Сознательный многогранник

Сознательный многогранник
Символ Шлефли	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3
Диаграмма Кокстера
Клетки	240 3 {3} 3 {3} 3
Лица	2160 3 {3} 3
Края	2160 3 {}
Вершины	240
Полигон Петри	30-угольник
полигон Ван Осса	90 3 {4} 3
Группа Шепарда	L 4 = 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 , заказ 155520
Двойной многогранник	Самодвойственный
Характеристики	Обычный

В 4-мерной комплексной геометрии многогранник Виттинга — это правильный комплексный многогранник , называемый: ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ и диаграмма Кокстера . . Он имеет 240 вершин, 2160 ₃ {} ребер, 2160 ₃ {3} ₃ грани и 240 ₃ {3} ₃ {3} ₃ ячеек. Оно самодвойственно. Каждая вершина принадлежит 27 ребрам, 72 граням и 27 ячейкам, что соответствует гессенского многогранника фигуре вершины .

Симметрия

Его симметрия на ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ или , заказ 155520. Имеет 240 копий. , порядок 648 в каждой ячейке.

Структура

Матрица конфигурации : $\left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]$

Количество вершин, ребер, граней и ячеек видно по диагонали матрицы. Они вычисляются путем деления порядка группы на порядок подгруппы путем удаления определенных сложных отражений, показанных ниже знаком X. Количество элементов k-граней указано в строках ниже диагонали. Количество элементов в фигуре вершины и т. д. указывается в строках над дигональю.

Л 4		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	f 3	к -фигура	Примечания
LЛ3		( )	ж 0	240	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	Л 4 /Л 3 = 216*6!/27/4! = 240
Л 2 Л 1		3 { }	ж 1	3	2160	8	8	3 {3} 3	Л 4 /Л 2 Л 1 = 216*6!/4!/3 = 2160
		3 {3} 3	ff2	8	8	2160	3	3 { }
LЛ3		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	240	( )	Л 4 /Л 3 = 216*6!/27/4! = 240

Его 240 вершинам присвоены координаты в $\mathbb {C} ^{4}$:

(0, ±ω м , -±ω н , ±ω л ) (-±ω м , 0, ±ω н , ±ω л ) (±ω м , -±ω н , 0, ±ω л ) (-±ω л , -±ω м , -±ω н , 0)

(±iω л √3, 0, 0, 0) (0, ±iω л √3, 0, 0) (0, 0, ±iω л √3, 0) (0, 0, 0, ±iω л √3)

где $\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2$.

Последние 6 точек образуют шестиугольные отверстия на одном из 40 его диаметров. Имеется 40 гиперплоскостей, содержащих центральные ₃ {3} ₃ {4} ₂ , фигуры, имеющие 72 вершины.

Продуманная конфигурация

Коксетер назвал ее в честь Александра Уиттинга за то, что она представляет собой Уиттинга конфигурацию в сложном проективном трехмерном пространстве:

$\left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]$ или $\left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]$

Конфигурация Уиттинга связана с конечным пространством PG(3,2 ² ), состоящий из 85 точек, 357 линий и 85 плоскостей.

Связанный действительный многогранник

Его 240 вершин совпадают с реальным 8-мерным многогранником 4 ₂₁ , . Его 2160 3-ребер иногда рисуются как 6480 простых ребер, что немного меньше, чем 6720 ребер 4 ₂₁ . Разница 240 приходится на 40 центральных шестиугольников в 4 _21, ребра которых не входят в ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ .

Соты многогранников Виттинга

Правильный многогранник Уиттинга имеет еще одну ступень в виде 4-мерных сот . . Он имеет многогранник Виттинга как грани, так и фигуру вершины. Оно самодвойственно, и его двойственное совпадает с самим собой.

Гиперплоскостные секции этой соты включают трехмерные соты. .

Соты многогранников Виттинга имеют вещественное представление как 8-мерный многогранник 5 ₂₁ , .

Количество элементов его f-вектора пропорционально: 1, 80, 270, 80, 1. Матрица конфигурации сот:

Л 5		к -лицо	ж к	ж 0	ж 1	ff2	f 3	ж 4	к -фигура	Примечания
Л 4		( )	ж 0	Н	240	2160	2160	240	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	Л 5 /Л 4 = Н
L3LL3L1		3 { }	ж 1	3	80Н	27	72	27	3 {3} 3 {3} 3	L 5 /L 3 L 1 = 80 Н
Л 2 Л 2		3 {3} 3	ff2	8	8	270Н	8	8	3 {3} 3	L 5 /L 2 L 2 = 270 Н
L3LL3L1		3 {3} 3 {3} 3	f 3	27	72	27	80Н	3	3 {}	L 5 /L 3 L 1 = 80 Н
Л 4		3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	ж 4	240	2160	2160	240	Н	( )	Л 5 /Л 4 = Н

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ; Генераторы и отношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, второе издание (1991). стр. 132–5, 143, 146, 152.
• Коксетер, HSM и Шепард, GC; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4, (1992), стр. 239–244 [1]