Проблема Хиша
В геометрии фигуры число Хиша — это максимальное количество слоев копий одной и той же формы, которые могут окружать ее без перекрытий и зазоров. Проблема Хиша — это проблема определения набора чисел, которые могут быть числами Хиша. Оба названы в честь геометра Генриха Хеша . [ 1 ] который нашел плитку с номером Хиша 1 (объединение квадрата, равностороннего треугольника и прямоугольного треугольника 30-60-90) [ 2 ] и предложил более общую проблему. [ 3 ]
Например, квадрат может быть окружен бесконечным множеством слоев конгруэнтных квадратов в квадратной мозаике , в то время как круг не может быть окружен даже одним слоем конгруэнтных кругов, не оставляя при этом некоторых промежутков. Число Хиша квадрата бесконечно, а число Хиша круга равно нулю. В более сложных примерах, таких как показанный на иллюстрации, многоугольная плитка может быть окружена несколькими слоями, но не бесконечным числом; максимальное количество слоев — это число Хеша плитки.
Формальные определения
[ редактировать ]
Тесселяция плоскости — это разделение плоскости на более мелкие области, называемые тайлами . Нулевая корона плитки определяется как сама плитка, а для k > 0 k -я корона представляет собой набор плиток, разделяющих граничную точку с ( k − 1)-й короной. Число Хиша фигуры S — это максимальное значение k, при котором существует мозаика плоскости и плитка t внутри этой мозаики, для которой все плитки в коронах с нулевой по k -ю t конгруэнтны S . В некоторых работах по этой проблеме это определение модифицируется, чтобы дополнительно потребовать, чтобы объединение нулевой по k -й корон t было односвязной областью. [ 5 ]
Если не существует верхней границы числа слоев, которыми может быть окружена плитка, ее число Хеша называется бесконечным. В этом случае аргумент, основанный на лемме Кенига, можно использовать, чтобы показать, что существует мозаика всей плоскости конгруэнтными копиями плитки. [ 6 ]
Пример
[ редактировать ]Рассмотрим невыпуклый многоугольник P, показанный на рисунке справа, который образован из правильного шестиугольника путем добавления выступов на двух его сторонах и совмещения углублений на трех сторонах. На рисунке показана мозаика, состоящая из 61 копии P , одной большой бесконечной области и четырех маленьких ромбовидных многоугольников внутри четвертого слоя. Короны центрального многоугольника с первой по четвертую полностью состоят из конгруэнтных копий P , поэтому его число Хиша не менее четырех. Нельзя переставить копии многоугольника на этом рисунке, чтобы избежать создания маленьких ромбовидных многоугольников, потому что 61 копия P имеет слишком много углублений по сравнению с количеством проекций, которые могли бы их заполнить. Формализуя этот аргумент, можно доказать, что число Хиша для P равно четырем. Согласно модифицированному определению, требующему, чтобы короны были просто соединены, число Хиша равно трем. Этот пример был обнаружен Робертом Амманном . [ 5 ]
Известные результаты
[ редактировать ]Неизвестно, могут ли все положительные целые числа быть числами Хеша. Первые примеры многоугольников с числом Хиша 2 были предоставлены Фонтеном (1991) , который показал, что бесконечное множество полимино . этим свойством обладает [ 5 ] [ 7 ] Кейси Манн построил семейство плиток, каждая из которых имеет число Хиша 5. Плитки Манна имеют число Хиша 5 даже с ограниченным определением, в котором каждая корона должна быть просто соединена. [ 5 ] В 2020 году Боян Башич нашел фигуру с числом Хиша 6, высшим конечным числом до настоящего времени. [ 4 ]
| Число Хеша | Обнаруженный | Обнаружено | Форма |
|---|---|---|---|
| 1 | 1928 | Вальтер Литцманн | 
|
| 1 | 1968 | Генрих Хеш | 
|
| 2 | 1991 | Энн Фонтейн | 
|
| 3 | 1990-1995 [ 8 ] | Роберт Амман | 
|
| 4 | 2001 [ 5 ] | Кейси Манн | |
| 5 | 2001 [ 5 ] | Кейси Манн | 
|
| 6 | 2020 [ 4 ] | Боян Башич | 
|
Для соответствующей задачи в гиперболической плоскости число Хиша может быть сколь угодно большим. [ 9 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Heesch (1968) , цитируется Grünbaum & Shephard (1987) и Fontaine (1991) .
- ^ Датч, Стивен. «Плитка Heesch: интересный не-плиточник» . Естественные и прикладные науки, Университет Висконсина-Грин-Бей . Архивировано из оригинала 25 августа 2017 г. Проверено 22 декабря 2008 г.
- ^ Грюнбаум и Шепард (1987 , стр. 155–156, Проблема Хиша)
- ^ Jump up to: а б с Башич, Боян (2021). «Фигура с номером Хиша 6: раздвигая границу двухдесятилетней давности» . Математический интеллект . 43 (3): 50–53. дои : 10.1007/s00283-020-10034-w . ISSN 0343-6993 . ПМЦ 7812982 . ПМИД 34934265 .
- ^ Jump up to: а б с д и ж г Манн, Кейси (2004). «Задача Хиша о мозаике» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (6): 509–517. дои : 10.2307/4145069 . JSTOR 4145069 . МР 2076583 . .
- ^ Грюнбаум и Шепард (1987 , стр. 151, 3.8.1 Теорема о расширении)
- ^ Фонтейн, Энн (1991). «Бесконечное количество плоских фигур с Хишем номер два». Журнал комбинаторной теории . Серия А. 57 (1): 151–156. дои : 10.1016/0097-3165(91)90013-7 . .
- ^ Сенешаль, Марджори (1995). Квазикристаллы и геометрия . Том. 111. Издательство Кембриджского университета. стр. 145–146. .
- ^ Тарасов, А. С. (2010). О числе Хееша для плоскости Лобачевского О числе Хиша для гиперболической плоскости. Математические заметки . 88 (1): 97–104. дои : 10.4213/mzm5251 . МР 2882166 . . Английский перевод по математике. Примечания 88 (1–2): 97–102, 2010 г., дои : 10.1134/S0001434610070096 .
Источники
[ редактировать ]- Хиш, Х. (1968). Обычная проблема с плиткой . Кельн и Опладен: западногерманское издательство.
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . У. Х. Фриман.
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Эппштейн, Дэвид . «Свалка геометрии: проблема Хиша» . Проверено 31 августа 2009 г.
- Фридман, Эрих. «Плитки Хеша с объемными цифрами 3 и 4» . Проверено 5 сентября 2006 г.
