Укладка вертушки

В геометрии определенные вертушки — это непериодические мозаики, Чарльзом Радином и основанные на конструкции Джона Конвея .Это первые известные непериодические мозаики, каждая из которых обладает тем свойством, что их плитки появляются в бесконечном количестве ориентаций.

Определение

Позволять $T$ быть прямоугольным треугольником с длиной стороны $1$ , $2$ и ${\sqrt {5}}$ .Конвей заметил, что $T$ можно разделить на пять изометрических копий своего изображения расширением фактора $1/{\sqrt {5}}$ . ^[1]

Плитка-вертушка получается путем многократного надувания. $T$ в разы ${\sqrt {5}}$ а затем таким образом разделить каждую плитку. И наоборот, плитки мозаики-вертушки можно сгруппировать в группы по пять, которые образуют более крупную мозаику-вертушку. В этом тайлинге изометрические копии $T$ появляются в бесконечном числе ориентаций, поскольку малый угол $T$ , $\arctan {\frac {1}{2}}$ , не является рациональным кратным $\pi$ . Радин нашел коллекцию из пяти прототипов, каждый из которых представляет собой маркировку $T$ , так что правила сопоставления этих плиток и их отражений обеспечивают замощение вертушки. ^[1] Все вершины имеют рациональные координаты, а ориентации плиток равномерно распределены по кругу. ^[2]

Обобщения

Радин и Конвей предложили трехмерный аналог, получивший название квакваверсальной мозаики . ^[3] Существуют и другие варианты и обобщения исходной идеи. ^[4]

Фрактал получается итеративным делением $T$ в пяти изометрических копиях, следуя конструкции Конвея и отбрасывая средний треугольник ( до бесконечности ). Этот «фрактал-вертушка» имеет хаусдорфову размерность. $d={\frac {\ln 4}{\ln {\sqrt {5}}}}=\log _{5}(16)\approx 1.7227$ .

Использование в архитектуре

Площадь Федерации , комплекс зданий в Мельбурне, Австралия, украшен плиткой в виде вертушки. В проекте рисунок плитки используется для создания структурного каркаса фасадов, что позволяет изготовить фасады за пределами объекта, на заводе, а затем возвести их для формирования фасадов. Система облицовки «вертушка» была основана на единственном треугольном элементе, состоящем из цинка, перфорированного цинка, песчаника или стекла (известного как плитка), который был соединен с четырьмя другими аналогичными плитками на алюминиевой раме, образуя «панель». Пять панелей были прикреплены к каркасу из оцинкованной стали, образуя «мегапанель», которую затем подняли на опорные рамы фасада. Вращательное расположение плиток придает фасадам более случайную, неопределенную композиционность, хотя процесс их возведения основан на предварительном изготовлении и повторении. Та же самая система вертушки используется при разработке каркаса и остекления «Атриума» на площади Федерации, хотя в этом случае сетка вертушки была сделана «трехмерной», чтобы сформировать структуру рамы портала.

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Радин, К. (май 1994 г.). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .
^ Чарльз Радин (1997). Математика дальнего апериодического порядка . Дордрехт ; Бостон: Академическое издательство Kluwer. стр. 499–519. ISBN 0-7923-4506-1 .
^ Конвей, Джон Х .; Радин, Чарльз (1998), «Квакваверсальные мозаики и вращения», Inventiones Mathematicae , 132 (1): 179–188, Bibcode : 1998InMat.132..179C , doi : 10.1007/s002220050221 , MR 1618635 , S2CID 141 94250 .
^ Садун, Л. (январь 1998 г.). «Некоторые обобщения мозаики вертушки». Дискретная и вычислительная геометрия . 20 (1): 79–110. arXiv : математика/9712263 . CiteSeerX 10.1.1.241.1917 . дои : 10.1007/pl00009379 . S2CID 6890001 .

Внешние ссылки

Вертушка в энциклопедии плитки
Динамическая вертушка, сделанная в GeoGebra.

[radin94-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Радин, К. (май 1994 г.). «Вертушка плоскости». Анналы математики . 139 (3): 661–702. CiteSeerX 10.1.1.44.9723 . дои : 10.2307/2118575 . JSTOR 2118575 .

[2] Чарльз Радин (1997). Математика дальнего апериодического порядка . Дордрехт ; Бостон: Академическое издательство Kluwer. стр. 499–519. ISBN 0-7923-4506-1 .

[cr-3] Конвей, Джон Х .; Радин, Чарльз (1998), «Квакваверсальные мозаики и вращения», Inventiones Mathematicae , 132 (1): 179–188, Bibcode : 1998InMat.132..179C , doi : 10.1007/s002220050221 , MR 1618635 , S2CID 141 94250 .

[4] Садун, Л. (январь 1998 г.). «Некоторые обобщения мозаики вертушки». Дискретная и вычислительная геометрия . 20 (1): 79–110. arXiv : математика/9712263 . CiteSeerX 10.1.1.241.1917 . дои : 10.1007/pl00009379 . S2CID 6890001 .

[1]

[2]

[3]

[4]