Деление квадрата на подобные прямоугольники
Разделение квадрата на подобные прямоугольники (или, что то же самое, замощение квадрата подобными прямоугольниками ) — математическая задача.
Три прямоугольника
[ редактировать ]Есть только один способ ( с точностью до вращения и отражения) разделить квадрат на два подобных прямоугольника.
Однако есть три различных способа разбить квадрат на три одинаковых прямоугольника: [1] [2]
- Тривиальное решение, заданное тремя равными прямоугольниками с соотношением сторон 3:1.
- Решение, в котором два из трех прямоугольников конгруэнтны, а длина стороны третьего в два раза больше, чем у двух других, при этом соотношение сторон прямоугольников составляет 3:2.
- Решение, в котором все три прямоугольника имеют разные размеры и соотношение сторон ρ. 2 , где ρ – коэффициент пластичности .
Тот факт, что прямоугольник с соотношением сторон ρ 2 можно использовать для разрезания квадрата на подобные прямоугольники, эквивалентно алгебраическому свойству числа ρ 2 связано с теоремой Рауса–Гурвица : все ее сопряженные имеют положительную действительную часть. [3] [4]
Обобщение на n прямоугольников
[ редактировать ]В 2022 году математик Джон Баэз проблему обобщения этой проблемы на n представил вниманию математического онлайн-сообщества Mathstodon прямоугольников . [5] [6]
Проблема состоит из двух частей: какие соотношения сторон возможны и сколько существует различных решений для данного n . [7] Фрилинг и Ринне ранее опубликовали результат в 1994 году, в котором говорится, что соотношение сторон прямоугольников в этих разрезах должно быть алгебраическим числом и что каждое из его сопряженных чисел должно иметь положительную действительную часть. [3] Однако их доказательство не было конструктивным доказательством.
Многие участники занимались проблемой поиска отдельных фрагментов, используя исчерпывающий компьютерный поиск возможных решений. Один из подходов состоит в том, чтобы полностью перечислить возможные варианты размещения прямоугольников, а затем преобразовать их в возможные топологии связанных прямоугольников. Учитывая топологию потенциального решения, определение соотношения сторон прямоугольника может быть тривиально выражено в виде набора одновременных уравнений, таким образом либо точно определяя решение, либо исключая его возможность. [8]
Количество различных допустимых разрезов для разных значений n , для n = 1, 2, 3,..., равно: [7] [9]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Ян Стюарт, Руководство по компьютерным свиданиям (обратная связь), Scientific American, Vol. 275, № 5, ноябрь 1996 г., с. 118
- ^ Шпинадель, Вера В. де ; Редондо Буитраго, Антония (2009), «К пластическому числу Ван дер Лаана на плоскости» (PDF) , Журнал по геометрии и графике , 13 (2): 163–175 .
- ^ Перейти обратно: а б Фрейлинг, К.; Ринне, Д. (1994), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Mathematical Research Letters , 1 (5): 547–558, doi : 10.4310/MRL.1994.v1.n5.a3 , MR 1295549
- ^ Лачкович, М.; Секерес, Г. (1995), «Замощение квадрата подобными прямоугольниками», Discrete & Computational Geometry , 13 (3–4): 569–572, doi : 10.1007/BF02574063 , MR 1318796
- ^ Баэз, Джон (22 декабря 2022 г.). «Деление квадрата на подобные прямоугольники» . golem.ph.utexas.edu . Проверено 9 марта 2023 г.
- ^ «Джон Карлос Баэз (@ [email protected] )» . Матстодон . 15 декабря 2022 г. Проверено 9 марта 2023 г.
- ^ Перейти обратно: а б Робертс, Шивон (07 февраля 2023 г.). «Квест по нахождению прямоугольников в квадрате» . Нью-Йорк Таймс . ISSN 0362-4331 . Проверено 9 марта 2023 г.
- ^ «разрезание квадратов на подобные прямоугольники с помощью компьютерной программы» . ianhenderson.org . Проверено 9 марта 2023 г.
- ^ Баэз, Джон Карлос (06 марта 2023 г.). «Деление квадрата на 7 подобных прямоугольников» . Азимут . Проверено 9 марта 2023 г.
