7-симплексные соты

7-симплексные соты
(Нет изображения)
Тип	Униформа 7-сотовая
Семья	Симплектические соты
Символ Шлефли	{3 ^[8]}
Диаграмма Кокстера
6-гранные типы	{3 ⁶} , т ₁ {3 ⁶} т ₂ {3 ⁶} , т ₃ {3 ⁶}
6-гранные типы	{3 ⁵} , т ₁ {3 ⁵} т ₂ {3 ⁵}
5-гранные типы	{3 ⁴} , т ₁ {3 ⁴} т ₂ {3 ⁴}
4-гранные типы	{3 ³} , т ₁ {3 ³}
Типы ячеек	{3,3} , т ₁ {3,3}
Типы лица	{3}
Вершинная фигура	т _0,6 {3 ⁶}
Симметрия	${\tilde {A}}_{7}$ ×2 ₁ , <[3 ^[8]]>
Характеристики	вершинно-транзитивный

В семимерной евклидовой геометрии 7 -симплексные соты заполняющую пространство представляют собой мозаику (или соты ), . Тесселяция заполняет пространство 7-симплексными , выпрямленными 7-симплексными , биректифицированными 7-симплексными и триректифицированными 7-симплексными гранями. Эти типы граней встречаются в пропорциях 2:2:2:1 во всех сотах соответственно.

Решетка А7

Такое расположение вершин называется решеткой А7 или 7-симплексной решеткой . 56 вершин расширенной 7-симплексной вершинной фигуры представляют собой 56 корней ${\tilde {A}}_{7}$ Группа Кокстера. ^[1] Это семимерный случай симплектических сот . Вокруг каждой вершинной фигуры расположены 254 грани: 8+8 7-симплексных , 28+28 выпрямленных 7-симплексных , 56+56 двувыпрямленных 7-симплексных , 70 триректифицированных 7-симплексных , с распределением отсчета от 9-го ряда треугольника Паскаля .

${\tilde {E}}_{7}$ содержит ${\tilde {A}}_{7}$ как подгруппа индекса 144. ^[2] Оба ${\tilde {E}}_{7}$ и ${\tilde {A}}_{7}$ можно рассматривать как аффинные расширения из $A_{7}$ из разных узлов:

А ²
_{Решетка 7} может быть построена как объединение двух решеток A ₇ и идентична решетке E7 .

∪ = .

А ⁴
_{Решетка 7} представляет собой объединение четырех решеток A ₇ , идентичное решетке E7* (или E ²
₇).

∪ ∪ ∪ = + = двойственное .

А ^*
_{Решетка 7} (также называемая A ⁸
₇ ) представляет собой объединение восьми решеток A ₇ и имеет расположение вершин двойственной соты всеусеченной 7-симплексной соты , и, следовательно, ячейка Вороного этой решетки представляет собой всеусеченный 7-симплекс .

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪ = двойственное .

Связанные многогранники и соты

Эта сота — одна из 29 уникальных однородных сот. ^[3] построенный тот ${\tilde {A}}_{7}$ Группа Кокстера , сгруппированная по расширенной симметрии колец внутри правильной восьмиугольной диаграммы:

Соты А7
Octagon symmetry	Extended symmetry	Extended diagram	Extended group	Honeycombs
a1	[3^[8]]		${\tilde {A}}_{7}$
d2	<[3^[8]]>		${\tilde {A}}_{7}$ ×2₁	₁
p2	[[3^[8]]]		${\tilde {A}}_{7}$ ×2₂	₂
d4	<2[3^[8]]>		${\tilde {A}}_{7}$ ×4₁
p4	[2[3^[8]]]		${\tilde {A}}_{7}$ ×4₂
d8	[4[3^[8]]]		${\tilde {A}}_{7}$ ×8
r16	[8[3^[8]]]		${\tilde {A}}_{7}$ ×16	₃

Проекция путем складывания

7 -симплексные соты можно спроецировать в 4-мерные тессерактические соты с помощью операции геометрического складывания , которая отображает две пары зеркал друг на друга, имеющих одинаковое расположение вершин :

${\tilde {A}}_{7}$
${\tilde {C}}_{4}$

См. также

Правильные и однородные соты в 7-мерном пространстве:

Примечания

^ «Решетка А7» .
^ Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) 12.4: Евклидовы группы Кокстера, стр. 294
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ожерелье» . Математический мир . , OEIS последовательность A000029 30-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

Ссылки

Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
Калейдоскопы: избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley – Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10] (1.9 Равномерные заполнения пробелов)
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] «Решетка А7» .

[2] Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) 12.4: Евклидовы группы Кокстера, стр. 294

[3] Вайсштейн, Эрик В. «Ожерелье» . Математический мир . , OEIS последовательность A000029 30-1 случаев, пропуская один с нулевыми отметками

[1]

[2]

[3]