Восьмиугольная плитка порядка 4
| Восьмиугольная плитка порядка 4 | |
|---|---|
 Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости | |
| Тип | Гиперболическая регулярная мозаика |
| Конфигурация вершин | 8 4 |
| Символ Шлефли | {8,4} г{8,8} |
| Символ Витхоффа | 4 | 8 2 |
| Диаграмма Кокстера |     или   |
| Группа симметрии | [8,4], (*842) [8,8], (*882) |
| Двойной | Укладка плитки порядка 8 квадратов |
| Характеристики | Вершинно-транзитивный , ребро-транзитивный , грани-транзитивный |
В геометрии представляет восьмиугольная мозаика четвертого порядка собой правильную мозаику гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли {8,4}. Его шахматную раскраску можно назвать восьмиугольной мозаикой и символом Шлефли r{8,8}.
Единые конструкции
[ редактировать ]Существует четыре однородные конструкции этого мозаики, три из них построены путем удаления зеркала из калейдоскопа [8,8] . Удаление зеркала между точками порядка 2 и 4, [8,8,1 + ], дает [(8,8,4)], (*884) симметрию. Удаление двух зеркал как [8,4 * ], оставляет оставшиеся зеркала симметрии *4444 .
| Униформа Раскраска |  |  |  |  |
|---|---|---|---|---|
| Симметрия | [8,4] (*842)    | [8,8] (*882)  = | [(8,4,8)] = [8,8,1 + ] (*884) =  
| [1 + ,8,8,1 + ] (*4444)   =  |
| Символ | {8,4} | г{8,8} | г(8,4,8) = г{8,8} 1 ⁄ 2 | г{8,4} 1 ⁄ 8 = г{8,8} 1 ⁄ 4 |
| Коксетер диаграмма | | | = 
| =  = = |
Симметрия
[ редактировать ]Эта мозаика представляет собой гиперболический калейдоскоп из 8 зеркал, встречающихся как ребра правильного шестиугольника. Эта симметрия в обозначениях орбифолда называется (*22222222) или (*2 8 ) с 8 зеркальными пересечениями второго порядка. В обозначениях Кокстера их можно представить в виде [8 * ,4], удаляя два из трёх зеркал (проходящих через центр восьмиугольника) в симметрии [8,4]. Добавление биссектрисы через две вершины восьмиугольной фундаментальной области определяет трапецоэдрическую симметрию *4422 . Добавление 4-х зеркал пополам через вершины определяет симметрию *444 . Добавление 4 зеркал пополам по краю определяет симметрию *4222 . Добавление всех 8 биссектрис приводит к полной симметрии *842 .
 *444 |  *4222 |  *832 |
Калейдоскопические домены можно рассматривать как двухцветную восьмиугольную мозаику, представляющую собой зеркальные изображения фундаментального домена. Эта раскраска представляет собой равномерную мозаику r{8,8}, квазирегулярную мозаику , и ее можно назвать восьмиугольной мозаикой .
 |  |
Связанные многогранники и мозаика
[ редактировать ]Это замощение топологически связано как часть последовательности правильных замощений с восьмиугольными гранями, начиная с восьмиугольного замощения , с символом Шлефли {8,n} и диаграммой Кокстера. 
, стремясь к бесконечности.
| * n 42 мутация симметрии правильных мозаик: { n ,4} |
|---|
| Регулярные мозаики: {n,8} |
|---|
Это замощение также топологически связано как часть последовательности правильных многогранников и замощений с четырьмя гранями на вершину, начиная с октаэдра , с символом Шлефли {n, 4} и диаграммой Коксетера. , где n стремится к бесконечности.
 {3,4}  |  {4,4} |  {5,4}  |  {6,4}  |  {7,4}  |  {8,4} | ... |  {∞,4}  |
| Однородные восьмиугольные/квадратные плитки |
|---|
| Однородные восьмиугольные плитки |
|---|
См. также
[ редактировать ]
- Квадратная плитка
- Замощения правильных многоугольников
- Список однородных плоских мозаик
- Список правильных многогранников
Ссылки
[ редактировать ]- Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
- «Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболическая мозаика» . Математический мир .
- Вайсштейн, Эрик В. «Гиперболический диск Пуанкаре» . Математический мир .
- Галерея гиперболических и сферических плиток
- KaleidoTile 3: образовательное программное обеспечение для создания сферических, плоских и гиперболических мозаик.
- Гиперболические плоские мозаики, Дон Хэтч
