Квакваверсальная мозаика

Квакваверсальная мозаика — это непериодическая мозаика евклидова трёхмерного пространства, введенная Джоном Конвеем и Чарльзом Радином . Это аналогично мозаике вертушки в двух измерениях, ориентация плиток которой плотна в SO(3) . Базовые сплошные плитки представляют собой 30-60-90, треугольные призмы расположенные таким образом, что некоторые копии повернуты на π/3, а некоторые повернуты на π/2 в перпендикулярном направлении. ^[1]

Они строят группу G( p , q ), заданную вращением на 2π/ p и перпендикулярным вращением на 2π/ q ; ориентации в квакваверсальном замощении задаются формулой G(6,4). G( p ,1) — циклические группы , G( p ,2) — группы диэдра , G(4,4) — октаэдрическая группа , а все остальные G( p , q ) бесконечны и плотны в SO(3); если p и q нечетны и ≥3, то G( p , q ) — свободная группа . ^[1]

Радин и Лоренцо Садун построили аналогичные соты на основе мозаики, родственной мозаике Пенроуза и мозаике вертушки; первый имеет ориентации в G(10,4), а второй имеет ориентации в G( p ,4) с иррациональным вращением 2π/ p = arctan(1/2) . Они показывают, что G( p ,4) плотна в SO(3) для вышеупомянутого значения p и всякий раз, когда cos(2π/ p ) трансцендентна . ^[2]

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Конвей, Джон Х .; Радин, Чарльз (1998), «Квакваверсальные мозаики и вращения», Inventiones Mathematicae , 132 (1): 179–188, Bibcode : 1998InMat.132..179C , doi : 10.1007/s002220050221 , MR 1618635 , S2CID 141 94250 .
^ Радин, Чарльз ; Садун, Лоренцо (1998), «Подгруппы SO (3), связанные с мозаикой», Journal of Algebra , 202 (2): 611–633, doi : 10.1006/jabr.1997.7320 , MR 1617675 .