4,3], (*432)	48
24	Версия 3.4 ³	каталанский	дельтовидный икоситетраэдр	О _ч , [4,3], (*432)	48
48	Версия 4.6.8	каталанский	Додекаэдр Дисдякиса	О _ч , [4,3], (*432)	48
24	V3 ⁴.4	каталанский	пятиугольный икоситетраэдр	О, [4,3] ⁺, (432)	24
30	V(3.5) ²	каталанский	ромбический триаконтаэдр	I _h, [5,3], (*532)	120
60	Версия 3.10 ²	каталанский	триакис икосаэдр	I _h, [5,3], (*532)	120
60	Версия 5.6 ²	каталанский	пентакис додекаэдр	I _h, [5,3], (*532)	120
60	Версия 3.4.5.4	каталанский	дельтовидный шестиконтаэдр	I _h, [5,3], (*532)	120
120	Версия 4.6.10	каталанский	триаконтаэдр дисдиакиса	I _h, [5,3], (*532)	120
60	V3 ⁴.5	каталанский	пятиугольный шестиконтаэдр	Я, [5,3] ⁺, (532)	60
22н	V3 ³. н	Полярный	трапецоэдр асимметричный трапецоэдр	Д _{н д} , [2 ⁺,2n ] , (2* n ) Д _н , [2, н ] ⁺, (22 н )	4 н 22н
22н 4 н	V4 ². н V4 ².2 н V4 ².2 н	Полярный	правильная n - бипирамида изотоксал 2 н -бипирамида 2 n - скаленоэдр	Д _{н ч} , [2, н ], (22 н ) Д _{н ч} , [2, н ], (22 н ) Д _{н д} , [2 ⁺,2n ] , (2* n )	4 н

к -изоэдральная фигура

Многогранник (или многогранник в целом) является k -изоэдральным , если он содержит k граней в фундаментальных областях своей симметрии. ^{[ 5 ]} Аналогично, k -изоэдральная мозаика имеет k отдельных орбит симметрии (она может содержать m различных форм граней для m = k или только для некоторого m < k ). ^{[ 6 ]} («1-изоэдральный» — то же самое, что «изоэдральный».)

Моноэдральный . многогранник или моноэдральная мозаика ( m = 1) имеет конгруэнтные грани, прямо или отражательно, которые встречаются в одной или нескольких позициях симметрии М - гранный многогранник или мозаика имеет m различных форм граней (« двугранник », « трехгранник »… то же самое, что «2-гранник», «3-гранник»… соответственно). ^{[ 7 ]}

Вот несколько примеров k -изоэдральных многогранников и мозаик, грани которых окрашены в соответствии с их позициями симметрии k :

3-изоэдрический	4-изоэдрический	изоэдрический	2-изоэдрический
2-гранные правильные многогранники		Моноэдральные многогранники

Ромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 2 типа квадрата.	Псевдоромбокубооктаэдр имеет 1 тип треугольника и 3 типа квадрата.	Дельтоидный икоситетраэдр имеет 1 тип грани.	Псевдодельтоидный икоситетраэдр имеет два типа граней одинаковой формы.

2-изоэдрический	4-изоэдрический	изоэдрический	3-изоэдрический
2-эдральные правильные грани		Моноэдральные мозаики

Плитка Пифагора имеет 2 типа (размера) квадратов.	Эта 3-однородная плитка имеет 3 типа треугольников одинаковой формы и 1 тип квадрата.	Узор «елочка» имеет 1 тип прямоугольника.	Эта пятиугольная плитка имеет 3 типа неправильных пятиугольников одинаковой формы.

Связанные термины

Ячеисто -транзитивная или изохорная фигура представляет собой n - многогранник ( n ≥ 4) или n - соты ( n которых ≥ 3), ячейки конгруэнтны и транзитивны друг другу. В трех измерениях катоптрические соты , двойственные однородным сотам, изохорны. В 4-х измерениях изохорные многогранники пронумерованы до 20 ячеек. ^{[ 8 ]}

Фасетно -транзитивная или изотопическая фигура представляет собой n -мерный многогранник или соту с ее гранями (( n −1) -гранями ), конгруэнтными и транзитивными. Двойственным изотопу является изогональный многогранник . По определению это изотопическое свойство является общим для двойственных однородных многогранников .

Изотопическая двумерная фигура является изотоксальной, т. е. транзитивной по ребру.
Изотопическая трехмерная фигура является изоэдральной, т. е. грани-транзитивной.
Изотопная 4-мерная фигура изохорна, т.е. клеточно-транзитивна.

См. также

Ссылки

^ Маклин, К. Робин (1990), «Подземелья, драконы и кости», The Mathematical Gazette , 74 (469): 243–256, doi : 10.2307/3619822 , JSTOR 3619822 , S2CID 195047512 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изозоноэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 26 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ромбический икосаэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 г.
^ Соколар, Джошуа Э.С. (2007). «Шестиугольные паркетные плитки: k -изоэдральные монолиты со сколь угодно большим k » (исправленный PDF) . Математический интеллект . 29 (2): 33–38. arXiv : 0708.2663 . дои : 10.1007/bf02986203 . S2CID 119365079 . Проверено 9 сентября 2007 г.
^ Крейг С. Каплан, «Вводная теория мозаики для компьютерной графики». Архивировано 8 декабря 2022 г. в Wayback Machine , 2009 г., Глава 5: «Изоэдральные мозаики», стр. 35.
^ Плитки и узоры , с. 20, 23.
^ «Четырехмерные игральные кости до двадцати сторон» .

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Изотоп» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдральная черепица» . Математический мир .
Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . Математический мир .
изоэдры 25 классов изоэдров с конечным числом сторон
Дизайн игральных костей в The Dice Lab

[1] Маклин, К. Робин (1990), «Подземелья, драконы и кости», The Mathematical Gazette , 74 (469): 243–256, doi : 10.2307/3619822 , JSTOR 3619822 , S2CID 195047512 .

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Изозоноэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 26 декабря 2019 г.

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Изоэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 г.

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Ромбический икосаэдр» . mathworld.wolfram.com . Проверено 21 декабря 2019 г.

[5] Соколар, Джошуа Э.С. (2007). «Шестиугольные паркетные плитки: k -изоэдральные монолиты со сколь угодно большим k » (исправленный PDF) . Математический интеллект . 29 (2): 33–38. arXiv : 0708.2663 . дои : 10.1007/bf02986203 . S2CID 119365079 . Проверено 9 сентября 2007 г.

[6] Крейг С. Каплан, «Вводная теория мозаики для компьютерной графики». Архивировано 8 декабря 2022 г. в Wayback Machine , 2009 г., Глава 5: «Изоэдральные мозаики», стр. 35.

[7] Плитки и узоры , с. 20, 23.

[8] «Четырехмерные игральные кости до двадцати сторон» .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]