5 21 сот

5 21 сот
Тип	Равномерные соты
Семья	к 21 многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Коксетера	5 21
Диаграмма Кокстера-Динкина
8-гранный	5 11 {3 7 }
7-гранный	{3 6 } существуют две различные орбиты этого 7-симплекса. Обратите внимание, что под полным сотом ${\tilde {E}}_{8}$ группа автоморфизмов .
6-гранный	{3 5 }
5-гранный	{3 4 }
4-ликий	{3 3 }
Клетки	{3 2 }
Лица	{3}
Фигура клетки	1 21
Фигура лица	2 21
Краевая фигура	3 21
Вершинная фигура	4 21
Группа симметрии	${\tilde {E}}_{8}$, [3 5,2,1 ]

В геометрии соты 5 ₂₁ равномерную представляют собой мозаику 8-мерного евклидова пространства. Символ 5 ₂₁ взят из Кокстера и назван в честь длины трех ветвей диаграммы Кокстера-Динкина.

Помещая сферы в его вершины, можно получить максимально плотную упаковку сфер в 8 измерениях. Это доказала Марина Вязовская в 2016 году с помощью теории модулярных форм . За эту работу Вязовская была награждена Медалью Филдса в 2022 году.

Эти соты были впервые изучены Госсетом, который назвал их полуправильной 9-й фигурой. (Госсет рассматривал соты в n измерениях как вырожденные n +1 многогранники).

Каждая вершина сот 5 ₂₁ окружена 2160 8-ортоплексами и 17280 8-симплексами .

Вершинной фигурой сот Госсета является полуправильный 4 ₂₁ многогранник . Это последняя фигурка в семействе К ₂₁ .

Эти соты очень регулярны в том смысле, что их группа симметрии (аффинная ${\tilde {E}}_{8}$ Группа Вейля) действует транзитивно на k -гранях при k ⩽ 6. Все k -грани при k ⩽ 7 являются симплексами.

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 9 гиперплоских зеркал в 8-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на конце ветви длиной 2 оставляет 8-ортоплекс , 6 ₁₁ .

Удаление узла на конце ветви длиной 1 оставляет 8-симплекс .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 4 ₂₁ многогранник .

Фигура ребра определяется из фигуры вершины путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 3 ₂₁ многогранник .

Фигура грани определяется по фигуре ребра путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 2 ₂₁ многогранник .

Фигура ячейки определяется по фигуре грани путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает 1 ₂₁ многогранник .

Поцелуйный номер

Каждая вершина этой мозаики является центром 7-сферы в самой плотной упаковке в 8 измерениях; его число поцелуев — 240, представленное вершинами его вершинной фигуры 4 ₂₁ .

Решетка Е8

${\tilde {E}}_{8}$ содержит ${\tilde {A}}_{8}$ как подгруппа индекса 5760. Оба ${\tilde {E}}_{8}$ и ${\tilde {A}}_{8}$ можно рассматривать как аффинное расширение $A_{8}$ из разных узлов:

${\tilde {E}}_{8}$ содержит ${\tilde {D}}_{8}$ как подгруппа индекса 270. Оба ${\tilde {E}}_{8}$ и ${\tilde {D}}_{8}$ можно рассматривать как аффинное расширение $D_{8}$ из разных узлов:

Расположение вершин 5 ₂₁ называется решеткой E8 .

Решетка E8 также может быть построена как объединение вершин двух сот из 8 полукубов (называемых D ₈ ² или Д ₈ ⁺ решетка), а также объединение вершин трех 8-симплексных сот (называемых A ₈ ³ решетка):

= ∪ = ∪ ∪

Регулярные сложные соты

Используя комплексную систему координат, ее также можно построить в виде $\mathbb {C} ^{4}$ правильный комплексный многогранник с символом 3{3}3{3}3{3}3{3}3 и диаграмма Кокстера . Его элементы находятся в относительных пропорциях как 1 вершина, 80 3-ребра, 270 ₃ {3} ₃ грани, 80 ₃ {3} ₃ {3} ₃ клетки и 1 ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ Умения. многогранные ячейки.

Связанные многогранники и соты

5 ₂₁ является седьмым в размерной серии полуправильных многогранников , идентифицированных в 1900 году Торольдом Госсетом . Каждый член последовательности имеет предыдущий элемент в качестве фигуры вершины . Все грани этих многогранников являются правильными многогранниками , а именно симплексами и ортоплексами .

showk 21 фигура в n измерениях
Space	Finite						Euclidean	Hyperbolic
En	3	4	5	6	7	8	9	10
Coxeter group	E3=A2A1	E4=A4	E5=D5	E6	E7	E8	E9 = ${\tilde {E}}_{8}$ = E8+	E10 = ${\bar {T}}_{8}$ = E8++
Coxeter diagram
Symmetry	[3−1,2,1]	[30,2,1]	[31,2,1]	[32,2,1]	[33,2,1]	[34,2,1]	[35,2,1]	[36,2,1]
Order	12	120	1,920	51,840	2,903,040	696,729,600	∞
Graph							-	-
Name	−121	021	121	221	321	421	521	621

См. также

• Решетка Е8
• 1 ₅₂ соты
• 2 ₅₁ сот

Ссылки

• Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN   978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники ((3-е изд.) Изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  0-486-61480-8 .
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Геометрии и трансформации (2015)

скрывать Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И 2	Равномерная укладка плитки	{3 [3] }	д 3	HD 3	квартал 3	Шестиугольный
И 3	Равномерные выпуклые соты	{3 [4] }	д 4	HD 4	4 квартала
И 4	Униформа 4-сотовая	{3 [5] }	д 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеистые соты
И 5	Униформа 5-сотовая	{3 [6] }	д 6	HD 6	qδ 6
И 6	Униформа 6-сотовая	{3 [7] }	д 7	hδ 7	qδ 7	2 22
И 7	Униформа 7-сотовая	{3 [8] }	д 8	hδ 8	8 кварталов	1 33 • 3 31
И 8	Униформа 8-сотовая	{3 [9] }	д 9	HD 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
И 9	Униформа 9-сотовая	{3 [10] }	д 10	HD 10	10 кварталов
И 10	Униформа 10-сотовая	{3 [11] }	д 11	HD 11	qδ 11
И п -1	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 [н] }	δ н	hδ н	qδ н	1 лиц 2 • 2 лиц 1 • лиц 21