Усеченная тетраоктагональная плитка

Усеченная тетраоктагональная плитка
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая равномерная мозаика
Конфигурация вершин	4.8.16
Символ Шлефли	tr{8,4} или $t{\begin{Bmatrix}8\\4\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	2 8 4 \|
Диаграмма Кокстера	или
Группа симметрии	[8,4], (*842)
Двойной	Мозаика из ромбов порядка 4-8
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии представляет усеченная тетраоктагональная мозаика собой полуправильную мозаику гиперболической плоскости. имеется один квадрат , один восьмиугольник и один шестиугольник В каждой вершине . Он имеет символ Шлефли tr{8,4}.

Двойная черепица


Двойная мозаика называется киромбильной мозаикой 4-8 порядка и представляет собой полное деление пополам восьмиугольной мозаики 4-го порядка , здесь треугольники показаны чередующимися цветами. Это разбиение представляет фундаментальные треугольные области симметрии [8,4] (*842).

Симметрия

Имеется 15 подгрупп, построенных из [8,4] путем удаления и чередования зеркал. Зеркала можно удалить, если все его порядки ветвей четные, и это сокращает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются удаленные зеркала. В этих изображениях фундаментальные области попеременно окрашены в черный и белый цвета, а на границах между цветами существуют зеркала. Индекс подгруппы -8 группа, [1 ⁺,8,1 ⁺,4,1 ⁺] (4242) — коммутатор из [8,4].

Большая подгруппа строится как [8,4*], индекс 8, как [8,4 ⁺], (4*4) с удаленными точками вращения становится (*4444) или (*4 ⁴), и еще один [8*,4], индекс 16 как [8 ⁺,4], (8*2) с удаленными точками вращения как (*22222222) или (*2 ⁸). И их прямые подгруппы [8,4*] ⁺, [8*,4] ⁺, индексы подгрупп 16 и 32 соответственно, могут быть заданы в орбифолдных обозначениях как (4444) и (22222222).

Малые индексные подгруппы из [8,4] (*842)
Index	1	2			4
Diagram
Coxeter	[8,4] =	[1⁺,8,4] =	[8,4,1⁺] = =	[8,1⁺,4] =	[1⁺,8,4,1⁺] =	[8⁺,4⁺]
Orbifold	*842	*444	*882	*4222	*4242	42×
Semidirect subgroups
Diagram
Coxeter		[8,4⁺]	[8⁺,4]	[(8,4,2⁺)]	[8,1⁺,4,1⁺] = = = =	[1⁺,8,1⁺,4] = = = =
Orbifold		4*4	8*2	2*42	2*44	4*22
Direct subgroups
Index	2	4			8
Diagram
Coxeter	[8,4]⁺ =	[8,4⁺]⁺ =	[8⁺,4]⁺ =	[8,1⁺,4]⁺ =	[8⁺,4⁺]⁺ = [1⁺,8,1⁺,4,1⁺] = = =
Orbifold	842	444	882	4222	4242
Radical subgroups
Index		8	16		32
Diagram
Coxeter		[8,4*] =	[8*,4]	[8,4*]⁺ =	[8*,4]⁺
Orbifold		*4444	*22222222	4444	22222222

Связанные многогранники и мозаики

Из конструкции Витхоффа существует четырнадцать гиперболических однородных мозаик , которые могут быть основаны на правильной восьмиугольной мозаике четвертого порядка.

При рисовании плиток, окрашенных в красный цвет на исходных гранях, желтый в исходных вершинах и синий по исходным краям, получается 7 форм с полной [8,4] симметрией и 7 с субсимметрией.

Однородные восьмиугольные/квадратные плитки v т и
[8,4], (842) (with [8,8] (882), [(4,4,4)] (444) , [∞,4,∞] (4222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,4,∞,4)] (*4242) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= =	=

{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Uniform duals


V8⁴	V4.16.16	V(4.8)²	V8.8.8	V4⁸	V4.4.4.8	V4.8.16
Alternations
[1⁺,8,4] (*444)	[8⁺,4] (8*2)	[8,1⁺,4] (*4222)	[8,4⁺] (4*4)	[8,4,1⁺] (*882)	[(8,4,2⁺)] (2*42)	[8,4]⁺ (842)
=	=	=	=	=	=

h{8,4}	s{8,4}	hr{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Alternation duals


V(4.4)⁴	V3.(3.8)²	V(4.4.4)²	V(3.4)³	V8⁸	V4.4⁴	V3.3.4.3.8

* n 42 мутация симметрии всеусеченных мозаик: 4.8.2n v т и
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Omnitruncated figure	4.8.4	4.8.6	4.8.8	4.8.10	4.8.12	4.8.14	4.8.16	4.8.∞
Omnitruncated duals	V4.8.4	V4.8.6	V4.8.8	V4.8.10	V4.8.12	V4.8.14	V4.8.16	V4.8.∞

* nn 2 мутации симметрии всеусеченных мозаик: 4,2 n .2 n v т и
Symmetry *nn2 [n,n]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *nn2 [n,n]	*222 [2,2]	*332 [3,3]	*442 [4,4]	*552 [5,5]	*662 [6,6]	*772 [7,7]	*882 [8,8]...	*∞∞2 [∞,∞]
Figure
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
Dual
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

См. также

Ссылки

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

Внешние ссылки