Равномерная укладка плитки

В геометрии равномерная мозаика — это мозаика плоскости правильными многоугольными гранями с ограничением вершинно -транзитивности .

Однородные мозаики могут существовать как в евклидовой плоскости , так и в гиперболической плоскости . Однородные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками ; их можно считать однородными мозаиками сферы .

Большинство однородных мозаик можно построить на основе конструкции Витгофа, начиная с группы симметрии и особой образующей точки внутри фундаментальной области . Плоская группа симметрии имеет многоугольную фундаментальную область и может быть представлена ее обозначением группы: последовательностью порядков отражения вершин фундаментальной области.

Треугольник фундаментальной области обозначается ( pqr ), где p , q , r — целые числа > 1, т.е. ≥ 2; прямоугольный треугольник фундаментальной области обозначается ( pq 2). Треугольник может существовать как сферический треугольник , евклидов плоский треугольник или гиперболический плоский треугольник, в зависимости от значений p , q и r .

Существует несколько символических схем обозначения этих фигур:

Модифицированный символ Шлефли для области прямоугольного треугольника: ( pq 2) → { p , q }.
Диаграмма Кокстера-Дынкина представляет собой треугольный граф с метками p , q , r на ребрах. Если r = 2, то граф является линейным, поскольку узлы диаграммы со связностью 2 не связаны друг с другом ветвью диаграммы (поскольку зеркала доменов, встречающиеся под углом 90 градусов, не генерируют новых зеркал).
Символ Витхоффа объединяет три целых числа и разделяет их вертикальной чертой (|). Если точка генератора находится за пределами зеркала, противоположного вершине домена, то порядок отражения этой вершины домена указывается перед полосой.
Наконец, однородную мозаику можно описать конфигурацией ее вершин : (идентичной) последовательностью многоугольников вокруг каждой (эквивалентной) вершины.

Все однородные мозаики могут быть построены с помощью различных операций, применяемых к регулярным мозаикам . Эти операции, названные Норманом Джонсоном , называются усечением (обрезанием вершин), исправлением (обрезанием вершин до исчезновения ребер) и кантелляцией (обрезанием ребер и вершин). Омнитрукция — это операция, сочетающая в себе усечение и кантелляцию. Снаббинг — это операция поочередного усечения всеусеченной формы. ( см. в разделе «Операторы построения Однородного многогранника # Витгофа Более подробную информацию ».)

Группы Кокстера

Группы Кокстера для плоскости определяют конструкцию Витгофа и могут быть представлены диаграммами Кокстера-Динкина :

Для групп с целочисленными порядками отражения, в том числе:

Евклидова плоскость
Орбифолд симметрия	Группа Коксетера			Примечания
Компактный
*333	(3 3 3)	${\tilde {A}}_{2}$	[3 ^[3]]	3 светоотражающие формы, 1 курносая
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 светоотражающих форм, 1 курносая
*632	(6 3 2)	${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]	7 светоотражающих форм, 1 курносый
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[∞,2,∞]	3 светоотражающие формы, 1 курносая
Некомпактный ( Фриз )
*∞∞	(∞)	${\tilde {I}}_{1}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {A}}_{2}$	[∞,2]	2 светоотражающие формы, 1 курносая

Гиперболическая плоскость
Орбифолд симметрия	Группа Коксетера		Примечания
Компактный
* ПК 2	( пк 2)	[ п , q ]	2( р + q ) < pq
* пкр	( пкр )	[( п , q , р )]	pq + pr + qr < pqr , т.е. ⁠ 1 / p ⁠ + ⁠ 1 / q ⁠ + ⁠ 1 / р ⁠ < 1
Паракомпакт
*∞ p 2	( п ∞ 2)	[ п ,∞]	р ≥ 3
*∞ pq	( pq ∞)	[( п , q ,∞)]	р , q ≥ 3; р + q > 6
*∞∞ p	( п ∞ ∞)	[( п ,∞,∞)]	р ≥ 3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞,∞,∞)]

Равномерные мозаики евклидовой плоскости

На евклидовой плоскости существуют группы симметрии, построенные из фундаментальных треугольников: (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждый из них представлен набором линий отражения, которые делят плоскость на фундаментальные треугольники.

Эти группы симметрии создают 3 правильных мозаики и 7 полуправильных мозаик. Ряд полуправильных мозаик повторяется из разных конструкторов симметрии.

Призматическая группа симметрии (2 2 2 2) представлена двумя наборами параллельных зеркал, которые в общем могут образовывать прямоугольную фундаментальную область. Он не генерирует новых мозаик.

Другая призматическая группа симметрии (∞ 2 2) имеет бесконечную фундаментальную область. Он строит две однородные мозаики: апейрогональную призму и апейрогональную антипризму .

Складывание конечных граней этих двух призматических мозаик создает одно невитоффово однородное мозаику плоскости. Это так называемая вытянутая треугольная черепица , состоящая из чередующихся слоев квадратов и треугольников.

Прямоугольные фундаментальные треугольники: ( pq 2)

( пк 2)	Фонд. треугольники	Родитель	Усечено	Исправленный	Битусеченный	биректифицированный (двойной)	Отмененный	Всеусеченный ( Количественно усечено )	пренебрежительный
Символ Витхоффа		д \| п 2	2 кв \| п	2 \| п q	2 р \| д	р \| q 2	п q \| 2	п q 2 \|	\| п q 2
Символ Шлефли		{ п , q }	т { п , q }	р { п , q }	2t{ п , q } = t{ q , п }	2r{ п , q } = { q , п }	рр { п , q }	тр { п , q }	ср { п , q }
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		п ^д	д .2 п .2 п	( пк ) ²	п .2 q .2 q	д ^п	п .4. д .4	4,2 п .2 q	3.3. п .3. д
Квадратная плитка (4 4 2)	0	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Шестиугольная плитка (6 3 2)	0	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Общие фундаментальные треугольники: ( pqr )

Символ Витхоффа ( пкр )	Фонд. треугольники	д \| пиар	рк \| п	р \| ПК	рп \| д	р \| qr	ПК \| р	пкр \|	\| пкр
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		( пк ) ^р	р .2 п.к .2 р	( пр ) ^д	q .2 р.п .2 р	( qr ) ^п	q .2 р.п .2 р	р .2 q.p .2 q	3. р .3. д .3. п
Треугольный (3 3 3)	0	(3.3) ³	3.6.3.6	(3.3) ³	3.6.3.6	(3.3) ³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Непростые фундаментальные области

Единственная возможная фундаментальная область в евклидовом 2-пространстве, которая не является симплексом, - это прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Кокстера : . Все формы, созданные из него, становятся квадратной мозаикой .

Равномерные мозаики гиперболической плоскости

Существует бесконечно много однородных мозаик из выпуклых правильных многоугольников на гиперболической плоскости , каждая из которых основана на различной отражающей группе симметрии ( pqr ).

Здесь показана выборка с проекцией диска Пуанкаре .

Диаграмма Коксетера-Дынкина представлена в линейной форме, хотя на самом деле она представляет собой треугольник с конечным сегментом r, соединяющимся с первым узлом.

Дополнительные группы симметрии существуют в гиперболической плоскости с четырехугольными фундаментальными областями, начиная с (2 2 2 3) и т. д., которые могут порождать новые формы. Кроме того, существуют фундаментальные области, в которых вершины расположены на бесконечности, например (∞ 2 3) и т. д.

Прямоугольные фундаментальные треугольники: ( pq 2)

( пк 2)	Фонд. треугольники	Родитель	Усечено	Исправленный	Битусеченный	биректифицированный (двойной)	Отмененный	Всеусеченный ( Количественно усечено )	пренебрежительный
Символ Витхоффа		д \| п 2	2 кв \| п	2 \| ПК	2 р \| д	р \| q 2	ПК \| 2	кв 2 \|	\| ПК 2
Символ Шлефли		т { п , q }	т { п , q }	р { п , q }	2t{ п , q } = t{ q , п }	2r{ п , q } = { q , п }	рр { п , q }	тр { п , q }	ср { п , q }
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		п ^д	д .2 п .2 п	pqpq	п .2 q .2 q	д ^п	п .4. д .4	4,2 п .2 q	3.3. п .3. д
(5 4 2)	Версия 4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	В4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	Версия 4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	В4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Общие фундаментальные треугольники: ( pqr )

Символ Витхоффа ( пкр )	Фонд. треугольники	д \| пиар	рк \| п	р \| ПК	рп \| д	р \| qr	ПК \| р	пкр \|	\| пкр
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		( пр ) ^д	р .2 п.к .2 р	( пк ) ^р	q .2 р.п .2 р	( qr ) ^п	р .2 q.p .2 q	2 п.2 р.2р	3. р .3. д .3. п
(4 3 3)	Версия 6.6.8	(3.4) ³	3.8.3.8	(3.4) ³	3.6.4.6	(3.3) ⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	Версия 6.8.8	(3.4) ⁴	3.8.4.8	(4.4) ³	3.6.4.6	(3.4) ⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	Версия 8.8.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	(4.4) ⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Расширенные списки однородных мозаик

Расширить список однородных мозаик можно несколькими способами:

Фигуры вершин могут иметь ретроградные грани и поворачиваться вокруг вершины более одного раза.
звездчатого многоугольника . Могут быть включены плитки
Апейрогоны , {∞}, можно использовать в качестве граней мозаики.
зигзаги (апейрогоны, чередующиеся между двумя углами). Также можно использовать
Ограничение на то, что плитки соприкасаются от края до края, можно ослабить, что позволит использовать дополнительные мозаики, такие как мозаика Пифагора .

К группе симметрии треугольников с ретроградами относятся:

(4/3 4/3 2), (6 3/2 2), (6/5 3 2), (6 6/5 3), (6 6 3/2).

Треугольники группы симметрии с бесконечностью включают:

(4 4/3 ∞), (3/2 3 ∞), (6 6/5 ∞), (3 3/2 ∞).

Бранко Грюнбаум и Г.К. Шепард в книге 1987 года « Мозаики и узоры» , раздел 12.3, перечисляют список из 25 однородных мозаик, включая 11 выпуклых форм, и добавляют еще 14, которые они называют полыми мозаиками , используя первые два расширения выше: грани звездчатого многоугольника и обобщенные вершинные фигуры. ^[1]

HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins и JCP Miller в статье 1954 года «Равномерные многогранники», Таблица 8: Равномерные мозаики , используют первые три разложения и перечисляют в общей сложности 38 однородных мозаик. Если учесть еще замощение, состоящее из двух апейрогонов, то всего можно считать 39 однородных замощений.

В 1981 году Грюнбаум, Миллер и Шепард в своей статье «Равномерные мозаики с полыми плитками» перечислили 25 мозаик, используя первые два расширения, и еще 28, когда добавлено третье (что составляет 53, используя определение Коксетера и др .). При добавлении четвертого они перечисляют еще 23 однородных мозаики и 10 семейств (8 в зависимости от непрерывных параметров и 2 от дискретных параметров). ^[2]

Помимо 11 выпуклых решений, 28 однородных звездных мозаик, перечисленных Коксетером и др. , сгруппированные по общим графам ребер, показаны ниже, а затем еще 15, перечисленных Grünbaum et al. которые соответствуют определению Коксетера и др ., но были ими пропущены.

Это множество не является полным. Под «2,25» подразумевается мозаика 25 в Грюнбаума и др таблице 2 . от 1981 года.

Следующие три мозаики исключительны тем, что существует только конечное число граней одного типа: по два апейрогона в каждой. Иногда апейрогональная мозаика 2-го порядка не включается, поскольку две ее грани встречаются более чем на одном ребре.

группы фриза Симметрия
Макнил ^[3]	Вертекс Конфиг.	Витхофф	Симметрия	Примечания
я1	∞.∞		п1м1	(Две полуплоские плитки, апейрогональная плитка второго порядка )
я2	4.4.∞	∞ 2 \| 2	п1м1	Апейрогональная призма
я3	3.3.3.∞	\| 2 2 ∞	p11g	Апейрогональная антипризма

Для ясности далее мозаики не окрашиваются (из-за перекрытия). Подсвечивается набор полигонов вокруг одной вершины. Макнил перечисляет только тайлинги, данные Коксетером и др . (1954). Одиннадцать выпуклых однородных мозаик были повторены для справки.

обоев Групповая симметрия
Макнил ^[3]	Грюнбаум и др. , 1981 ^[2]	Край диаграмма	Выделено	Вертекс Конфиг.	Витхофф	Симметрия
Выпуклый	1.9			4.4.4.4	4 \| 2 4	п4м
я4	2.14			4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 \| ∞	п4м
Выпуклый	1.24			6.6.6	3 \| 2 6	п6м
Выпуклый	1.25			3.3.3.3.3.3	6 \| 2 3	п6м
I5	2.26			(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 \| 3 ∞	п3м1
Выпуклый	1.23			3.6.3.6	2 \| 3 6	п6м
I6	2.25			6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 \| ∞	п6м
I7	2.24			∞.3.∞.3/2 3.∞.-3.∞	3/2 3 \| ∞	п6м
Выпуклый	1.14			3.4.6.4	3 6 \| 2	п6м
1	1.15			3/2.12.6.12 -3.12.6.12	3/2 6 \| 6	п6м
1	1.16			4.12.4/3.12/11 4.12.-4.-12	2 6 (3/2 6/2) \|	п6м
Выпуклый	1.5			4.8.8	2 4 \| 4	п4м
2	2.7			4.8/3.∞.8/3	4 ∞ \| 4/3	п4м
	1.7			8/3.8.8/5.8/7 8.8/3.-8.-8/3	4/3 4 (4/2 ∞/2) \|	п4м
	2.6			8.4/3.8.∞ -4.8.∞.8	4/3 ∞ \| 4	п4м
Выпуклый	1.20			3.12.12	2 3 \| 6	п6м
3	2.17			6.12/5.∞.12/5	6 ∞ \| 6/5	п6м
	1.21			12/5.12.12/7.12/11 12.12/5.-12.-12/5	6/5 6 (6/2 ∞/2) \|	п6м
	2.16			12.6/5.12.∞ -6.12.∞.12	6/5 ∞ \| 6	п6м
4	1.18			12/5.3.12/5.6/5 3.12/5.-6.12/5	3 6 \| 6/5	п6м
	1.19			12/5.4.12/7.4/3 4.12/5.-4.-12/5	2 6/5 (3/2 6/2) \|	п6м
	1.17			4.3/2.4.6/5 3.-4.6.-4	3/2 6 \| 2	п6м
5	2.5			8.8/3.∞	4/3 4 ∞ \|	п4м
6	2.15			12.12/5.∞	6/5 6 ∞ \|	п6м
7	1.6			8.4/3.8/5 4.-8.8/3	2 4/3 4 \|	п4м
Выпуклый	1.11			4.6.12	2 3 6 \|	п6м
8	1.13			6.4/3.12/7 4.-6.12/5	2 3 6/5 \|	п6м
9	1.12			12.6/5.12/7 6.-12.12/5	3 6/5 6 \|	п6м
10	1.8			4.8/5.8/5 -4.8/3.8/3	2 4 \| 4/3	п4м
11	1.22			12/5.12/5.3/2 -3.12/5.12/5	2 3 \| 6/5	п6м
Выпуклый	1.1			3.3.3.4.4	невитоффианский	хмм
12	1.2			4.4.3/2.3/2.3/2 3.3.3.-4.-4	невитоффианский	хмм
Выпуклый	1.3			3.3.4.3.4	\| 2 4 4	п4г
13	1.4			4.3/2.4.3/2.3/2 3.3.-4.3.-4	\| 2 4/3 4/3	п4г
14	2.4			3.4.3.4/3.3.∞ 3.4.3.-4.3.∞	\| 4/3 4 ∞	п4
Выпуклый	1.10			3.3.3.3.6	\| 2 3 6	стр6
	2.1			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.∞.3.∞	невитоффианский	хмм
	2.2			3/2.∞.3/2.∞.3/2.4.4 3.-4.-4.3.∞.3.∞	невитоффианский	хмм
	2.3			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.-4.-4.3.∞	невитоффианский	п3
	2.8			4.∞.4/3.8/3.8 4.8.8/3.-4.∞	невитоффианский	п4м
	2.9			4.∞.4.8.8/3 -4.8.8/3.4.∞	невитоффианский	п4м
	2.10			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞	невитоффианский	п4м
	2.11			4.∞.4/3.8.4/3.8 4.8.-4.8.-4.∞	невитоффианский	п4г
	2.12			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞	невитоффианский	п4м
	2.13			4.∞.4/3.8/3.4.8/3 4.8/3.4.8/3.-4.∞	невитоффианский	п4г
	2.18			3/2.∞.3/2.4/3.4/3.3/2.4/3.4/3 3.4.4.3.4.4.3.∞	невитоффианский	п6м
	2.19			3/2.∞.3/2.4.4.3/2.4.4 3.-4.-4.3.-4.-4.3.∞	невитоффианский	п6м
	2.20			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/11.6.12/11 3.12.-6.12.3.∞.3.∞	невитоффианский	п6м
	2.21			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12.6/5.12 3.-12.6.-12.3.∞.3.∞	невитоффианский	п6м
	2.22			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/7.6/5.12/7 3.12/5.6.12/5.3.∞.3.∞	невитоффианский	п6м
	2.23			3/2.∞.3/2.∞.3/2.12/5.6.12/5 3.-12/5.-6.-12/5.3.∞.3.∞	невитоффианский	п6м

Существуют два однородных замощения для конфигурации вершин 4.8.-4.8.-4.∞ (Грюнбаум и др. , 2.10 и 2.11), а также два однородных замощения для конфигурации вершин 4.8/3.4.8/3.-4.∞ ( Грюнбаум и др. , 2.12 и 2.13), с различной симметрией. Существует также третья мозаика для каждой конфигурации вершин, которая является лишь псевдооднородной (вершины находятся на двух орбитах симметрии). Они используют разные наборы квадратных лиц. Следовательно, для звездных евклидовых мозаик конфигурация вершин не обязательно определяет мозаику. ^[2]

На рисунках ниже входящие в комплект квадраты с горизонтальными и вертикальными краями отмечены центральной точкой. У одного квадрата края выделены. ^[2]

2.10 и 2.12 (п4м)
2.11 и 2.13 (p4g)
Псевдо-униформа

Ниже перечислены мозаики с зигзагами. {∞ ^𝛼} обозначает зигзаг с углом 0 < 𝛼 < π. Апейрогон можно рассматривать как частный случай 𝛼 = π. Симметрии даны для общего случая, но иногда существуют специальные значения 𝛼, которые увеличивают симметрию. Тайлинги 3.1 и 3.12 могут даже стать регулярными; 3.32 уже есть (свободных параметров у нее нет). Иногда существуют специальные значения 𝛼, которые приводят к вырождению мозаики. ^[2]

Плитка с зигзагами
Грюнбаум и др. , 1981 ^[2]	Диаграмма	Вертекс Конфиг.	Симметрия
3.1		∞ ^𝛼.∞ ^б.∞ ^с 𝛼+β+γ=2π	п2
3.2		∞ ^𝛼.∞ ^б.-∞ ^𝛼+б 0<𝛼+β≤π	п2
3.3		3.3.∞ ^π-𝛼.-3.∞ ^𝛼+2π/3 0≤𝛼≤π/6	пгг
3.4		3.3.-∞ ^π-𝛼.-3.∞ ^{−𝛼+2π/3} 0≤𝛼<π/3	пгг
3.5		4.4.∞ ^ж.4.4.-∞ ^ж φ=2 arctan( n / k ), nk четный, ( n , k )=1 нарисовано для φ=2 арктан 2	пмг
3.6		4.4.∞ ^ж.-4.-4.∞ ^ж φ=2 arctan( n / k ), nk четный, ( n , k )=1 нарисовано для φ=2 арктан 1/2	пмг
3.7		3.4.4.3.-∞ ^2р/3.-3.-∞ ^2р/3	хмм
3.8		3.-4.-4.3.-∞ ^2р/3.-3.-∞ ^2р/3	хмм
3.9		4.4.∞ ^п/3.∞.-∞ ^п/3	п2
3.10		4.4.∞ ^2р/3.∞.-∞ ^2р/3	п2
3.11		∞.∞ ^𝛼.∞.∞ ^-𝛼 0<𝛼<π	хмм
3.12		∞ ^𝛼.∞ ^π-𝛼.∞ ^𝛼.∞ ^π-𝛼 0<𝛼≤π/2	хмм
3.13		3.∞ ^𝛼.-3.-∞ ^𝛼 π/3<𝛼<π	п31м
3.14		4.4.∞ ^2р/3.4.4.-∞ ^2р/3	п31м
3.15		4.4.∞ ^п/3.-4.-4.-∞ ^п/3	п31м
3.16		4.∞ ^𝛼.-4.-∞ ^𝛼 0<𝛼<π, 𝛼≠π/2	п4г
3.17		4.-8.∞ ^п/2.∞.-∞ ^п/2.-8	хмм
3.18		4.-8.∞ ^п/2.∞.-∞ ^п/2.-8	п4
3.19		4.8/3.∞ ^п/2.∞.-∞ ^п/2.8/3	хмм
3.20		4.8/3.∞ ^п/2.∞.-∞ ^п/2.8/3	п4
3.21		6.-12.∞ ^п/3.∞.-∞ ^п/3.-12	стр6
3.22		6.-12.∞ ^2р/3.∞.-∞ ^2р/3.-12	стр6
3.23		6.12/5.∞ ^п/3.∞.-∞ ^п/3.12/5	стр6
3.24		6.12/5.∞ ^2р/3.∞.-∞ ^2р/3.12/5	стр6
3.25		3.3.3.∞ ^2р/3.-3.∞ ^2р/3	п31м
3.26		3.∞.3.-∞ ^2р/3.-3.-∞ ^2р/3	см
3.27		3.∞.-∞ ^2р/3.∞.-∞ ^2р/3.∞	п31м
3.28		3.∞ ^2р/3.∞ ^2р/3.-3.-∞ ^2р/3.-∞ ^2р/3	п31м
3.29		∞.∞ ^п/3.∞ ^п/3.∞.-∞ ^п/3.-∞ ^п/3	хмм
3.30		∞.∞ ^п/3.-∞ ^2р/3.∞.∞ ^2р/3.-∞ ^п/3	п2
3.31		∞.∞ ^2р/3.∞ ^2р/3.∞.-∞ ^2р/3.-∞ ^2р/3	хмм
3.32		∞ ^п/3.∞ ^п/3.∞ ^п/3.∞ ^п/3.∞ ^п/3.∞ ^п/3	п6м
3.33		∞ ^п/3.-∞ ^2р/3.-∞ ^2р/3.∞ ^п/3.-∞ ^2р/3.-∞ ^2р/3	хмм

Пары мозаики 3.17 и 3.18, а также 3.19 и 3.20 имеют одинаковую конфигурацию вершин, но разную симметрию. ^[2]

Плитки с 3.7 по 3.10 имеют то же расположение ребер, что и плитки 2.1 и 2.2; 3,17–3,20 имеют такое же расположение кромок, что и 2,10–2,13; 3,21–3,24 имеют такое же расположение кромок, что и 2,18–2,23; и от 3,25 до 3,33 имеют то же расположение ребер, что и 1,25 (обычная треугольная мозаика). ^[2]

Самодвойственные мозаики

Квадратная мозаика {4,4} (черная) с ее двойником (красная). — The {4,4} square tiling (black) with its dual (red).

Тайлинг также может быть самодвойственным . Квадратная мозаика с символом Шлефли {4,4} самодвойственна; Здесь показаны две квадратные плитки (красная и черная), двойственные друг другу.

Равномерные мозаики с использованием правильных или изотоксальных полиграмм в качестве невыпуклых изотоксальных простых многоугольников.

Представление правильного звездчатого многоугольника как невыпуклого изотоксального простого многоугольника с вдвое большим количеством (более коротких) сторон, но с чередованием одних и тех же внешних и «внутренних» внутренних углов позволяет использовать правильные звездчатые многоугольники в мозаике и рассматривать изотоксальные простые многоугольники как «правильные». позволяет использовать правильные звездчатые многоугольники (но не все из них) в «равномерном» мозаике.

Кроме того, очертания некоторых неправильных изотоксальных звездчатых многоугольников представляют собой невыпуклые изотоксальные (простые) многоугольники с таким же количеством (более коротких) сторон и чередующимися одинаковыми внешними и «внутренними» внутренними углами; просмотр такого рода изотоксальных звездчатых многоугольников по их контурам позволяет использовать его в мозаике, а рассмотрение изотоксальных простых многоугольников как «правильных» позволяет использовать этот вид изотоксальных звездчатых многоугольников (но не все из них) в «однородном «плитка.

Изотоксальный простой 2 n -угольник с внешним внутренним углом 𝛼 обозначается { n _𝛼 }; его внешние вершины помечены как n ^*
_𝛼 и внутренние как n ^**
_𝛼 .

Эти расширения определения мозаики требуют, чтобы углы только с двумя многоугольниками не считались вершинами - поскольку конфигурации вершин для вершин с как минимум 3 многоугольниками достаточно для определения такой «равномерной» мозаики, и чтобы последняя имела одну конфигурацию вершин. хорошо (иначе их было бы два) —. Существует 4 таких однородных мозаики с регулируемыми углами 𝛼 и 18 таких однородных мозаик, которые работают только с определенными углами, в результате чего в общей сложности получается 22 однородных мозаики, в которых используются звездчатые многоугольники. ^[4]

Все эти мозаики, без учета возможных вершин второго порядка, с возможными двойными и тройными ребрами, сведенными к одиночным ребрам, топологически связаны с обычными однородными мозаиками (использующими только выпуклые правильные многоугольники).

4 «однородных» мозаики из звездчатых многоугольников с регулируемыми углами 𝛼
3.6 ^* _𝛼 .6 ^** _𝛼 Тополь. относится к 3.12.12	4.4 ^* _𝛼 .4 ^** _𝛼 Тополь. относится к 4.8.8	6.3 ^* _𝛼 .3 ^** _𝛼 Тополь. относится к 6.6.6	3.3 ^* _𝛼 .3.3 ^** _𝛼 Тополь. относится к 3.6.3.6

18 «однородных» мозаик из звездчатых многоугольников с определенными углами.
4.6.4 ^* _п/6 .6 Тополь. относится к 4.4.4.4	(8.4 ^* _п/4 ) ² Тополь. относится к 4.4.4.4	12.12.4 ^* _п/3 Тополь. относится к 4.8.8	3.3.8 ^* _п/12 .4 ^** _п/3 .8 ^* _стр/12 Тополь. относится к 4.8.8	3.3.8 ^* _п/12 .3.4.3.8 ^* _стр/12 Тополь. относится к 4.8.8	3.4.8.3.8 ^* _стр/12 Тополь. относится к 4.8.8
5.5.4 ^* _п/10 .5.4 ^* _п/10 Тополь. относится к 3.3.4.3.4	4.6 ^* _п/6 .6 ^** _п/2 .6 ^* _стр/6 Тополь. относится к 6.6.6	(4.6 ^* _стр/6 ) ³ Тополь. относится к 6.6.6	9.9.6 ^* _4р/9 Тополь. относится к 6.6.6	(6.6 ^* _п/3 ) ² Тополь. относится к 3.6.3.6	(12.3 ^* _стр/6 ) ² Тополь. относится к 3.6.3.6
3.4.6.3.12 ^* _стр/6 Тополь. относится к 4.6.12	3.3.3.12 ^* _п/6 .3.3.12 ^* _стр/6 Тополь. относится к 3.12.12	18.18.3 ^* _2р/9 Тополь. относится к 3.12.12	3.6.6 ^* _п/3 .6 Тополь. относится к 3.4.6.4	8.3 ^* _п/12 .8.6 ^* _5р/12 Тополь. относится к 3.4.6.4	9.3.9.3 ^* _стр/9 Тополь. относится к 3.6.3.6

Равномерные мозаики с использованием выпуклых изотоксальных простых многоугольников

Неправильные изотоксальные либо звездчатые, либо простые 2 n -угольники всегда чередуются под двумя углами. Изотоксальные простые 2 n -угольника, { n _𝛼 }, могут быть выпуклыми ; самые простые из них — ромбы (2 × 2-угольника), {2 _𝛼 }. Если рассматривать эти выпуклые { n _𝛼 } как «правильные» многоугольники, то большее количество мозаик можно будет считать «однородными».

Примеры «однородных» мозаик с использованием выпуклых изотоксальных простых 2 n -угольников
3.2 ^* _п/3 .6.2 ^** _п/3 Тополь. относится к 3.4.6.4	4.4.4.4 Тополь. относится к 4.4.4.4	(2 ^* _п/4 .2 ^** _п/4 ) ² Тополь. относится к 4.4.4.4	2 ^* _п/4 .2 ^* _п/4 .2 ^ _п/4 .2 ^ _п/4 Тополь. относится к 4.4.4.4	4.2 ^* _п/4 .4.2 ^** _п/4 Тополь. относится к 4.4.4.4

См. также

Ссылки

^ Плитки и узоры, Таблица 12.3.1, с. 640
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Грюнбаум, Бранко; Миллер, JCP; Шепард, GC (1981). «Равномерная черепица с полыми плитками». В Дэвисе, Чендлер; Грюнбаум, Бранко; Шерк, Ф.А. (ред.). Геометрическая жилка: Фестиваль Коксетера . Спрингер. стр. 17–64. ISBN 978-1-4612-5650-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джим МакНил
^ Мозаика и узоры , Бранко Грюнбаум, Г.К. Шепард, 1987, 2.5 Мозаика с использованием звездчатых многоугольников, стр. 82–85.

Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , докторская диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Фриман и компания. ISBN 0-7167-1193-1 . (Звездные мозаики, раздел 12.3)
HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Однородные многогранники , Phil. Пер. , 1954, 246 А, 401–50 JSTOR 91532 (таблица 8)

Внешние ссылки

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Плитки и узоры, Таблица 12.3.1, с. 640

[Grunbaum1981-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Грюнбаум, Бранко; Миллер, JCP; Шепард, GC (1981). «Равномерная черепица с полыми плитками». В Дэвисе, Чендлер; Грюнбаум, Бранко; Шерк, Ф.А. (ред.). Геометрическая жилка: Фестиваль Коксетера . Спрингер. стр. 17–64. ISBN 978-1-4612-5650-2 .

[mcneill-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джим МакНил

[4] Мозаика и узоры , Бранко Грюнбаум, Г.К. Шепард, 1987, 2.5 Мозаика с использованием звездчатых многоугольников, стр. 82–85.

[1]

[2]

[3]

[4]