Усеченная восьмиугольная плитка порядка 4

Усеченная восьмиугольная плитка порядка 4
Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости
Тип	Гиперболическая равномерная мозаика
Конфигурация вершин	4.16.16
Символ Шлефли	т{8,4} tr{8,8} или $t{\begin{Bmatrix}8\\8\end{Bmatrix}}$
Символ Витхоффа	2 8 \| 8 2 8 8 \|
Диаграмма Кокстера	или
Группа симметрии	[8,4], (842) [8,8], (882)
Двойной	Квадратная плитка тетракиса порядка 8
Характеристики	Вершинно-транзитивный

В геометрии представляет усеченная восьмиугольная мозаика четвертого порядка собой равномерную мозаику гиперболической плоскости . Он имеет символ Шлефли t _0,1 {8,4}. Второстепенная конструкция t _0,1,2 {8,8} называется усечённой восьмиугольной мозаикой из шестиугольников двух цветов .

Конструкции

Есть два однородных построения этого мозаики: во-первых, с помощью [8,4] калейдоскопа , а во-вторых, путем удаления последнего зеркала, [8,4,1 ⁺], дает [8,8], (*882).

Две однородные конструкции 4.8.4.8
Имя	Тетраоктагональный	Усеченный восьмиугольный
Изображение
Симметрия	[8,4] (*842)	[8,8] = [8,4,1 ⁺] (*882) =
Символ	т{8,4}	тр{8,8}
Диаграмма Кокстера

Двойная черепица


Двойная мозаика, квадратная мозаика тетракиса 8-го порядка, имеет конфигурацию граней V4.16.16 и представляет собой фундаментальные области группы симметрии [8,8].

Симметрия

Двойственный тайлинг представляет фундаментальные области (*882) орбифолдной симметрии. Согласно [8,8] симметрии существует 15 малых индексных подгрупп операторов зеркального удаления и чередования . Зеркала можно удалить, если все его порядки ветвей четные, и это сокращает соседние порядки ветвей пополам. Удаление двух зеркал оставляет точку вращения половинного порядка, где встречаются удаленные зеркала. На этих изображениях уникальные зеркала окрашены в красный, зеленый и синий цвета, а треугольники другого цвета показывают расположение точек вращения. [8 ⁺,8 ⁺], (44×) подгруппа имеет узкие линии, обозначающие скользящие отражения. Индекс подгруппы -8 группа, [1 ⁺,8,1 ⁺,8,1 ⁺] (4444) — коммутатор из [8,8].

Одна большая подгруппа строится как [8,8*], удаляя точки вращения (8*4), индекс 16 становится (*44444444), а ее прямая подгруппа [8,8*] ⁺, индекс 32, (44444444).

Симметрию [8,8] можно удвоить, если зеркало разделит фундаментальную область пополам и создаст симметрию *884 .

Малые индексные подгруппы [8,8] (*882)
Индекс	1	2			4
Диаграмма
Коксетер	[8,8]	[1 ⁺,8,8] =	[8,8,1 ⁺] =	[8,1 ⁺,8] =	[1 ⁺,8,8,1 ⁺] =	[8 ⁺,8 ⁺]
Орбифолд	*882	*884		*4242	*4444	44×
Полупрямые подгруппы
Диаграмма
Коксетер		[8,8 ⁺]	[8 ⁺,8]	[(8,8,2 ⁺)]	[8,1 ⁺,8,1 ⁺] = = = =	[1 ⁺,8,1 ⁺,8] = = = =
Орбифолд		8*4		2*44	4*44
Прямые подгруппы
Индекс	2	4			8
Диаграмма
Коксетер	[8,8] ⁺	[8,8 ⁺] ⁺ =	[8 ⁺,8] ⁺ =	[8,1 ⁺,8] ⁺ =	[8 ⁺,8 ⁺] ⁺ = [1 ⁺,8,1 ⁺,8,1 ⁺] = = =
Орбифолд	882	884		4242	4444
Радикальные подгруппы
Индекс		16		32
Диаграмма
Коксетер		[8,8*]	[8*,8]	[8,8*] ⁺	[8*,8] ⁺
Орбифолд		*44444444		44444444

Связанные многогранники и мозаика

* n 42 мутация симметрии усеченных мозаик: 4,2 n .2 n v т и
Symmetry *n42 [n,4]	Spherical		Euclidean	Compact hyperbolic				Paracomp.
Symmetry *n42 [n,4]	*242 [2,4]	*342 [3,4]	*442 [4,4]	*542 [5,4]	*642 [6,4]	*742 [7,4]	*842 [8,4]...	*∞42 [∞,4]
Truncated figures
Config.	4.4.4	4.6.6	4.8.8	4.10.10	4.12.12	4.14.14	4.16.16	4.∞.∞
n-kis figures
Config.	V4.4.4	V4.6.6	V4.8.8	V4.10.10	V4.12.12	V4.14.14	V4.16.16	V4.∞.∞

Однородные восьмиугольные/квадратные плитки v т и
[8,4], (842) (with [8,8] (882), [(4,4,4)] (444) , [∞,4,∞] (4222) index 2 subsymmetries) (And [(∞,4,∞,4)] (*4242) index 4 subsymmetry)
= = =	=	= = =	=	= =	=

{8,4}	t{8,4}	r{8,4}	2t{8,4}=t{4,8}	2r{8,4}={4,8}	rr{8,4}	tr{8,4}
Uniform duals


V8⁴	V4.16.16	V(4.8)²	V8.8.8	V4⁸	V4.4.4.8	V4.8.16
Alternations
[1⁺,8,4] (*444)	[8⁺,4] (8*2)	[8,1⁺,4] (*4222)	[8,4⁺] (4*4)	[8,4,1⁺] (*882)	[(8,4,2⁺)] (2*42)	[8,4]⁺ (842)
=	=	=	=	=	=

h{8,4}	s{8,4}	hr{8,4}	s{4,8}	h{4,8}	hrr{8,4}	sr{8,4}
Alternation duals


V(4.4)⁴	V3.(3.8)²	V(4.4.4)²	V(3.4)³	V8⁸	V4.4⁴	V3.3.4.3.8

Однородные восьмиугольные плитки v т и
Symmetry: [8,8], (*882)
= =	= =	= =	= =	= =	= =	= =

{8,8}	t{8,8}	r{8,8}	2t{8,8}=t{8,8}	2r{8,8}={8,8}	rr{8,8}	tr{8,8}
Uniform duals


V8⁸	V8.16.16	V8.8.8.8	V8.16.16	V8⁸	V4.8.4.8	V4.16.16
Alternations
[1⁺,8,8] (*884)	[8⁺,8] (8*4)	[8,1⁺,8] (*4242)	[8,8⁺] (8*4)	[8,8,1⁺] (*884)	[(8,8,2⁺)] (2*44)	[8,8]⁺ (882)
=		=		=	= =	= =

h{8,8}	s{8,8}	hr{8,8}	s{8,8}	h{8,8}	hrr{8,8}	sr{8,8}
Alternation duals


V(4.8)⁸	V3.4.3.8.3.8	V(4.4)⁴	V3.4.3.8.3.8	V(4.8)⁸	V4⁶	V3.3.8.3.8

Ссылки

Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 19, Гиперболические архимедовы мозаики)
«Глава 10: Правильные соты в гиперболическом пространстве». Красота геометрии: двенадцать эссе . Дуврские публикации. 1999. ISBN 0-486-40919-8 . LCCN 99035678 .

См. также

Внешние ссылки