Апейрогональная мозаика порядка 4

Апейрогональная мозаика порядка 4
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая регулярная мозаика
Конфигурация вершин	∞ ⁴
Символ Шлефли	{∞,4} г{∞,∞} т(∞,∞,∞) т _0,1,2,3 (∞,∞,∞,∞)
Символ Витхоффа	4 \| ∞ 2 2 \| ∞ ∞ ∞ ∞ \| ∞
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	[∞,4], (∞42) [∞,∞], (∞∞2) [(∞,∞,∞)], (∞∞∞) (∞∞∞∞)
Двойной	Квадратная мозаика бесконечного порядка
Характеристики	Вершинно-транзитивный , реберно-транзитивный , реберно-транзитивный, реберно-транзитивный

В геометрии — апейрогональное замощение четвертого порядка это регулярное замощение гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли {∞,4}.

Симметрия

Эта мозаика представляет собой зеркальные линии *2 ^∞ симметрия. Его двойное разбиение представляет собой фундаментальные области орбифолдной нотации *∞∞∞∞ симметрии, квадратную область с четырьмя идеальными вершинами.

Равномерные раскраски

Как и в случае с евклидовой квадратной мозаикой, для этой мозаики существует 9 однородных раскрасок, из которых 3 однородные раскраски создаются треугольными отражающими областями. Четвертый можно построить из бесконечной квадратной симметрии (*∞∞∞∞) с 4 цветами вокруг вершины. Раскраска шахматной доски r{∞,∞} определяет фундаментальные области симметрии [(∞,4,4)], (*∞44), обычно изображаемые как черно-белые области отражающей ориентации.

1 цвет	2 цвета	3 и 2 цвета		4, 3 и 2 цвета
[∞,4], (*∞42)	[∞,∞], (*∞∞2)	[(∞,∞,∞)], (*∞∞∞)		(*∞∞∞∞)
{∞,4}	г{∞,∞} = {∞,4} 1 ⁄ 2	т _0,2 (∞,∞,∞) = г{∞,∞} 1 ⁄ 2		т _0,1,2,3 (∞,∞,∞,∞) = г{∞,∞} 1 ⁄ 4 = {∞,4} 1 ⁄ 8
(1111)	(1212)	(1213)	(1112)	(1234)	(1123)	(1122)
	=	= =		= =

Связанные многогранники и мозаика

Это замощение также топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Коксетера. , где n стремится к бесконечности.

* n 42 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,4} v т и
Spherical		Euclidean	Hyperbolic tilings

2⁴	3⁴	4⁴	5⁴	6⁴	7⁴	8⁴	...∞⁴

Паракомпактные равномерные разбиения семейства [∞,4] v т и


{∞,4}	t{∞,4}	r{∞,4}	2t{∞,4}=t{4,∞}	2r{∞,4}={4,∞}	rr{∞,4}	tr{∞,4}
Dual figures


V∞⁴	V4.∞.∞	V(4.∞)²	V8.8.∞	V4^∞	V4³.∞	V4.8.∞
Alternations
[1⁺,∞,4] (*44∞)	[∞⁺,4] (∞*2)	[∞,1⁺,4] (*2∞2∞)	[∞,4⁺] (4*∞)	[∞,4,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,4,2⁺)] (2*2∞)	[∞,4]⁺ (∞42)
=				=
h{∞,4}	s{∞,4}	hr{∞,4}	s{4,∞}	h{4,∞}	hrr{∞,4}	s{∞,4}

Alternation duals


V(∞.4)⁴	V3.(3.∞)²	V(4.∞.4)²	V3.∞.(3.4)²	V∞^∞	V∞.4⁴	V3.3.4.3.∞

Паракомпактные равномерные разбиения семейства [∞,∞] v т и
= =	= =	= =	= =	= =	=	=

{∞,∞}	t{∞,∞}	r{∞,∞}	2t{∞,∞}=t{∞,∞}	2r{∞,∞}={∞,∞}	rr{∞,∞}	tr{∞,∞}
Dual tilings


V∞^∞	V∞.∞.∞	V(∞.∞)²	V∞.∞.∞	V∞^∞	V4.∞.4.∞	V4.4.∞
Alternations
[1⁺,∞,∞] (*∞∞2)	[∞⁺,∞] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺] (∞*∞)	[∞,∞,1⁺] (*∞∞2)	[(∞,∞,2⁺)] (2*∞∞)	[∞,∞]⁺ (2∞∞)


h{∞,∞}	s{∞,∞}	hr{∞,∞}	s{∞,∞}	h₂{∞,∞}	hrr{∞,∞}	sr{∞,∞}
Alternation duals


V(∞.∞)^∞	V(3.∞)³	V(∞.4)⁴	V(3.∞)³	V∞^∞	V(4.∞.4)²	V3.3.∞.3.∞

Паракомпактные равномерные разбиения в семействе [(∞,∞,∞)] v т и



(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) h₂{∞,∞}	(∞,∞,∞) h{∞,∞}	r(∞,∞,∞) r{∞,∞}	t(∞,∞,∞) t{∞,∞}
Dual tilings

V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞^∞	V∞.∞.∞.∞	V∞.∞.∞
Alternations
[(1⁺,∞,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞⁺,∞,∞)] (∞*∞)	[∞,1⁺,∞,∞)] (*∞∞∞∞)	[∞,∞⁺,∞)] (∞*∞)	[(∞,∞,∞,1⁺)] (*∞∞∞∞)	[(∞,∞,∞⁺)] (∞*∞)	[∞,∞,∞)]⁺ (∞∞∞)


Alternation duals

V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V(∞.∞)^∞	V(∞.4)⁴	V3.∞.3.∞.3.∞

См. также

Ссылки

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

Внешние ссылки