Пятиугольная плитка

В геометрии пятиугольная мозаика — это мозаика плоскости , где каждая отдельная часть имеет форму пятиугольника .

Правильная целого пятиугольная мозаика на евклидовой плоскости невозможна, поскольку внутренний угол правильного пятиугольника , 108°, не является делителем 360°, меры угла поворота . Однако правильные пятиугольники могут замостить гиперболическую плоскость четырьмя пятиугольниками вокруг каждой вершины ( или более ), а сферу - тремя пятиугольниками ; последний создает мозаику, топологически эквивалентную додекаэдру . ^[1]

Моноэдральные выпуклые пятиугольные мозаики

Известно пятнадцать типов выпуклых пятиугольников, которые закрывают плоскость моноэдрально (т. е. плиткой одного типа). ^[2] показал, что этот список полон Самый последний из них был обнаружен в 2015 году. Рао (2017) (результат подлежит экспертной оценке). Багина (2011) показала, что существует только восемь выпуклых типов от края до края , результат, полученный независимо Сугимото (2012) .

Микаэль Рао из Высшей нормальной школы Лиона заявил в мае 2017 года, что нашел доказательство того, что на самом деле не существует выпуклых пятиугольников, выходящих за рамки этих 15 типов. ^[3] По состоянию на 11 июля 2017 года первая половина доказательства Рао была проверена независимо (доступен компьютерный код). ^[4]) Томаса Хейлза, профессора математики Питтсбургского университета. ^[5] По состоянию на декабрь 2017 года доказательство еще не было полностью рецензировано.

Каждое перечисленное семейство мозаик содержит пятиугольники, не принадлежащие ни к какому другому типу; однако некоторые отдельные пятиугольники могут принадлежать к нескольким типам. Кроме того, некоторые пятиугольники в известных типах мозаики также допускают альтернативные образцы мозаики, выходящие за рамки стандартной мозаики, представленной всеми членами этого типа.

Стороны длиной a , b , c , d , e направлены по часовой стрелке от углов при вершинах A , B , C , D , E соответственно. (Таким образом, A , B , C , D , E противоположны d , e , a , b , c соответственно.)

15 одногранных пятиугольных плиток
1	2	3	4	5
Б + С = 180° А + Д + Е = 360°	с = е Б + Г = 180°	а = б, d = с + е А = С = Г = 120°	б = с, d = е Б = Д = 90°	а = б, d = е А = 60°, Д = 120°
6	7	8	9	10
а = d = е, б = с Б + Д = 180°, 2В = Е	б = с = d = е Б + 2Е = 2С + Д = 360°	б = с = d = е 2Б + С = Д + 2Е = 360°	б = с = d = е 2А + С = Д + 2Е = 360°	а = б = с + е А = 90°, Б + Е = 180° В + 2С = 360°
11	12	13	14	15
2а + с = г = е А = 90°, С + Е = 180° 2Б + С = 360°	2а = d = с + е А = 90°, С + Е = 180° 2Б + С = 360°	д = 2а = 2е Б = Е = 90° 2А + Д = 360°	2а = 2в = г = е А = 90°, В ≈ 145,34°, С ≈ 69,32°. D ≈ 124,66°, Е ≈ 110,68°. (2В + С = 360°, С + Е = 180°)	а = с = е, б = 2а А = 150°, В = 60°, С = 135° Д = 105°, Е = 90°

Многие из этих типов моноэдральных плиток имеют степени свободы. Эти свободы включают в себя изменение внутренних углов и длин кромок. В пределе ребра могут иметь длину, приближающуюся к нулю, или углы, приближающиеся к 180°. Типы 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 13 допускают параметрические возможности с невыпуклыми прототипами.

Периодические мозаики характеризуются симметрией группы обоев , например, p2 (2222) определяется четырьмя точками двукратного вращения. Эта номенклатура используется на диаграммах ниже, где плитки также окрашены в соответствии с их k -изоэдрическими положениями в пределах симметрии.

— Примитивная единица это часть мозаики, которая генерирует всю мозаику, используя только преобразования, и является минимально возможной.

Рейнхардт (1918)

Рейнхардт (1918) обнаружил первые пять типов пятиугольной плитки. Все пять могут создавать изоэдральные мозаики, а это означает, что симметрия мозаики может переводить любую плитку в любую другую плитку (более формально, группа автоморфизмов транзитивно действует на плитках ).

Б. Грюнбаум и Г. Шепард показали, что согласно их классификационной схеме существует ровно двадцать четыре различных «типа» изоэдральных разбиений плоскости пятиугольниками. ^[6] Все используют плитки Рейнхардта, обычно с дополнительными условиями, необходимыми для замощения. Есть две мозаики для всех плиток типа 2 и по одной для всех остальных четырех типов. Пятнадцать из остальных восемнадцати мозаик представляют собой особые случаи плиток типа 1. Девять из двадцати четырех плиток расположены от края до края. ^[7]

Существуют также 2-изоэдральные мозаики по особым случаям плиток типа 1, 2 и 4, а также 3-изоэдральные мозаики, все от края до края, по особым случаям плиток типа 1. Не существует верхней границы для k для k-изоэдральных мозаик из определенных плиток как типа 1, так и типа 2, а, следовательно, и для количества плиток в примитивной единице.

Симметрия группы обоев для каждой мозаики указана с обозначением орбифолда в скобках. Вторая нижняя группа симметрии задается, если существует хиральность плитки , при которой зеркальные изображения считаются отдельными. В таких случаях они отображаются в виде желтых и зеленых плиток.

Тип 1

Существует множество топологий мозаики, содержащих пятиугольники типа 1. Ниже приведены пять примеров топологий.

Замощения пятиугольника типа 1
р2 (2222)	см (2*22)	см (*×)	пмг (22*)	пгг (22 ×)	р2 (2222)	см (2*22)
р2 (2222)	см (2*22)	р1 (°)	р2 (2222)	р2 (2222)	р2 (2222)	см (2*22)

2-клеточный примитивный блок			4-клеточный примитивный блок
Б + С = 180° А + Д + Е = 360°		а = с, d = е А + Б = 180° С + Г + Е = 360°	а = с А + Б = 180° С + Г + Е = 360°	а = е Б + С = 180° А + Д + Е = 360°	д = с + е А = 90°, 2В + С = 360° С + D = 180°, В + Е = 270°

Тип 2

Эти примеры типа 2 являются изоэдрическими. Второй вариант — от края до края. Они оба имеют симметрию pgg (22×). Если плитки зеркального отображения (желтые и зеленые) считаются отдельными, симметрия равна p2 (2222).

Тип 2
пгг (22×)
р2 (2222)

4-клеточный примитивный блок
с = е Б + Г = 180°	в = е, d = б Б + Г = 180°

Типы 3, 4 и 5

Тип 3		Тип 4		Тип 5
п3 (333)	п31м (3*3)	р4 (442)	п4г (4*2)	п6 (632)


3-клеточный примитивный блок		4-клеточный примитивный блок		Примитивная единица из 6 плиток	Примитивная единица из 18 плиток
а = б, d = с + е А = С = Г = 120°		б = с, d = е Б = Д = 90°		а = б, d = е А = 60°, Д = 120°	а = б = с, d = е А = 60°, В = 120°, С = 90° Д = 120°, Е = 150°

Кершнер (1968) Типы 6, 7, 8.

Кершнер (1968) обнаружил еще три типа пятиугольной плитки, в результате чего их общее количество достигло восьми. Он ошибочно утверждал, что это полный список пятиугольников, которыми можно замостить плоскость.

Эти примеры являются 2-изоэдральными и от края до края. Типы 7 и 8 имеют хиральные пары плиток, которые окрашены в желто-зеленый цвет, а остальные - в два оттенка синего. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Тип 6	Тип 6 (Также введите 5)	Тип 7	Тип 8
р2 (2222)		пгг (22 ×)	пгг (22×)
р2 (2222)		р2 (2222)	р2 (2222)


а = d = е, б = с Б + Д = 180°, 2В = Е	а = d = е, б = с, В = 60° А = С = D = Е = 120°	б = с = d = е Б + 2Е = 2С + Д = 360°	б = с = d = е 2Б + С = Д + 2Е = 360°
4-клеточный примитивный блок	4-клеточный примитивный блок	Примитивная единица из 8 плиток	Примитивная единица из 8 плиток

Джеймс (1975) Тип 10

В 1975 году Ричард Э. Джеймс III обнаружил девятый тип, прочитав о результатах Кершнера в колонке Мартина Гарднера « Математические игры » в журнале Scientific American за июль 1975 года (перепечатано Гарднером (1988) ). ^[8] Ему присвоен тип 10. Замощение 3-изоэдральное, без ребра в ребро.

Тип 10
р2 (2222)	см (2*22)


а=б=в+е А=90, Б+Е=180° Б+2С=360°	а=b=2c=2e А=Б=Е=90° С=Д=135°
Примитивная единица из 6 плиток

Рис (1977) Типы 9,11,12,13

Марджори Райс , математик-любитель, открыла четыре новых типа мозаичных пятиугольников в 1976 и 1977 годах. ^[7]^[9]

Все четыре мозаики 2-изоэдральны. Хиральные пары плиток окрашены в желтый и зеленый цвета для одного изоэдрального набора и в два оттенка синего цвета для другого набора. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными.

Замощение тайлами типа 9 является сквозным, а остальные нет.

Каждая примитивная единица содержит восемь плиток.

Тип 9	Тип 11	Тип 12	Тип 13
пгг (22×)
р2 (2222)


б=в=д=е 2А+С=Д+2Е=360°	2а+с=г=е А=90°, 2В+С=360° С+Е=180°	2а=г=в+е А=90°, 2В+С=360° С+Е=180°	д=2а=2е Б=Е=90°, 2А+D=360°
Примитивная единица из 8 плиток	Примитивная единица из 8 плиток	Примитивная единица из 8 плиток	Примитивная единица из 8 плиток

Штейн (1985) Тип 14

14-й тип выпуклого пятиугольника был открыт Рольфом Штайном в 1985 году. ^[10]

Замощение 3-изоэдральное и безреберное. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Точные пропорции указаны ${\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8}}}$ и угол B тупой с $\sin(B)={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}$ . Другие отношения легко вывести.

Примитивные единицы содержат шесть плиток соответственно. Он имеет симметрию p2 (2222).

Тип 14
	2а=2с=г=е А=90°, Б≈145,34°, С≈69,32°, D≈124.66°, E≈110.68° (2B+C=360°, C+E=180°).	Примитивная единица из 6 плиток

Манн/МакЛауд/Фон Дерау (2015) Тип 15

Ботелла из Вашингтонского университета Математики Кейси Манн , Дженнифер Маклауд-Манн и Дэвид фон Дерау в 2015 году с помощью компьютерного алгоритма открыли 15-й моноэдральный замощенный выпуклый пятиугольник . ^[11]^[12] Это 3-изоэдральный объект без границ, нарисованный 6 цветами, 2 оттенками 3 цветов, представляющий киральные пары трех изоэдральных положений. Симметрия pgg снижается до p2, когда киральные пары считаются различными. Он имеет полностью определенные плитки без степеней свободы. Примитивные единицы содержат двенадцать плиток. Он имеет симметрию pgg (22×) и p2 (2222), если киральные пары считаются различными.

Тип 15
(Увеличенное изображение)	а=с=е, б=2а, d= $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠a + √ 2 / √ 3 -1 ⁠$ А=150°, Б=60°, С=135° Д=105°, Е=90°	Примитивная единица из 12 плиток

Больше никаких периодических типов мозаики из пятиугольников.

В июле 2017 года Микаэль Рао завершил компьютерное доказательство, показав, что не существует других типов выпуклых пятиугольников, которые могли бы замостить плоскость. Полный список выпуклых многоугольников, которыми можно замостить плоскость, включает указанные выше 15 пятиугольников, три типа шестиугольников, а также все четырехугольники и треугольники. ^[5] Следствием этого доказательства является то, что не существует выпуклого многоугольника, который замощал бы плоскость только апериодически, поскольку все вышеперечисленные типы допускают периодическое замощение.

Замощение непериодических моноэдральных пятиугольников

Также можно построить непериодические моноэдральные пятиугольные мозаики, как в примере ниже с 6-кратной вращательной симметрией Майкла Хиршхорна. Углы A = 140°, B = 60°, C = 160°, D = 80°, E = 100°. ^[13]^[14]

В 2016 году Бернхард Клаассен смог показать, что каждый дискретный тип вращательной симметрии может быть представлен моноэдральной пятиугольной мозаикой из одного и того же класса пятиугольников. ^[15] Примеры 5-кратной и 7-кратной симметрии показаны ниже. Такие мозаики возможны для любого типа n -кратной вращательной симметрии с n >2.

5-кратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике	Моноэдральная пятиугольная мозаика Хиршхорна 6-кратной вращательной симметрии	7-кратная вращательная симметрия в моноэдральной пятиугольной мозаике

Двойные однородные мозаики

Есть три изоэдральных пятиугольных мозаики , двойственных однородным мозаикам с 5-валентными вершинами. Они представляют собой особые случаи более высокой симметрии 15 моноэдральных мозаик, представленных выше. Все однородные мозаики и их двойники являются сквозными. Эти двойственные мозаики также называются мозаиками Лавеса . Симметрия однородных двойственных мозаик такая же, как и у однородных мозаик. Поскольку однородные мозаики изогональны , двойственные мозаики изоэдральны .

см (2*22)	п4г (4*2)	п6 (632)

Призматическая пятиугольная плитка Экземпляр типа 1 ^[16]	Каирская пятиугольная плитка Экземпляр типа 4 ^[16]^[17]	Пятиугольная плитка Floret Экземпляр типов 1, 5 и 6 ^[16]
120°, 120°, 120°, 90°, 90° Версия 3.3.3.4.4	120°, 120°, 90°, 120°, 90° Версия 3.3.4.3.4	120°, 120°, 120°, 120°, 60° В3.3.3.3.6

Двойные k -однородные мозаики

K с вершинами с валентностью 5 также имеют пятиугольные двойственные мозаики, содержащие те же три пятиугольника , -однородные мозаики что и полуправильные двойственные мозаики, приведенные выше, но содержат смесь пятиугольных типов. k - однородная мозаика имеет k -изоэдральную двойную мозаику и представлена разными цветами и оттенками цветов ниже.

Например, все эти 2, 3, 4 и 5-однородные двойственные числа являются пятиугольными: ^[18]^[19]

2-изоэдрический		3-изоэдрический
п4г (4*2)	пгг (22 ×)		р2 (2222)	стр6 (*632)


4-изоэдрический			5-изоэдрический
пгг (22 ×)		р2 (2222)		п6м (*632)


5-изоэдрический
пгг (22 ×)			р2 (2222)

Пятиугольная/шестиугольная мозаика

Пятиугольники имеют своеобразные отношения с шестиугольниками. Как показано на графике ниже, некоторые типы шестиугольников можно разделить на пятиугольники. Например, правильный шестиугольник делится пополам на два пятиугольника 1-го типа. Разделение выпуклых шестиугольников возможно также на три (тип 3), четыре (тип 4) и девять (тип 3) пятиугольников.

Расширяя это соотношение, плоскость может быть замощена одним пятиугольным прототипом таким образом, чтобы генерировать шестиугольные наложения. Например:

Плоская тесселяция одним пятиугольным прототипом (тип 1) с наложениями правильных шестиугольников (каждый состоит из двух пятиугольников).	Плоская тесселяция одним пятиугольным прототипом (тип 3) с наложениями правильных шестиугольников (каждый состоит из трех пятиугольников).	Плоская мозаика с помощью одного пятиугольного прототипа (тип 4) с наложениями полуправильных шестиугольников (каждый из которых состоит из 4 пятиугольников).	Плоская тесселяция одним пятиугольным прототипом (тип 3) с наложением правильных шестиугольников двух размеров (содержащих 3 и 9 пятиугольников соответственно).

Невыпуклые пятиугольники

Для пятиугольников, которые не обязательно должны быть выпуклыми , возможны дополнительные типы мозаики. Примером может служить плитка сфинкса , апериодическая плитка, образованная пятиугольной рептилией . ^[20] Сфинкс также может периодически замостить плоскость, соединяя две плитки сфинкса вместе, образуя параллелограмм , а затем замостив плоскость сдвигами этого параллелограмма. ^[20] шаблон, который можно расширить до любого невыпуклого пятиугольника, имеющего два последовательных угла, в сумме равных 2 $π$ .

Можно разделить равносторонний треугольник на три конгруэнтных невыпуклых пятиугольника, встречающихся в центре треугольника, и замостить плоскость полученной трехпятиугольной единицей. ^[21]Подобный метод можно использовать для разделения квадратов на четыре конгруэнтных невыпуклых пятиугольника или правильных шестиугольников на шесть конгруэнтных невыпуклых пятиугольников, а затем замостить плоскость полученной единицей.

Правильные пятиугольные мозаики в неевклидовой геометрии

Додекаэдр можно рассматривать как правильную мозаику из 12 пятиугольников на поверхности сферы с символом Шлефли {5,3}, имеющим три пятиугольника вокруг каждой вершины.

В гиперболической плоскости существуют мозаики из правильных пятиугольников, например пятиугольная мозаика четвертого порядка , {5,4}, имеющая четыре пятиугольника вокруг каждой вершины. Регулярные мозаики более высокого порядка {5,n} можно построить на гиперболической плоскости, оканчивающиеся на {5,∞}.

Сфера		Гиперболическая плоскость
{5,2}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	{5,7}	{5,8}	... {5,∞}

Неправильные гиперболические плоские пятиугольные мозаики

Существует бесконечное количество двойственных однородных мозаик в гиперболической плоскости с изогональными неправильными пятиугольными гранями. Они имеют конфигурации лиц как V3.3. п .3. q .

Заказать p - q пятиугольную плитку в виде цветочка
7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
В3.3.3.3.7	В3.3.3.3.8	В3.3.3.3.9	...	В3.3.4.3.5	В3.3.4.3.6	В3.3.4.3.7	...	В3.3.5.3.5

Версия бинарной мозаики , в которой плитки ограничены отрезками гиперболических прямых, а не дугами орициклов , образует пятиугольные мозаики, которые должны быть непериодическими в том смысле, что их группы симметрии могут быть одномерными, но не двумерными. ^[22]

Ссылки

^ Чунг, Пинг Нгай; Фернандес, Майкл А.; Ли, Ифэй; Мара, Майкл; Морган, Фрэнк; Серебро, Изамар Пинк; Шах, Нирли; Гребешок, Глухой Луи; Викнер, Елена (01 мая 2012 г.), «Изопериметрические пятиугольные плитки» , Уведомления Американского математического общества , 59 (5): 632, doi : 10.1090/noti838 , ISSN 0002-9920
^ Грюнбаум и Шепард 1987 , разд. 9.3. Другие моноэдральные замощения выпуклыми многоугольниками.
^ Рао 2017 .
^ «Код Mathematica, проверяющий классификацию Рао-выпуклой пятиугольной плитки» , GitHub
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Волчовер 2017 .
^ Грюнбаум и Шепард 1978 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шатшнайдер 1978 .
^ Секретные пятиугольники Марджори Райс Журнал Quanta
^ Марджори Райс, «Тесселяции» , «Интригующие тесселяции» , получено 22 августа 2015 г. - через Сайты Google.
^ Шатшнайдер 1985 .
^ Красивый 2015 год .
^ Манн, Маклауд-Манн и фон Дерау 2018 .
^ Шаттшнайдер 1978 , рис. 12.
^ Хиршхорн и Хант 1985 .
^ Клаассен 2016 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Reinhardt 1918 , стр. 77–81 (внимание: в этой статье есть по крайней мере одна очевидная ошибка, т.е. сумма углов γ+δ должна равняться π, а не 2π для первых двух типов мозаики, определенных на стр. 77)
^ Каирская пятиугольная мозаика, сгенерированная пятиугольника типа 4 запросом и запросом пятиугольника типа 2 мозаики определенному на wolframalpha.com (внимание: определение вольфрамовой мозаики пятиугольника типа 2 не соответствует типу 2, Рейнхардтом в 1918 году)
^ Чави 1989 .
^ Брайан Галебах: «Добро пожаловать в мою коллекцию n-однородных мозаик!» , Вероятностьспорт.com
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Годреш 1989 .
^ Гервер 2003 .
^ Фреттло, Дирк; Гарбер, Алексей (2015), «Симметрии монокорональных мозаик», Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science , 17 (2): 203–234, arXiv : 1402.4658 , doi : 10.46298/dmtcs.2142 , MR 3411398

Библиография

Багина, Ольга (2004), «Замощение плоскости конгруэнтными равносторонними выпуклыми пятиугольниками», Журнал комбинаторной теории, серия A , 105 (2): 221–232, doi : 10.1016/j.jcta.2003.11.002 , ISSN 1096- 0899 , МР 2046081
Багина, Ольга (2011), Мозаики из выпуклых пятиугольников [Замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками], Вестник , 4 (48): 63–73, ISSN 2078-1768 , дата обращения 29 января 2013 г.
Беллос, Алекс (11 августа 2015 г.), «Атака на пятиугольник приводит к открытию новой математической плитки» , The Guardian
Чави, Д. (1989), «Мозаика из правильных многоугольников — II: Каталог мозаик» , Computers & Mathematics with Applications , 17 (1–3): 147–165, doi : 10.1016/0898-1221(89)90156 -9
Гарднер, Мартин (1988), «Мозаика с помощью выпуклых многоугольников», Путешествие во времени и другие математические недоумения , Нью-Йорк: WH Freeman, Bibcode : 1988ttom.book.....G , ISBN 978-0-7167-1925-0 , МР 0905872
Гервер, М.Л. (2003), «Теоремы о мозаике многоугольниками», Сборник: Математика , 194 (6): 879–895, Bibcode : 2003SbMat.194..879G , doi : 10.1070/sm2003v194n06abeh000743 , S2CID 2508 13440
Годреш, К. (1989), «Сфинкс: предельно-периодическое замощение плоскости», Journal of Physics A: Mathematical and General , 22 (24): L1163–L1166, Bibcode : 1989JPhA...22L1163G , doi : 10.1088/0305-4470/22/24/006 , МР 1030678
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри К. (1978), «Изоэдральные мозаики плоскости многоугольниками», Commentarii Mathematici Helvetici , 53 : 542–571, doi : 10.1007/bf02566098 , ISSN 0010-2571 , S2CID 119897404
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, Джеффри К. (1987), «Плитки многоугольниками», Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman and Company, ISBN 978-0-7167-1193-3 , МР 0857454
Хиршхорн, доктор медицины; Хант, округ Колумбия (1985), «Равносторонние выпуклые пятиугольники, покрывающие плоскость» (PDF) , Журнал комбинаторной теории, серия A , 39 (1): 1–18, doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 , ISSN 1096-0899 , MR 0787713 , получено 30 октября 2020 г.
Кершнер, Ричард (1968), «О прокладке самолета», American Mathematical Monthly , 75 (8): 839–844, doi : 10.2307/2314332 , ISSN 0002-9890 , JSTOR 2314332 , MR 0236822
Клаассен, Бернхард (2016), «Вращательно-симметричные мозаики с выпуклыми пятиугольниками и шестиугольниками», Elemente der Mathematik , 71 (4): 137–144, arXiv : 1509.06297 , doi : 10.4171/em/310 , ISSN 0013-6018 , S2CID 11 9738738
Манн, Кейси; Маклауд-Манн, Дженнифер; Фон Дерау, Дэвид (2018), «Выпуклые пятиугольники, допускающие $i$ -блочные транзитивные мозаики», Geometriae Dedicata , 194 (1): 141–167, arXiv : 1510.01186 , doi : 10.1007/s10711-017-0270-9 , S2CID 119176351
Рао, Микаэль (2017), Исчерпывающий поиск выпуклых пятиугольников, покрывающих плоскость (PDF) , arXiv : 1708.00274
Рейнхардт, Карл (1918), О разложении плоскости на многоугольники (диссертация) (на немецком языке), Борна-Лейпциг: Напечатано Робертом Носке
Шаттшнайдер, Дорис (1978), «Разбиение плоскости равными пятиугольниками» , журнал Mathematics Magazine , 51 (1): 29–44, doi : 10.2307/2689644 , ISSN 0025-570X , JSTOR 2689644 , MR 0493766
Шатшнайдер, Дорис (1985), «Новый пятиугольный плиточник», журнал Mathematics Magazine , 58 (5): 308, на обложке изображена новая плитка.
Сугимото, Терухиса; Огава, Тору (2005), «Систематическое исследование выпуклых пятиугольных мозаик. I. Случай выпуклых пятиугольников с четырьмя ребрами одинаковой длины» , Форма , 20 : 1–18, MR 2240616
Сугимото, Терухиса; Огава, Тору (2009), «Систематическое исследование выпуклых пятиугольных мозаик, II: мозаика выпуклыми пятиугольниками с четырьмя ребрами одинаковой длины» , Форма , 24 (3): 93–109, MR 2868775 ; Поправки , Форма 25 (1): 49, 2010, MR 2868824
Сугимото, Терухиса (2012), «Выпуклые пятиугольники для мозаики от края до края, I» , Forma , 27 (1): 93–103, MR 3030316
Вулчовер, Натали (11 июля 2017 г.), «Доказательство мозаики Пентагона решает вековую математическую задачу» , журнал Quanta

Внешние ссылки

[1] Чунг, Пинг Нгай; Фернандес, Майкл А.; Ли, Ифэй; Мара, Майкл; Морган, Фрэнк; Серебро, Изамар Пинк; Шах, Нирли; Гребешок, Глухой Луи; Викнер, Елена (01 мая 2012 г.), «Изопериметрические пятиугольные плитки» , Уведомления Американского математического общества , 59 (5): 632, doi : 10.1090/noti838 , ISSN 0002-9920

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987Sec._9.3_Other_Monohedral_tilings_by_convex_polygons-2] Грюнбаум и Шепард 1987 , разд. 9.3. Другие моноэдральные замощения выпуклыми многоугольниками.

[FOOTNOTERao2017-3] Рао 2017 .

[4] «Код Mathematica, проверяющий классификацию Рао-выпуклой пятиугольной плитки» , GitHub

[FOOTNOTEWolchover2017-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Волчовер 2017 .

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1978-6] Грюнбаум и Шепард 1978 .

[FOOTNOTESchattschneider1978-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Шатшнайдер 1978 .

[8] Секретные пятиугольники Марджори Райс Журнал Quanta

[9] Марджори Райс, «Тесселяции» , «Интригующие тесселяции» , получено 22 августа 2015 г. - через Сайты Google.

[FOOTNOTESchattschneider1985-10] Шатшнайдер 1985 .

[FOOTNOTEBellos2015-11] Красивый 2015 год .

[FOOTNOTEMannMcLoud-MannVon_Derau2018-12] Манн, Маклауд-Манн и фон Дерау 2018 .

[FOOTNOTESchattschneider1978Fig_12-13] Шаттшнайдер 1978 , рис. 12.

[FOOTNOTEHirschhornHunt1985-14] Хиршхорн и Хант 1985 .

[FOOTNOTEKlaassen2016-15] Клаассен 2016 .

[Reinhardt1918-16] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Reinhardt 1918 , стр. 77–81 (внимание: в этой статье есть по крайней мере одна очевидная ошибка, т.е. сумма углов γ+δ должна равняться π, а не 2π для первых двух типов мозаики, определенных на стр. 77)

[17] Каирская пятиугольная мозаика, сгенерированная пятиугольника типа 4 запросом и запросом пятиугольника типа 2 мозаики определенному на wolframalpha.com (внимание: определение вольфрамовой мозаики пятиугольника типа 2 не соответствует типу 2, Рейнхардтом в 1918 году)

[FOOTNOTEChavey1989-18] Чави 1989 .

[19] Брайан Галебах: «Добро пожаловать в мою коллекцию n-однородных мозаик!» , Вероятностьспорт.com

[FOOTNOTEGodrèche1989-20] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Годреш 1989 .

[FOOTNOTEGerver2003-21] Гервер 2003 .

[22] Фреттло, Дирк; Гарбер, Алексей (2015), «Симметрии монокорональных мозаик», Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science , 17 (2): 203–234, arXiv : 1402.4658 , doi : 10.46298/dmtcs.2142 , MR 3411398

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]