Мозаика замены

В геометрии замена плитки — это метод построения высокоупорядоченных мозаик . Самое главное, что некоторые замены плиток генерируют апериодические мозаики , то есть мозаики, прототипы которых не допускают мозаики с трансляционной симметрией . Наиболее известными из них являются мозаики Пенроуза . Плитки замены — это частные случаи правил конечного подразделения , которые не требуют, чтобы плитки были геометрически жесткими.

Введение

Замена тайла описывается набором прототипов ( . форм тайлов) $T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}$, расширяющаяся карта $Q$ и правило разделения, показывающее, как разрезать расширенные прототипы. $QT_{i}$ формировать копии некоторых прототипов $T_{j}$. Интуитивно понятно, что все более и более высокие итерации замены плиток создают мозаику плоскости, называемую мозаикой замены . Некоторые мозаики замещения являются периодическими , т. е. имеющими трансляционную симметрию . Каждая плитка замены (вплоть до мягких условий) может быть «обеспечена соблюдением правил сопоставления» - то есть существует набор отмеченных плиток, которые могут образовывать только плитки замены, сгенерированные системой. Замощения этими отмеченными плитками обязательно апериодичны .

Простой пример, создающий периодическую мозаику, имеет только один прототип, а именно квадрат:

Повторяя эту замену плиток, все большие и большие области плоскости покрываются квадратной сеткой. Ниже показан более сложный пример с двумя прототипами, где два этапа раздувания и рассечения объединены в один этап.

Интуитивно можно понять, как эта процедура дает замощение замены всей плоскости . Ниже дано математически строгое определение. Тайлинги подстановки особенно полезны как способы определения апериодических мозаик , которые представляют интерес во многих областях математики , включая теорию автоматов , комбинаторику , дискретную геометрию , динамические системы , теорию групп , гармонический анализ и теорию чисел , а также кристаллографию и химию. . В частности, знаменитая мозаика Пенроуза является примером мозаики апериодической замены.

История

В 1973 и 1974 годах Роджер Пенроуз открыл семейство апериодических мозаик, которые теперь называются мозаиками Пенроуза . Первое описание было дано в терминах «правил сопоставления», рассматривающих прототипы как мозаики части . Доказательство того, что копии этих прототайлов можно соединить вместе, чтобы сформировать мозаику плоскости , но не может делать это периодически, использует конструкцию, которую можно представить как замещающую мозаику прототайлов. В 1977 году Роберт Амманн обнаружил ряд наборов апериодических прототайлов, т.е. прототайлов с правилами сопоставления, вызывающими непериодические мозаики; в частности, он заново открыл первый пример Пенроуза. Эта работа оказала влияние на ученых, работающих в области кристаллографии , и в конечном итоге привела к открытию квазикристаллов . В свою очередь, интерес к квазикристаллам привел к открытию нескольких хорошо упорядоченных апериодических мозаик. Многие из них можно легко описать как мозаику подстановки.

Математическое определение

Мы рассмотрим регионы в ${\mathbb {R} }^{d}$ которые ведут себя хорошо в том смысле, что регион представляет собой непустое компактное подмножество, замыкающее его внутреннюю часть .

Берем набор регионов $\mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}$ как прототипы. Размещение ​ прототипа $T_{i}$ это пара $(T_{i},\varphi )$ где $\varphi$представляет изометрию собой ${\mathbb {R} }^{d}$. Изображение $\varphi (T_{i})$ называется регионом размещения. Тайлинг T — это набор размещений прототипов, области которых имеют попарно непересекающиеся внутренние части. Мы говорим, что мозаика T является мозаикой W , где W — объединение областей размещений в T .

Замена плитки часто определяется в литературе довольно широко. Точное определение следующее.

по Замена плитки отношению к прототипам P представляет собой пару $(Q,\sigma )$, где $Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}$ — линейное отображение , все собственные значения которого больше единицы по модулю, вместе с правилом подстановки $\sigma$ который отображает каждый $T_{i}$ к мозаике $QT_{i}$. Правило замены $\sigma$ индуцирует отображение любого тайлинга T области W в тайлинг $\sigma (\mathbf {T} )$ из $Q_{\sigma }(\mathbf {W} )$, определяемый

$\sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.$

Обратите внимание, что прототипы могут быть получены путем замены плиток. Поэтому нет необходимости включать их в замену плитки. $(Q,\sigma )$.

Каждая плитка ${\mathbb {R} }^{d}$, где любая конечная его часть конгруэнтна подмножествунекоторых $\sigma ^{k}(T_{i})$ называется мозаикой замены (для тайла замены $(Q,\sigma )$).

См. также

• Укладка вертушки
• Фотомозаика
• Тюбингенский треугольник

Дальнейшее чтение

• Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери ; Ференци, Себастьян; Модуит, Кристиан; Сигел, А. (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-44141-7 . Збл   1014.11015 .

Внешние ссылки

• Дирка Фреттло и Эдмунда Харриса Энциклопедия плиток подстановки