Комплексный многогранник

В геометрии комплексный многогранник — это обобщение многогранника в реальном пространстве до аналогичной структуры в комплексном гильбертовом пространстве , где каждое действительное измерение сопровождается мнимым .

Сложный многогранник можно понимать как совокупность комплексных точек, линий, плоскостей и т. д., где каждая точка является соединением нескольких прямых, каждая линия нескольких плоскостей и т. д.

Точные определения существуют только для правильных комплексных многогранников , которые являются конфигурациями . Правильные комплексные многогранники полностью охарактеризованы и могут быть описаны с использованием символической записи, разработанной Коксетером .

Также были описаны некоторые сложные многогранники, которые не являются полностью правильными.

Определения и введение

Сложная линия $\mathbb {C} ^{1}$ имеет одно измерение с реальными координатами, а другое с мнимыми координатами. Говорят, что применение реальных координат к обоим измерениям дает им два измерения по сравнению с действительными числами. Реальная плоскость с воображаемой осью, обозначенной как таковая, называется диаграммой Аргана . Из-за этого ее иногда называют комплексной плоскостью. Таким образом, комплексное двумерное пространство (также иногда называемое комплексной плоскостью) представляет собой четырехмерное пространство над реальными объектами и так далее в более высоких измерениях.

Комплексный n- многогранник в комплексном n -пространстве является аналогом вещественного n - многогранника в реальном n -пространстве. Однако не существует естественного комплексного аналога упорядочения точек на прямой (или связанных с ним комбинаторных свойств). Из-за этого сложный многогранник нельзя рассматривать как непрерывную поверхность и он не ограничивает внутреннюю часть, как это делает настоящий многогранник.

В случае правильных многогранников точное определение можно дать, используя понятие симметрии. Для любого правильного многогранника группа симметрии (здесь комплексная группа отражений , называемая группой Шепарда ) действует транзитивно на флаги , то есть на вложенные последовательности точек, содержащихся в прямой, содержащейся в плоскости, и так далее.

Более полно, скажем, что набор P аффинных подпространств (или квартир ) комплексного унитарного пространства V размерности n является правильным комплексным многогранником, если он удовлетворяет следующим условиям:

• для каждого −1 ⩽ i < j < k ⩽ n , если F — квартира в P размерности i, а H — квартира в P размерности k такая, что F ⊂ H , то существует по крайней мере две квартиры G в P размерности j такой, что F ⊂ G ⊂ H ;
• для каждого i , j такого, что −1 ⩽ i < j − 2, j ⩽ n , если F ⊂ G — квартиры P размеров i , j , то множество квартир между F и G связно в том смысле, что можно перейти от любого члена этого множества к любому другому с помощью последовательности вложений; и
• подмножество унитарных преобразований V , фиксирующих P транзитивно на флагах F ₀ ⊂ F ₁ ⊂ … ⊂ F _n квартир P (причем Fi _, размерности i для всех i ).

(Здесь под плоскостью размерности −1 понимается пустое множество.) Таким образом, по определению правильные комплексные многогранники представляют собой конфигурации в комплексном унитарном пространстве.

Правильные комплексные многогранники были открыты Шепардом (1952), а теория получила дальнейшее развитие Коксетером (1974).

Три вида правильного комплексного многоугольника ₄ {4} ₂ ,

Этот сложный многоугольник имеет 8 ребер (сложных линий), обозначенных как .. , h и 16 вершин. В каждом ребре лежат четыре вершины и в каждой вершине пересекаются два ребра. На левом изображении обведенные квадраты не являются элементами многогранника, а включены просто для того, чтобы помочь идентифицировать вершины, лежащие на одной сложной линии. Восьмиугольный периметр левого изображения не является элементом многогранника, а является многоугольником Петри . На среднем изображении каждое ребро представлено в виде реальной линии, и четыре вершины в каждой линии видны более четко.

Перспективный эскиз, представляющий 16 вершинных точек в виде больших черных точек и 8 4-ребер в виде ограниченных квадратов внутри каждого ребра. Зеленый путь представляет собой восьмиугольный периметр левого изображения.

Комплексный многогранник существует в комплексном пространстве эквивалентной размерности. Например, вершины сложного многоугольника — это точки комплексной плоскости. $\mathbb {C} ^{2}$ (плоскость, в которой каждая точка имеет в качестве координат два комплексных числа, не путать с плоскостью Аргана комплексных чисел), а края представляют собой комплексные линии $\mathbb {C} ^{1}$ существующие как (аффинные) подпространства плоскости и пересекающиеся в вершинах. Таким образом, как одномерное комплексное пространство, ребру может быть присвоена собственная система координат, в которой каждая точка ребра представлена ​​одним комплексным числом.

В правильном комплексном многограннике вершины, инцидентные ребру, расположены симметрично относительно их центроида , который часто используется в качестве начала системы координат ребра (в реальном случае центроид — это всего лишь середина ребра). Симметрия возникает из-за сложного отражения центроида; это отражение оставит величину любой вершины неизменной, но изменит ее аргумент на фиксированную величину, переместив его к координатам следующей по порядку вершины. Таким образом, мы можем предположить (после подходящего выбора масштаба), что вершины на ребре удовлетворяют уравнению $x^{p}-1=0$ где p — количество инцидентных вершин. Таким образом, в диаграмме Аргана ребра точки вершин лежат в вершинах правильного многоугольника с центром в начале координат.

Выше показаны три действительные проекции правильного комплексного многоугольника 4{4}2 с ребрами a, b, c, d, e, f, g, h . Он имеет 16 вершин, которые для ясности не отмечены индивидуально. Каждое ребро имеет четыре вершины, и каждая вершина лежит на двух ребрах, следовательно, каждое ребро пересекается с четырьмя другими ребрами. На первой диаграмме каждое ребро представлено квадратом. Стороны квадрата не являются частями многоугольника, а нарисованы исключительно для того, чтобы визуально связать четыре вершины. Края выкладываются симметрично. что диаграмма похожа на B ₄ на плоскость Кокстера проекцию тессеракта (Обратите внимание , , но структурно отличается).

Средняя диаграмма отказывается от восьмиугольной симметрии в пользу ясности. Каждое ребро отображается как реальная линия, а каждая точка пересечения двух линий является вершиной. Связь между различными краями очевидна.

Последняя диаграмма дает представление о структуре, проецируемой в трех измерениях: два куба с вершинами на самом деле имеют одинаковый размер, но видны в перспективе на разных расстояниях в четвертом измерении.

Регулярные комплексные одномерные многогранники

Комплексные 1-многогранники, представленные на плоскости Аргана в виде правильных многоугольников для p = 2, 3, 4, 5 и 6, с черными вершинами. Центр тяжести вершин p показан красным. Стороны многоугольников представляют собой одно применение генератора симметрии, сопоставляющее каждую вершину со следующей копией, расположенной против часовой стрелки. Эти многоугольные стороны не являются реберными элементами многогранника, поскольку комплексный 1-многогранник не может иметь ребер (часто это комплексное ребро) и содержит только вершинные элементы.

Настоящий одномерный многогранник существует как замкнутый отрезок вещественной прямой. $\mathbb {R} ^{1}$, определяемый двумя конечными точками или вершинами линии. Его символ Шлефли — {} .

Аналогично, комплексный 1-многогранник существует как набор из p вершинных точек комплексной прямой. $\mathbb {C} ^{1}$. Их можно представить как набор точек на диаграмме Аргана ( x , y )= x + iy . Правильный комплексный одномерный многогранник _p {} имеет p ( p ≥ 2) точек вершин, расположенных так, чтобы образовывать выпуклый правильный многоугольник { p } на плоскости Аргана.

В отличие от точек реальной линии, точки комплексной линии не имеют естественного порядка. Таким образом, в отличие от реальных многогранников, внутренняя часть не может быть определена. Несмотря на это, сложные 1-многогранники часто изображают, как здесь, в виде ограниченного правильного многоугольника в плоскости Аргана.

Реальный край создается как линия между точкой и ее отражением в зеркале. Унитарный порядок отражения 2 можно рассматривать как поворот на 180 градусов вокруг центра. Край неактивен , если точка генератора находится на отражающей линии или в центре.

Правильный действительный одномерный многогранник представляется пустым символом Шлефли {} или диаграммой Коксетера-Динкина. . Точка или узел диаграммы Кокстера-Динкина сама по себе представляет генератор отражения, а круг вокруг узла означает, что точка генератора не находится в отражении, поэтому ее отражающее изображение является отдельной точкой от самой себя. В более широком смысле, правильный комплексный одномерный многогранник в $\mathbb {C} ^{1}$ имеет диаграмму Кокстера-Динкина , для любого положительного целого числа p , 2 или больше, содержащего p вершин. p может быть подавлен, если он равен 2. Он также может быть представлен пустым символом Шлефли _p {}, } _p {, {} _p или _p {2} ₁ . 1 — это обозначение-заполнитель, представляющее несуществующее отражение или генератор идентификаторов периода 1. (0-многогранник, действительный или комплексный, является точкой и представлен как } { или ₁ {2} ₁ .)

Симметрия обозначается диаграммой Кокстера. , и альтернативно может быть описан в нотации Кокстера как _p [], [] _p или ] _p [, _p [2] ₁ или _p [1] _p . Симметрия изоморфна циклической группе порядка p . Подгруппами _p [] являются любые целые дивизоры d , _d [], где d ≥2.

Генератор унитарного оператора для рассматривается как поворот на 2π/ p радиан против часовой стрелки , а край создается последовательным применением одного унитарного отражения. Генератор унитарного отражения для 1-многогранника с p вершинами — это e ^{2π я / п} = потому что (2π/ п ) + я грех (2π/ п ) . Когда p = 2, генератором является e ^{π я} = –1, то же самое, что и отражение точки в реальной плоскости.

В более сложных многогранниках 1-многогранники образуют p -ребра. 2-ребро похоже на обычное вещественное ребро тем, что оно содержит две вершины, но не обязательно должно находиться на реальной линии.

Правильные сложные многоугольники

В то время как 1-многогранники могут иметь неограниченное количество p , конечные правильные комплексные многоугольники, за исключением многоугольников с двойной призмой _p {4} ₂ , ограничены элементами с 5 ребрами (пятиугольными ребрами), а бесконечные правильные апейрогоны также включают 6 ребер (шестиугольные ребра). элементы.

Обозначения

Модифицированная нотация Шепарда Шлефли

Первоначально Шепард разработал модифицированную форму обозначения Шлефли для правильных многогранников. Для многоугольника, ограниченного p ₁ -ребрами, с p ₂ -множеством в качестве вершины и общей группой симметрии порядка g , мы обозначаем многоугольник как p ₁ ( g ) p ₂ .

количество вершин V Тогда равно g / p ₂ , а количество ребер E равно g / p ₁ .

Сложный многоугольник, показанный выше, имеет восемь квадратных ребер ( p ₁ =4) и шестнадцать вершин ( p ₂ =2). Отсюда мы можем определить, что g = 32, что дает модифицированный символ Шлефли 4(32)2.

Пересмотренная модифицированная нотация Шлефли Коксетера

Более современное обозначение _{p 1} { q } _{p 2} принадлежит Кокстеру , и основан на теории групп. Как группа симметрии, ее символ — _{p 1} [ q ] _{p 2} .

Группа симметрии _{p 1} [ q ] _{p 2} представлена ​​2 образующими R ₁ , R ₂ , где: R ₁ ^{п ₁} = _Р2 ^{п ₂} = I. Если q четное, (R ₂ R ₁ ) ^{д /2} = (р ₁ р ₂ ) ^{д /2} . Если q нечетно, (R ₂ R ₁ ) ^(q−1)/2 р ₂ = (р ₁ р ₂ ) ^{( q −1)/2} Р ₁ . Когда q нечетно p1 _​ = p2 _, .

Для ₄ [4] ₂ имеет R ₁ ⁴ = _Р2 ² = Я, (Р ₂ Р ₁ ) ² = (р ₁ р ₂ ) ² .

Для ₃ [5] ₃ имеет R ₁ ³ = _Р2 ³ = Я, (Р ₂ Р ₁ ) ² р ₂ = (р ₁ р ₂ ) ² Р1 _.

Диаграммы Кокстера-Динкина

Коксетер также обобщил использование диаграмм Кокстера-Динкина на сложные многогранники, например, комплексный многоугольник _p { q } _r представлен формулой и эквивалентная группа симметрии _p [ q ] _r представляет собой диаграмму без колец. . Узлы p и r представляют собой зеркала, создающие изображения p и r в плоскости. Непомеченные узлы на диаграмме имеют две неявные метки. Например, настоящий правильный многоугольник — это ₂ { q } ₂ или { q } или .

Одно ограничение: узлы, соединенные нечетными порядками ветвей, должны иметь одинаковые порядки узлов. Если этого не сделать, группа создаст «звездные» полигоны с перекрывающимися элементами. Так и являются обычными, в то время как звездный.

12 неприводимых групп Шепарда

12 неприводимых групп Шепарда с отношениями индексов их подгрупп. Индекс подгруппы 2 связывается путем удаления реального отражения:
_п [2 q ] ₂ → _п [ q ] _п , индекс 2.
_п [4] _q → _п [ q ] _п , индекс q .

_p [4] ₂ подгруппы: p=2,3,4...
_п [4] ₂ → [ п ], индекс р
_p [4] ₂ → _p [] × _p [], индекс 2

Коксетер перечислил этот список правильных комплексных многоугольников в $\mathbb {C} ^{2}$. Правильный комплексный многоугольник, _p { q } _r или , имеет p -ребра и r -угольные вершинные фигуры . _p { q } _r — конечный многогранник, если ( p + r ) q > pr ( q -2).

Ее симметрия записывается как _p [ q ] _r , называемая группой Шепарда , аналогичной группе Кокстера , но также допускающей унитарные отражения .

Для незвездных групп порядок группы _p [ q ] _r можно вычислить как $g=8/q\cdot (1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$.

Число Кокстера для _p [ q ] _r равно $h=2/(1/p+2/q+1/r-1)$, поэтому порядок группы также можно вычислить как $g=2h^{2}/q$. Правильный комплексный многоугольник можно нарисовать в ортогональной проекции с h -угольной симметрией.

Решения ранга 2, которые генерируют сложные многоугольники:

Группа	Г 3 =G( q ,1,1)	G2 р =G( , 1,2)	Г 4	Г 6	Г 5	Г 8	Г 14	GG9	Г 10	GG20	Г 16	Г 21	Г 17	Г 18
	2 [ q ] 2 , q =3,4...	р [4] 2 , р =2,3...	3 [3] 3	3 [6] 2	3 [4] 3	4 [3] 4	3 [8] 2	4 [6] 2	4 [4] 3	3 [5] 3	5 [3] 5	3 [10] 2	5 [6] 2	5 [4] 3
Заказ	2 кв.	2 р 2	24	48	72	96	144	192	288	360	600	720	1200	1800
час	д	2 р	6	12			24			30		60

Исключенные решения с нечетным q и неравными p и r : ₆ [3] ₂ , ₆ [3] ₃ , ₉ [3] ₃ , ₁₂ [3] ₃ , ..., ₅ [5] ₂ , ₆ [5] ₂ , ₈ [5] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₄ [7] ₂ , ₉ [5] ₂ , ₃ [9] ₂ и ₃ [11] ₂ .

Другие целые q с неравными p и r создают звездные группы с перекрывающимися фундаментальными областями: , , , , , и .

Двойной многоугольник _p { q } _r — это _r { q } _p . Многоугольник вида _p { q } _p самодвойственный. Группы вида _p [2 q ] ₂ обладают полусимметрией _p [ q ] _p , поэтому правильный многоугольник то же самое, что и квазирегулярный . А также правильный многоугольник с тем же порядком узлов, , имеют альтернативную конструкцию , что позволяет смежным краям иметь два разных цвета.

Порядок группы g используется для вычисления общего количества вершин и ребер. Он будет иметь вершины g / r и ребра g / p . Когда p = r , количество вершин и ребер одинаково. Это условие требуется, когда q нечетно.

Матричные генераторы

Группа p [ q ] r , , можно представить двумя матрицами:

Имя	Р 1	Р 2
Заказ	п	р
Матрица	$\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\(e^{2\pi i/p}-1)k&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&(e^{2\pi i/r}-1)k\\0&e^{2\pi i/r}\\\end{smallmatrix}}\right]$

С

к= ${\sqrt {\frac {cos({\frac {\pi }{p}}-{\frac {\pi }{r}})+cos({\frac {2\pi }{q}})}{2\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}}}}$

Примеры

Имя Р 1 Р 2 Заказ п д Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&e^{2\pi i/q}\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ п 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}e^{2\pi i/p}&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 3 3 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}\\0&{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\\\end{smallmatrix}}\right]$
Имя Р 1 Р 2 Заказ 4 4 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&i\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 4 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}i&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	Имя Р 1 Р 2 Заказ 3 2 Матрица $\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}&0\\{\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}&1\\\end{smallmatrix}}\right]$ $\left[{\begin{smallmatrix}1&-2\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

Перечисление правильных комплексных многоугольников

Коксетер перечислил комплексные многоугольники в Таблице III Правильных комплексных многогранников.

Группа	Заказ	Коксетер число	Полигон		Вершины	Края		Примечания
G(д, д, 2) 2 [ q ] 2 = [ q ] д=2,3,4,...	2 кв.	д	2 { q } 2		д	д	{}	Настоящие правильные многоугольники То же, что То же, что если q четное

Группа	Заказ	Коксетер число	Полигон			Вершины	Края		Примечания
Г( п ,1,2) п [4] 2 р=2,3,4,...	2 р 2	2 р	р (2 р 2 )2	п {4} 2		п 2	2 р	п {}	то же, что p {} × p {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде p - p- дуопризмы
			2( 2п 2 ) п	2 {4} п		2 р	п 2	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде p - p- дуопирамиды
Г(2,1,2) 2 [4] 2 = [4]	8	4		2 {4} 2 = {4}		4	4	{}	то же, что {}×{} или Реальная площадь
Г(3,1,2) 3 [4] 2	18	6	6(18)2	3 {4} 2		9	6	3 {}	то же, что 3 {} × 3 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 3-3 дуопризмы
			2(18)3	2 {4} 3		6	9	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 3-3 дуопирамид
Г(4,1,2) 4 [4] 2	32	8	8(32)2	4 {4} 2		16	8	4 {}	то же, что 4 {} × 4 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопризм или {4,3,3}
			2(32)4	2 {4} 4		8	16	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 4-4 дуопирамиды или {3,3,4}
Г(5,1,2) 5 [4] 2	50	25	5(50)2	5 {4} 2		25	10	5 {}	то же, что 5 {}× 5 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 5-5-дуопризмы
			2(50)5	2 {4} 5		10	25	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 5-5-дуопирамиды
Г(6,1,2) 6 [4] 2	72	36	6(72)2	6 {4} 2		36	12	6 {}	то же, что 6 {} × 6 {} или $\mathbb {R} ^{4}$ представительство в виде 6-6 дуопризм
			2(72)6	2 {4} 6		12	36	{}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление в виде 6-6 дуопирамид
Г 4 =Г(1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3>	24	6	3(24)3	3 {3} 3		8	8	3 {}	Конфигурация Мёбиуса – Кантора самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,4}
Г 6 3 [6] 2	48	12	3(48)2	3 {6} 2		24	16	3 {}	то же, что
				3 {3} 2					звездный многоугольник
			2(48)3	2 {6} 3		16	24	{}
				2 {3} 3					звездный многоугольник
Г 5 3 [4] 3	72	12	3(72)3	3 {4} 3		24	24	3 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
Г 8 4 [3] 4	96	12	4(96)4	4 {3} 4		24	24	4 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,4,3}
Г 14 3 [8] 2	144	24	3(144)2	3 {8} 2		72	48	3 {}	то же, что
				3 {8/3} 2					звездный многоугольник, то же самое, что и
			2(144)3	2 {8} 3		48	72	{}
				2 {8/3} 3					звездный многоугольник
GG9 4 [6] 2	192	24	4(192)2	4 {6} 2		96	48	4 {}	то же, что
			2(192)4	2 {6} 4		48	96	{}
				4 {3} 2		96	48	{}	звездный многоугольник
				2 {3} 4		48	96	{}	звездный многоугольник
Г 10 4 [4] 3	288	24	4(288)3	4 {4} 3		96	72	4 {}
		12		4 {8/3} 3					звездный многоугольник
		24	3(288)4	3 {4} 4		72	96	3 {}
		12		3 {8/3} 4					звездный многоугольник
GG20 3 [5] 3	360	30	3(360)3	3 {5} 3		120	120	3 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
				3 {5/2} 3					самодвойственный звездный многоугольник
Г 16 5 [3] 5	600	30	5(600)5	5 {3} 5		120	120	5 {}	самодвойственный, то же, что $\mathbb {R} ^{4}$ представление как {3,3,5}
		10		5 {5/2} 5					самодвойственный звездный многоугольник
Г 21 3 [10] 2	720	60	3(720)2	3 {10} 2		360	240	3 {}	то же, что
				3 {5} 2					звездный многоугольник
				3 {10/3} 2					звездный многоугольник, то же самое, что и
				3 {5/2} 2					звездный многоугольник
			2(720)3	2 {10} 3		240	360	{}
				2 {5} 3					звездный многоугольник
				2 {10/3} 3					звездный многоугольник
				2 {5/2} 3					звездный многоугольник
Г 17 5 [6] 2	1200	60	5(1200)2	5 {6} 2		600	240	5 {}	то же, что
		20		5 {5} 2					звездный многоугольник
		20		5 {10/3} 2					звездный многоугольник
		60		5 {3} 2					звездный многоугольник
		60	2(1200)5	2 {6} 5		240	600	{}
		20		2 {5} 5					звездный многоугольник
		20		2 {10/3} 5					звездный многоугольник
		60		2 {3} 5					звездный многоугольник
Г 18 5 [4] 3	1800	60	5(1800)3	5 {4} 3		600	360	5 {}
		15		5 {10/3} 3					звездный многоугольник
		30		5 {3} 3					звездный многоугольник
		30		5 {5/2} 3					звездный многоугольник
		60	3(1800)5	3 {4} 5		360	600	3 {}
		15		3 {10/3} 5					звездный многоугольник
		30		3 {3} 5					звездный многоугольник
		30		3 {5/2} 5					звездный многоугольник

Визуализации правильных сложных многоугольников

Многоугольники формы _p {2 r } _q можно визуализировать с помощью q наборов цветов p -ребра. Каждое p -ребро рассматривается как правильный многоугольник, при этом грани отсутствуют.

2D ортогональные проекции комплексных многоугольников ₂ { r } _q

Многоугольники вида ₂ {4} _q называются обобщенными ортоплексами . Они имеют общие вершины с 4D q - - q дуопирамидами , вершины которых соединены 2-ребрами.

• 
  ₂ {4} ₂ , , с 4 вершинами и 4 ребрами
• 
  ₂ {4} ₃ , , с 6 вершинами и 9 ребрами
• 
  ₂ {4} ₄ , , с 8 вершинами и 16 ребрами
• 
  ₂ {4} ₅ , , с 10 вершинами и 25 ребрами
• 
  ₂ {4} ₆ , , с 12 вершинами и 36 ребрами
• 
  ₂ {4} ₇ , , с 14 вершинами и 49 ребрами
• 
  ₂ {4} ₈ , , с 16 вершинами и 64 ребрами
• 
  ₂ {4} ₉ , , с 18 вершинами и 81 ребром
• 
  ₂ {4} ₁₀ , , с 20 вершинами и 100 ребрами

Комплексные многоугольники _p {4} ₂

Многоугольники вида _p {4} ₂ называются обобщенными гиперкубами (квадратами для многоугольников). Они имеют общие вершины с 4D p - p дуопризмами , вершины которых соединены p-ребрами. Вершины рисуются зеленым цветом, а p -ребра — чередующимися цветами: красным и синим. Перспектива немного искажается для нечетных размеров, чтобы переместить перекрывающиеся вершины из центра.

• 
  ₂ {4} ₂ , или , с 4 вершинами и 4 2-ребрами
• 
  ₃ {4} ₂ , или , с 9 вершинами и 6 (треугольными) 3-ребрами
• 
  ₄ {4} ₂ , или , с 16 вершинами и 8 (квадратными) 4-ребрами
• 
  ₅ {4} ₂ , или , с 25 вершинами и 10 (пятиугольными) 5-ребрами
• 
  ₆ {4} ₂ , или , с 36 вершинами и 12 (шестиугольными) 6-ребрами
• 
  ₇ {4} ₂ , или , с 49 вершинами и 14 (семиугольными)7-ребрами
• 
  ₈ {4} ₂ , или , с 64 вершинами и 16 (восьмиугольными) 8-ребрами
• 
  ₉ {4} ₂ , или , с 81 вершиной и 18 (эннеагональными) 9-ребрами
• 
  ₁₀ {4} ₂ , или , со 100 вершинами и 20 (десятиугольными) 10-ребрами

3D перспективные проекции сложных многоугольников _p {4} ₂ . Двойники ₂ {4} _p

видны путем добавления вершин внутри ребер и добавления ребер вместо вершин.

• 
  ₃ {4} ₂ , или с 9 вершинами, 6 3-ребрами в 2 наборах цветов
• 
  ₂ {4} ₃ , с 6 вершинами, 9 ребрами в 3 наборах
• 
  ₄ {4} ₂ , или с 16 вершинами, 8 4-ребрами в 2 наборах цветов и заполненными квадратными 4-ребрами
• 
  ₅ {4} ₂ , или с 25 вершинами, 10 5-ребрами в 2 наборах цветов

Другие сложные многоугольники _p { r } ₂

• 
  ₃ {6} ₂ , или , с 24 вершинами черного цвета и 16 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.
• 
  ₃ {8} ₂ , или , с 72 вершинами черного цвета и 48 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.

2D ортогональные проекции комплексных многоугольников, _p { r } _p

Многоугольники вида _p { r } _p имеют одинаковое количество вершин и ребер. Они также самодвойственны.

• 
  ₃ {3} ₃ , или , с 8 вершинами черного цвета и 8 3-ребрами, окрашенными в 2 набора 3-ребер красного и синего цветов.
• 
  ₃ {4} ₃ , или , с 24 вершинами и 24 3-ребрами, показанными в 3 наборах цветов, один набор заполнен
• 
  ₄ {3} ₄ , или , с 24 вершинами и 24 4-ребрами, показанными в 4 наборах цветов.
• 
  ₃ {5} ₃ , или , со 120 вершинами и 120 3-ребрами
• 
  ₅ {3} ₅ , или , со 120 вершинами и 120 5-ребрами

Регулярные комплексные многогранники

В общем, правильный комплексный многогранник представляется Кокстером как _p { z ₁ } _q {z ₂ } _r {z ₃ } _s … или диаграмма Кокстера …, обладающие симметрией _p [ z ₁ ] _q [ z ₂ ] _r [ z ₃ ] _s … или ….

Существуют бесконечные семейства правильных комплексных многогранников, которые встречаются во всех измерениях, обобщая гиперкубы и перекрестные многогранники в реальном пространстве. «Обобщенный ортотоп» Шепарда обобщает гиперкуб; у него есть символ, заданный γ ^п
_n = _p {4} ₂ {3} ₂ … ₂ {3} ₂ и диаграмма … . Его группа симметрии имеет диаграмму _p [4] ₂ [3] ₂ … ₂ [3] ₂ ; в классификации Шепарда-Тодда это группа G( p , 1, n ), обобщающая знаковые матрицы перестановок. Его двойственный правильный многогранник, «обобщенный перекрестный многогранник», обозначается символом β. ^п
_п = ₂ {3} ₂ {3} ₂ … ₂ {4} _п и диаграмма … .

Одномерный правильный комплексный многогранник в $\mathbb {C} ^{1}$ представлен как , имеющий p вершин, с его действительным представлением в виде правильного многоугольника { p }. Коксетер также дает ему символ γ. ^п
₁ или β ^п
₁ как одномерный обобщенный гиперкуб или перекрестный многогранник. Его симметрия равна _p [] или , циклическая группа порядка p . В более высоком многограннике _p {} или представляет элемент p -ребра с 2-краем, {} или , представляющий обычное вещественное ребро между двумя вершинами.

Двойственный комплексный многогранник строится путем замены k и ( n -1- k )-элементов n -многогранника. Например, двойственный комплексный многоугольник имеет вершины, центрированные по каждому краю, а новые ребра центрируются по старым вершинам. Вершина v -валентности создает новое v -ребро, а e -ребра становятся e -валентности. вершинами Двойственный правильному комплексному многограннику имеет перевернутый символ. Правильные комплексные многогранники с симметричными символами, т.е. _p { q } _p , _p { q } _r { q } _p , _p { q } _r { s } _r { q } _p и т. д. являются самодвойственными .

Перечисление правильных комплексных многогранников

Некоторые группы Шепарда 3-го ранга с их групповым порядком и рефлексивными отношениями подгрупп.

Коксетер перечислил этот список незвездных правильных комплексных многогранников в $\mathbb {C} ^{3}$, включая 5 платоновых тел в $\mathbb {R} ^{3}$.

Правильный комплексный многогранник, _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r или , имеет лица, края, и вершинные фигуры .

Комплексный правильный многогранник _p { n ₁ } _q { n ₂ } _r требует, чтобы g ₁ = order( _p [ n ₁ ] _q ) и g ₂ = order( _q [ n ₂ ] _r ) были конечными.

Учитывая g = order( _p [ n ₁ ] _q [ n ₂ ] _r ), количество вершин равно g / g ₂ , а количество граней равно g / g ₁ . Число ребер равно g / pr .

Космос	Группа	Заказ	Номер Кокстера	Полигон		Вершины	Края		Лица		Вертекс фигура	Ван Ус многоугольник	Примечания
$\mathbb {R} ^{3}$	Г(1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3]	24	4	а 3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3}		4	6	{}	4	{3}	{3}	никто	Настоящий тетраэдр То же, что
$\mathbb {R} ^{3}$	Г 23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5]	120	10	2 {3} 2 {5} 2 = {3,5}		12	30	{}	20	{3}	{5}	никто	Настоящий икосаэдр
				2 {5} 2 {3} 2 = {5,3}		20	30	{}	12	{5}	{3}	никто	Настоящий додекаэдр
$\mathbb {R} ^{3}$	Г(2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4]	48	6	б 2 3 = β 3 = {3,4}		6	12	{}	8	{3}	{4}	{4}	Настоящий октаэдр То же, что {}+{}+{}, порядок 8 То же, что , заказать 24
$\mathbb {R} ^{3}$				с 2 3 = γ 3 = {4,3}		8	12	{}	6	{4}	{3}	никто	Настоящий куб То же, что {}×{}×{} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г(р,1,3) 2 [3] 2 [4] п р=2,3,4,...	6 р. 3	33р	б п 3 = 2 {3} 2 {4} п		33р	33р 2	{}	п 3	{3}	2 {4} п	2 {4} п	Обобщенный октаэдр То же, что p {}+ p {}+ p {}, порядок p 3 То же, что , заказать 6 р. 2
$\mathbb {C} ^{3}$				с п 3 = п {4} 2 {3} 2		п 3	33р 2	п {}	33р	п {4} 2	{3}	никто	Обобщенный куб То же, что p {}× p {}× p {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г(3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3	162	9	б 3 3 = 2 {3} 2 {4} 3		9	27	{}	27	{3}	2 {4} 3	2 {4} 3	То же, что 3 {}+ 3 {}+ 3 {}, порядок 27. То же, что , заказать 54
$\mathbb {C} ^{3}$				с 3 3 = 3 {4} 2 {3} 2		27	27	3 {}	9	3 {4} 2	{3}	никто	То же, что 3 {}× 3 {}× 3 {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г(4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4	384	12	б 4 3 = 2 {3} 2 {4} 4		12	48	{}	64	{3}	2 {4} 4	2 {4} 4	То же, что 4 {}+ 4 {}+ 4 {}, порядок 64. То же, что , заказать 96
$\mathbb {C} ^{3}$				с 4 3 = 4 {4} 2 {3} 2		64	48	4 {}	12	4 {4} 2	{3}	никто	То же, что 4 {}× 4 {}× 4 {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г(5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5	750	15	б 5 3 = 2 {3} 2 {4} 5		15	75	{}	125	{3}	2 {4} 5	2 {4} 5	То же, что 5 {}+ 5 {}+ 5 {}, порядок 125. То же, что , заказ 150
$\mathbb {C} ^{3}$				с 5 3 = 5 {4} 2 {3} 2		125	75	5 {}	15	5 {4} 2	{3}	никто	То же, что 5 {}× 5 {}× 5 {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г(6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6	1296	18	б 6 3 = 2 {3} 2 {4} 6		36	108	{}	216	{3}	2 {4} 6	2 {4} 6	То же, что 6 {}+ 6 ​​{}+ 6 ​​{}, порядок 216. То же, что , заказать 216
$\mathbb {C} ^{3}$				с 6 3 = 6 {4} 2 {3} 2		216	108	6 {}	18	6 {4} 2	{3}	никто	То же, что 6 {}× 6 {}× 6 {} или
$\mathbb {C} ^{3}$	Г 25 3 [3] 3 [3] 3	648	9	3 {3} 3 {3} 3		27	72	3 {}	27	3 {3} 3	3 {3} 3	3 {4} 2	То же, что . $\mathbb {R} ^{6}$ представление как 2 21 Гессенский многогранник
	Г 26 2 [4] 3 [3] 3	1296	18	2 {4} 3 {3} 3		54	216	{}	72	2 {4} 3	3 {3} 3	{6}
				3 {3} 3 {4} 2		72	216	3 {}	54	3 {3} 3	3 {4} 2	3 {4} 3	То же, что $\mathbb {R} ^{6}$ представление как 1 22

Визуализации правильных комплексных многогранников

2D ортогональные проекции комплексных многогранников, _p { s } _t { r } _r

• 
  Реальный {3,3} , или имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани
• 
  ₃ {3} ₃ {3} ₃ , или , имеет 27 вершин, 72 трёхребра и 27 граней, одна из которых выделена синим цветом.
• 
  ₂ {4} ₃ {3} ₃ , имеет 54 вершины, 216 простых ребер и 72 грани, одна грань выделена синим цветом.
• 
  ₃ {3} ₃ {4} ₂ , или , имеет 72 вершины, 216 трёхрёбер и 54 вершины, одна грань выделена синим цветом.

Обобщенные октаэдры

Обобщенные октаэдры имеют правильную конструкцию: и квазирегулярную форму как . Все элементы являются симплексами .

• 
  Реальный {3,4} , или , с 6 вершинами, 12 ребрами и 8 гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₃ , или , с 9 вершинами, 27 ребрами и 27 гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₄ , или , с 12 вершинами, 48 ребрами и 64 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₅ , или , с 15 вершинами, 75 ребрами и 125 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₆ , или , с 18 вершинами, 108 ребрами и 216 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₇ , или , с 21 вершиной, 147 ребрами и 343 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₈ , или , с 24 вершинами, 192 ребрами и 512 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₉ , или , с 27 вершинами, 243 ребрами и 729 гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , или , с 30 вершинами, 300 ребрами и 1000 гранями.

Обобщенные кубы

Обобщенные кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция, как , произведение трех p -угольных 1-многогранников. Элементы представляют собой обобщенные кубы меньшей размерности.

• 
  Действительный {4,3} , или имеет 8 вершин, 12 ребер и 6 граней
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ , или имеет 27 вершин, 27 трёхрёбер и 9 граней.
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 64 вершинами, 48 ребрами и 12 гранями.
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ , или , со 125 вершинами, 75 ребрами и 15 гранями.
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 216 вершинами, 108 ребрами и 18 гранями.
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 343 вершинами, 147 ребрами и 21 гранью.
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 512 вершинами, 192 ребрами и 24 гранями.
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 729 вершинами, 243 ребрами и 27 гранями.
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ , или , с 1000 вершинами, 300 ребрами и 30 гранями

Перечисление правильных комплексных 4-многогранников

Коксетер перечислил этот список незвездных правильных комплексных 4-многогранников в $\mathbb {C} ^{4}$, включая 6 выпуклых правильных 4-многогранников в $\mathbb {R} ^{4}$.

Космос	Группа	Заказ	Коксетер число	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	Ван Ус многоугольник	Примечания
$\mathbb {R} ^{4}$	Г(1,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3,3]	120	5	а 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3,3}	5	10 {}	10 {3}	5 {3,3}	никто	Настоящий 5-клеточный (симплекс)
$\mathbb {R} ^{4}$	Г 28 2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 = [3,4,3]	1152	12	2 {3} 2 {4} 2 {3} 2 = {3,4,3}	24	96 {}	96 {3}	24 {3,4}	{6}	Настоящий 24-клеточный
	Г 30 2 [3] 2 [3] 2 [5] 2 = [3,3,5]	14400	30	2 {3} 2 {3} 2 {5} 2 = {3,3,5}	120	720 {}	1200 {3}	600 {3,3}	{10}	Настоящий 600-ячеечный
				2 {5} 2 {3} 2 {3} 2 = {5,3,3}	600	1200 {}	720 {5}	120 {5,3}		Настоящий 120-ячеечный
$\mathbb {R} ^{4}$	Г(2,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] п =[3,3,4]	384	8	б 2 4 = б 4 = {3,3,4}	8	24 {}	32 {3}	16 {3,3}	{4}	Настоящий 16-клеточный То же, что , заказать 192
$\mathbb {R} ^{4}$				с 2 4 = γ 4 = {4,3,3}	16	32 {}	24 {4}	8 {4,3}	никто	Настоящий тессеракт То же, что {} 4 или , заказать 16
$\mathbb {C} ^{4}$	Г(р,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] п р=2,3,4,...	24 р. 4	4 р.	б п 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} п	4 р.	6 р. 2 {}	4 р. 3 {3}	п 4 {3,3}	2 {4} п	Обобщенный 4- ортоплекс То же, что , заказывайте 24 р. 3
$\mathbb {C} ^{4}$				с п 4 = п {4} 2 {3} 2 {3} 2	п 4	4 р. 3 п {}	6 р. 2 п {4} 2	4 р. п {4} 2 {3} 2	никто	Обобщенный тессеракт То же, что и п {} 4 или , закажите п 4
$\mathbb {C} ^{4}$	Г(3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	1944	12	б 3 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	12	54 {}	108 {3}	81 {3,3}	2 {4} 3	Обобщенный 4- ортоплекс То же, что , заказать 648
$\mathbb {C} ^{4}$				с 3 4 = 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	81	108 3 {}	54 3 {4} 2	12 3 {4} 2 {3} 2	никто	То же, что 3 {} 4 или , заказать 81
$\mathbb {C} ^{4}$	Г(4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	6144	16	б 4 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	16	96 {}	256 {3}	64 {3,3}	2 {4} 4	То же, что , заказать 1536
$\mathbb {C} ^{4}$				с 4 4 = 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	256	256 4 {}	96 4 {4} 2	16 4 {4} 2 {3} 2	никто	То же, что и 4 {} 4 или , заказать 256
$\mathbb {C} ^{4}$	Г(5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	15000	20	б 5 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5	20	150 {}	500 {3}	625 {3,3}	2 {4} 5	То же, что , заказ 3000
$\mathbb {C} ^{4}$				с 5 4 = 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	625	500 5 {}	150 5 {4} 2	20 5 {4} 2 {3} 2	никто	То же, что 5 {} 4 или , заказать 625
$\mathbb {C} ^{4}$	Г(6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	31104	24	б 6 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	24	216 {}	864 {3}	1296 {3,3}	2 {4} 6	То же, что , заказать 5184
$\mathbb {C} ^{4}$				с 6 4 = 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	1296	864 6 {}	216 6 {4} 2	24 6 {4} 2 {3} 2	никто	То же, что и 6 {} 4 или , заказать 1296
$\mathbb {C} ^{4}$	Г 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	155520	30	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	240	2160 3 {}	2160 3 {3} 3	240 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 3	Сознательный многогранник $\mathbb {R} ^{8}$ представление как 4 21

Визуализации правильных комплексных 4-многогранников

• 
  Действительное {3,3,3} , , имел 5 вершин, 10 ребер, 10 граней {3} и 5 ячеек {3,3}
• 
  Действительное {3,4,3} , , имел 24 вершины, 96 ребер, 96 граней {3} и 24 ячейки {3,4}.
• 
  Действительное {5,3,3} , , имел 600 вершин, 1200 ребер, 720 граней {5} и 120 ячеек {5,3}.
• 
  Действительное {3,3,5} , , имел 120 вершин, 720 ребер, 1200 граней {3} и 600 ячеек {3,3}.
• 
  Соображая многогранник , , имеет 240 вершин, 2160 3-ребер, 2160 3{3}3 грани и 240 3{3}3{3}3 ячеек.

Обобщенные 4-ортоплексы

Обобщенные 4-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярную форму как . Все элементы являются симплексами .

• 
  Действительное {3,3,4} , или , с 8 вершинами, 24 ребрами, 32 гранями и 16 ячейками
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , или , с 12 вершинами, 54 ребрами, 108 гранями и 81 ячейкой.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , или , с 16 вершинами, 96 ребрами, 256 гранями и 256 ячейками.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , или , с 20 вершинами, 150 ребрами, 500 гранями и 625 ячейками.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , или , с 24 вершинами, 216 ребрами, 864 гранями и 1296 ячейками.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , или , с 28 вершинами, 294 ребрами, 1372 гранями и 2401 ячейкой.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , или , с 32 вершинами, 384 ребрами, 2048 гранями и 4096 ячейками.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , или , с 36 вершинами, 486 ребрами, 2916 гранями и 6561 ячейкой.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , или , с 40 вершинами, 600 ребрами, 4000 гранями и 10000 ячейками.

Обобщенные 4-кубы

Обобщенные тессеракты имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция, как , произведение четырех p -угольных 1-многогранников. Элементы представляют собой обобщенные кубы меньшей размерности.

• 
  Действительное {4,3,3} , или , с 16 вершинами, 32 ребрами, 24 гранями и 8 ячейками
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 81 вершиной, 108 ребрами, 54 гранями и 12 ячейками.
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 256 вершинами, 96 ребрами, 96 гранями и 16 ячейками.
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 625 вершинами, 500 ребрами, 150 гранями и 20 ячейками.
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 1296 вершинами, 864 ребрами, 216 гранями и 24 ячейками.
• 
  ₇ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 2401 вершиной, 1372 ребрами, 294 гранями и 28 ячейками.
• 
  ₈ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 4096 вершинами, 2048 ребрами, 384 гранями и 32 ячейками.
• 
  ₉ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 6561 вершиной, 2916 ребрами, 486 гранями и 36 ячейками.
• 
  ₁₀ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , или , с 10000 вершинами, 4000 ребрами, 600 гранями и 40 ячейками.

Перечисление правильных комплексных 5-многогранников

Правильные комплексные 5-многогранники в $\mathbb {C} ^{5}$ или выше существуют в трех семействах: действительные симплексы , обобщенный гиперкуб и ортоплекс .

Космос	Группа	Заказ	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	Ван Ус многоугольник	Примечания
$\mathbb {R} ^{5}$	Г(1,1,5) = [3,3,3,3]	720	а 5 = {3,3,3,3}	6	15 {}	20 {3}	15 {3,3}	6 {3,3,3}	никто	Настоящий 5-симплекс
$\mathbb {R} ^{5}$	Г(2,1,5) =[3,3,3,4]	3840	б 2 5 = β 5 = {3,3,3,4}	10	40 {}	80 {3}	80 {3,3}	32 {3,3,3}	{4}	Настоящий 5-ортоплекс То же, что , приказ 1920 г.
$\mathbb {R} ^{5}$			с 2 5 = γ 5 = {4,3,3,3}	32	80 {}	80 {4}	40 {4,3}	10 {4,3,3}	никто	Настоящий 5-куб То же, что {} 5 или , заказать 32
$\mathbb {C} ^{5}$	Г(р,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] п	120 р. 5	б п 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} п	5 р.	10 р. 2 {}	10 р. 3 {3}	5 р. 4 {3,3}	п 5 {3,3,3}	2 {4} п	Обобщенный 5-ортоплекс То же, что , заказ 120 р 4
$\mathbb {C} ^{5}$			с п 5 = п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	п 5	5 р. 4 п {}	10 р. 3 п {4} 2	10 р. 2 п {4} 2 {3} 2	5 р. п {4} 2 {3} 2 {3} 2	никто	Обобщенный 5-куб То же, что и п {} 5 или , закажите п 5
$\mathbb {C} ^{5}$	Г(3,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3	29160	б 3 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3	15	90 {}	270 {3}	405 {3,3}	243 {3,3,3}	2 {4} 3	То же, что , заказать 9720
$\mathbb {C} ^{5}$			с 3 5 = 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	243	405 3 {}	270 3 {4} 2	90 3 {4} 2 {3} 2	15 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2	никто	То же, что 3 {} 5 или , заказать 243
$\mathbb {C} ^{5}$	Г(4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4	122880	б 4 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4	20	160 {}	640 {3}	1280 {3,3}	1024 {3,3,3}	2 {4} 4	То же, что , заказ 30720
$\mathbb {C} ^{5}$			с 4 5 = 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	1024	1280 4 {}	640 4 {4} 2	160 4 {4} 2 {3} 2	20 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2	никто	То же, что и 4 {} 5 или , заказать 1024
$\mathbb {C} ^{5}$	Г(5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5	375000	б 5 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {5} 5	25	250 {}	1250 {3}	3125 {3,3}	3125 {3,3,3}	2 {5} 5	То же, что , заказ 75000
$\mathbb {C} ^{5}$			с 5 5 = 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	3125	3125 5 {}	1250 5 {5} 2	250 5 {5} 2 {3} 2	25 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2	никто	То же, что 5 {} 5 или , заказать 3125
$\mathbb {C} ^{5}$	Г(6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6	933210	б 6 5 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6	30	360 {}	2160 {3}	6480 {3,3}	7776 {3,3,3}	2 {4} 6	То же, что , заказ 155520
$\mathbb {C} ^{5}$			с 6 5 = 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	7776	6480 6 {}	2160 6 {4} 2	360 6 {4} 2 {3} 2	30 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2	никто	То же, что и 6 {} 5 или , заказать 7776

Визуализации правильных комплексных 5-многогранников

Обобщенные 5-ортоплексы

Обобщенные 5-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярную форму как . Все элементы являются симплексами .

• 
  Действительное {3,3,3,4} , , с 10 вершинами, 40 ребрами, 80 гранями, 80 ячейками и 32 4-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , , с 15 вершинами, 90 ребрами, 270 гранями, 405 ячейками и 243 4-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , , с 20 вершинами, 160 ребрами, 640 гранями, 1280 ячейками и 1024 4-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , , с 25 вершинами, 250 ребрами, 1250 гранями, 3125 ячейками и 3125 4-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , , с 30 вершинами, 360 ребрами, 2160 гранями, 6480 ячейками, 7776 4-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , , с 35 вершинами, 490 ребрами, 3430 гранями, 12005 ячеек, 16807 4-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , , с 40 вершинами, 640 ребрами, 5120 гранями, 20480 ячейками, 32768 4-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , , с 45 вершинами, 810 ребрами, 7290 гранями, 32805 ячейками, 59049 4-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , , с 50 вершинами, 1000 ребрами, 10000 гранями, 50000 ячейками, 100000 4-гранями

Обобщенные 5-кубы

Обобщенные 5-кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция, как , произведение пяти p -угольных 1-многогранников. Элементы представляют собой обобщенные кубы меньшей размерности.

• 
  Действительное {4,3,3,3} , , с 32 вершинами, 80 ребрами, 80 гранями, 40 ячейками и 10 4-гранями.
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 243 вершинами, 405 ребрами, 270 гранями, 90 ячейками и 15 4-гранями.
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 1024 вершинами, 1280 ребрами, 640 гранями, 160 ячейками и 20 4-гранями.
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 3125 вершинами, 3125 ребрами, 1250 гранями, 250 ячейками и 25 4-гранями.
• 
  ₆ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 7776 вершинами, 6480 ребрами, 2160 гранями, 360 ячейками и 30 4-гранями.

Перечисление правильных комплексных 6-многогранников

Космос	Группа	Заказ	Многогранник	Вершины	Края	Лица	Клетки	4-ликий	5-гранный	Ван Ус многоугольник	Примечания
$\mathbb {R} ^{6}$	Г(1,1,6) = [3,3,3,3,3]	720	а 6 = {3,3,3,3,3}	7	21 {}	35 {3}	35 {3,3}	21 {3,3,3}	7 {3,3,3,3}	никто	Настоящий 6-симплекс
$\mathbb {R} ^{6}$	Г(2,1,6) [3,3,3,4]	46080	б 2 6 = б 6 = {3,3,3,4}	12	60 {}	160 {3}	240 {3,3}	192 {3,3,3}	64 {3,3,3,3}	{4}	Настоящий 6-ортоплекс То же, что , заказ 23040
$\mathbb {R} ^{6}$			с 2 6 = γ 6 = {4,3,3,3}	64	192 {}	240 {4}	160 {4,3}	60 {4,3,3}	12 {4,3,3,3}	никто	Настоящий 6-куб То же, что {} 6 или , заказать 64
$\mathbb {C} ^{6}$	Г(р,1,6) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] п	720 р. 6	б п 6 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} п	6 р.	15 р. 2 {}	20 р. 3 {3}	15 р. 4 {3,3}	6 р. 5 {3,3,3}	п 6 {3,3,3,3}	2 {4} п	Обобщенный 6-ортоплекс То же, что , заказ 720 р 5
$\mathbb {C} ^{6}$			с п 6 = п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	п 6	6 р. 5 п {}	15 р. 4 п {4} 2	20 р. 3 п {4} 2 {3} 2	15 р. 2 п {4} 2 {3} 2 {3} 2	6 р. п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	никто	Обобщенный 6-куб То же, что и п {} 6 или , закажите п 6

Визуализации правильных комплексных 6-многогранников

Обобщенные 6-ортоплексы

Обобщенные 6-ортоплексы имеют правильную конструкцию: и квазирегулярную форму как . Все элементы являются симплексами .

• 
  Действительное {3,3,3,3,4} , , с 12 вершинами, 60 ребрами, 160 гранями, 240 ячейками, 192 4-гранями и 64 5-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₃ , , с 18 вершинами, 135 ребрами, 540 гранями, 1215 ячейками, 1458 4-гранями и 729 5-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₄ , , с 24 вершинами, 240 ребрами, 1280 гранями, 3840 ячейками, 6144 4-гранями и 4096 5-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₅ , , с 30 вершинами, 375 ребрами, 2500 гранями, 9375 ячейками, 18750 4-гранями и 15625 5-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₆ , , с 36 вершинами, 540 ребрами, 4320 гранями, 19 440 ячейками, 46 656 4-гранями и 46 656 5-гранями.
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₇ , , с 42 вершинами, 735 ребрами, 6860 гранями, 36015 ячейками, 100842 4-гранниками, 117649 5-гранниками
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₈ , , с 48 вершинами, 960 ребрами, 10240 гранями, 61440 ячейками, 196608 4-гранниками, 262144 5-гранниками
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₉ , , с 54 вершинами, 1215 ребрами, 14580 гранями, 98415 ячейками, 354294 4-гранями, 531441 5-гранями
• 
  ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {4} ₁₀ , , с 60 вершинами, 1500 ребрами, 20000 граней, 150000 ячеек, 600000 4-граней, 1000000 5-граней

Обобщенные 6-кубы

Обобщенные 6-кубы имеют правильную конструкцию: и призматическая конструкция, как , произведение шести p -угольных 1-многогранников. Элементы представляют собой обобщенные кубы меньшей размерности.

• 
  Действительное {3,3,3,3,3,4} , , с 64 вершинами, 192 ребрами, 240 гранями, 160 ячейками, 60 4-гранями и 12 5-гранями.
• 
  ₃ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 729 вершинами, 1458 ребрами, 1215 гранями, 540 ячейками, 135 4-гранями и 18 5-гранями.
• 
  ₄ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 4096 вершинами, 6144 ребрами, 3840 гранями, 1280 ячейками, 240 4-гранями и 24 5-гранями.
• 
  ₅ {4} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ {3} ₂ , , с 15625 вершинами, 18750 ребрами, 9375 гранями, 2500 ячейками, 375 4-гранями и 30 5-гранями.

Перечисление правильных сложных апейротопов

Коксетер перечислил этот список незвездных правильных сложных апейротопов или сот.

Для каждого измерения существует 12 апейротопов, обозначенных как δ. ^{п , р}
_n+1 существует в любых измерениях $\mathbb {C} ^{n}$, или $\mathbb {R} ^{n}$ если р = q =2. Коксетер называет эти обобщенные кубические соты для n >2.

Каждый из них имеет пропорциональное количество элементов, заданное как:

k-граней = ${n \choose k}p^{n-k}r^{k}$, где ${n \choose m}={\frac {n!}{m!\,(n-m)!}}$ и н ! обозначает факториал числа n .

Регулярные комплексные 1-многогранники

Единственный правильный комплексный 1-многогранник — это _∞ {}, или . Его реальным представлением является апейрогон , {∞} или .

Правильные сложные апейрогоны

Некоторые подгруппы апейрогональных групп Шепарда

11 сложных апейрогонов _p { q } _r , внутренние края которых окрашены в голубой цвет, а края вокруг одной вершины окрашены индивидуально. Вершины показаны в виде маленьких черных квадратов. Ребра рассматриваются как p -сторонние правильные многоугольники, а фигуры вершин являются r -угольными.

Квазиправильный апейрогон представляет собой смесь двух правильных апейрогонов и , здесь видно с синими и розовыми краями. имеет только один цвет ребер, поскольку q нечетно, что делает его двойным покрытием.

Комплексные апейрогоны ранга 2 обладают симметрией _p [ q ] _r , где 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Коксетер выражает их как δ ^{п , р}
₂ , где q ограничено так, чтобы удовлетворять q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) .

Есть 8 решений:

2 [∞] 2	3 [12] 2	4 [8] 2	6 [6] 2	3 [6] 3	6 [4] 3	4 [4] 4	6 [3] 6

Имеются два исключенных решения нечетные q и неравные p и r : ₁₀ [5] ₂ и ₁₂ [3] ₄ , или и .

Правильный комплексный апейрогон _p { q } _r имеет p -ребра и r -угольные вершинные фигуры. Двойственный апейрогон к _p { q } _r — это _r { q } _p . Апейрогон вида _p { q } _p самодвойственный. Группы вида _p [2 q ] ₂ обладают полусимметрией _p [ q ] _p , поэтому правильный апейрогон то же самое, что и квазирегулярный .

Апейрогоны могут быть представлены на плоскости Аргана с четырьмя различными расположениями вершин. Апейрогоны вида ₂ { q } _r имеют расположение вершин { q /2, p }. Форма _p { q } ₂ имеет расположение вершин как r { p , q /2}. Апейрогоны формы _p {4} _r имеют расположение вершин { p , r }.

Включая аффинные узлы и $\mathbb {C} ^{2}$, существует еще 3 бесконечных решения: _∞ [2] _∞ , _∞ [4] ₂ , _∞ [3] ₃ и , , и . Первая является подгруппой индекса 2 второй. Вершины этих апейрогонов существуют в $\mathbb {C} ^{1}$.

2-й ранг

Космос	Группа	Апейрогон		Край	$\mathbb {R} ^{2}$ представитель.	Картина	Примечания
$\mathbb {R} ^{1}$	2 [∞] 2 = [∞]	д 2,2 2 = {∞}		{}			Настоящий апейрогон То же, что
$\mathbb {C} ^{2}$ / $\mathbb {C} ^{1}$	∞ [4] 2	∞ {4} 2		∞ {}	{4,4}		То же, что
$\mathbb {C} ^{1}$	∞ [3] 3	∞ {3} 3		∞ {}	{3,6}		То же, что
$\mathbb {C} ^{1}$	п [ q ] р	д п, р 2 = п { q } р		п {}
$\mathbb {C} ^{1}$	3 [12] 2	д 3,2 2 = 3 {12} 2		3 {}	г{3,6}		То же, что
		д 2,3 2 = 2 {12} 3		{}	{6,3}
$\mathbb {C} ^{1}$	3 [6] 3	д 3,3 2 = 3 {6} 3		3 {}	{3,6}		То же, что
$\mathbb {C} ^{1}$	4 [8] 2	д 4,2 2 = 4 {8} 2		4 {}	{4,4}		То же, что
		д 2,4 2 = 2 {8} 4		{}	{4,4}
$\mathbb {C} ^{1}$	4 [4] 4	д 4,4 2 = 4 {4} 4		4 {}	{4,4}		То же, что
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [6] 2	д 6,2 2 = 6 {6} 2		6 {}	г{3,6}		То же, что
		д 2,6 2 = 2 {6} 6		{}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [4] 3	д 6,3 2 = 6 {4} 3		6 {}	{6,3}
		д 3,6 2 = 3 {4} 6		3 {}	{3,6}
$\mathbb {C} ^{1}$	6 [3] 6	д 6,6 2 = 6 {3} 6		6 {}	{3,6}		То же, что

Правильные сложные апейроэдры

Имеется 22 правильных комплексных апейроэдра вида _p { a } _q { b } _r . 8 самодуальны ( p = r и a = b ), а 14 существуют как двойственные пары многогранников. Три из них вполне реальны ( p = q = r =2).

Коксетер символизирует 12 из них как δ. ^{п , р}
₃ или _p {4} ₂ {4} _r — правильная форма произведения апейротопа δ ^{п , р}
₂ × д ^{п , р}
₂ или _p { q } _r × _p { q } _r , где q определяется из p и r .

то же самое, что , а также , для p , r =2,3,4,6. Также = .

3-й ранг

Космос	Группа	Апейроэдр		Вертекс	Край		Лицо		привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	2 [3] 2 [4] ∞	∞ {4} 2 {3} 2				∞ {}		∞ {4} 2		То же, что ∞ {}× ∞ {}× ∞ {} или Реальное представление {4,3,4}
$\mathbb {C} ^{2}$	п [4] 2 [4] р	п {4} 2 {4} р		п 2	2 пр	п {}	р 2	п {4} 2	2 { q } р	То же, что , п , р =2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	д 2,2 3 = {4,4}		4	8	{}	4	{4}	{∞}	Настоящая квадратная плитка То же, что или или
$\mathbb {C} ^{2}$	3 [4] 2 [4] 2   3 [4] 2 [4] 3 4 [4] 2 [4] 2   4 [4] 2 [4] 4 6 [4] 2 [4] 2   6 [4] 2 [4] 3   6 [4] 2 [4] 6	3 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 3 4 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 4 4 {4} 2 {4} 4 6 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 6		9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36	12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72	3 {} {} 3 {} 4 {} {} 4 {} 6 {} {} 6 {} 3 {} 6 {}	4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36	3 {4} 2 {4} 3 {4} 2 4 {4} 2 {4} 4 {4} 2 6 {4} 2 {4} 6 {4} 2 3 {4} 2 6 {4} 2	п { q } р	То же, что или или То же, что То же, что То же, что или или То же, что То же, что То же, что или или То же, что То же, что То же, что То же, что

Космос	Группа	Апейроэдр		Вертекс	Край		Лицо		привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{2}$	2 [4] р [4] 2	2 {4} р {4} 2		2		{}	2	п {4} 2'	2 {4} р	То же, что и , г=2,3,4,6
$\mathbb {R} ^{2}$	[4,4]	{4,4}		2	4	{}	2	{4}	{∞}	То же, что и
$\mathbb {C} ^{2}$	2 [4] 3 [4] 2 2 [4] 4 [4] 2 2 [4] 6 [4] 2	2 {4} 3 {4} 2 2 {4} 4 {4} 2 2 {4} 6 {4} 2		2	9 16 36	{}	2	2 {4} 3 2 {4} 4 2 {4} 6	2 { q } р	То же, что и То же, что и То же, что и

Космос	Группа	Апейроэдр		Вертекс	Край		Лицо		привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {R} ^{2}$	2 [6] 2 [3] 2 = [6,3]	{3,6}		1	3	{}	2	{3}	{∞}	Настоящая треугольная плитка
		{6,3}		2	3	{}	1	{6}	никто	Настоящая шестиугольная плитка
$\mathbb {C} ^{2}$	3 [4] 3 [3] 3	3 {3} 3 {4} 3		1	8	3 {}	3	3 {3} 3	3 {4} 6	То же, что
		3 {4} 3 {3} 3		3	8	3 {}	1	3 {4} 3	3 {12} 2
$\mathbb {C} ^{2}$	4 [3] 4 [3] 4	4 {3} 4 {3} 4		1	6	4 {}	1	4 {3} 4	4 {4} 4	Самодвойственный, то же, что
$\mathbb {C} ^{2}$	4 [3] 4 [4] 2	4 {3} 4 {4} 2		1	12	4 {}	3	4 {3} 4	2 {8} 4	То же, что
		2 {4} 4 {3} 4		3	12	{}	1	2 {4} 4	4 {4} 4

Регулярные сложные 3-апейротопы

В организме 16 правильных сложных апейротопов. $\mathbb {C} ^{3}$. Коксетер выражает 12 из них через δ ^{п , р}
₃ , где q ограничено так, чтобы удовлетворять q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) . Их также можно разложить на апейротопы продуктов: = . Первый случай – это $\mathbb {R} ^{3}$ кубические соты .

Ранг 4

Космос	Группа	3-апейротоп	Вертекс	Край	Лицо	Клетка	привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	п [4] 2 [3] 2 [4] р	д п , р 3 = п {4} 2 {3} 2 {4} р		п {}	п {4} 2	п {4} 2 {3} 2	п { q } р	То же, что
$\mathbb {R} ^{3}$	2 [4] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,4]	д 2,2 3 = 2 {4} 2 {3} 2 {4} 2		{}	{4}	{4,3}		Кубические соты То же, что или или
$\mathbb {C} ^{3}$	3 [4] 2 [3] 2 [4] 2	д 3,2 3 = 3 {4} 2 {3} 2 {4} 2		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		То же, что или или
		д 2,3 3 = 2 {4} 2 {3} 2 {4} 3		{}	{4}	{4,3}		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	3 [4] 2 [3] 2 [4] 3	д 3,3 3 = 3 {4} 2 {3} 2 {4} 3		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	4 [4] 2 [3] 2 [4] 2	д 4,2 3 = 4 {4} 2 {3} 2 {4} 2		4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		То же, что или или
		д 2,4 3 = 2 {4} 2 {3} 2 {4} 4		{}	{4}	{4,3}		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	4 [4] 2 [3] 2 [4] 4	д 4,4 3 = 4 {4} 2 {3} 2 {4} 4		4 {}	4 {4} 2	4 {4} 2 {3} 2		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 2	д 6,2 3 = 6 {4} 2 {3} 2 {4} 2		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		То же, что или или
		д 2,6 3 = 2 {4} 2 {3} 2 {4} 6		{}	{4}	{4,3}		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 3	д 6,3 3 = 6 {4} 2 {3} 2 {4} 3		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		То же, что
		д 3,6 3 = 3 {4} 2 {3} 2 {4} 6		3 {}	3 {4} 2	3 {4} 2 {3} 2		То же, что
$\mathbb {C} ^{3}$	6 [4] 2 [3] 2 [4] 6	д 6,6 3 = 6 {4} 2 {3} 2 {4} 6		6 {}	6 {4} 2	6 {4} 2 {3} 2		То же, что

Ранг 4, исключительные случаи

Космос	Группа	3-апейротоп	Вертекс	Край	Лицо	Клетка	привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	2 [4] 3 [3] 3 [3] 3	3 {3} 3 {3} 3 {4} 2	1	24 3 {}	27 3 {3} 3	2 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 6	То же, что
		2 {4} 3 {3} 3 {3} 3	2	27 {}	24 2 {4} 3	1 2 {4} 3 {3} 3	2 {12} 3
$\mathbb {C} ^{3}$	2 [3] 2 [4] 3 [3] 3	2 {3} 2 {4} 3 {3} 3	1	27 {}	72 2 {3} 2	8 2 {3} 2 {4} 3	2 {6} 6
		3 {3} 3 {4} 2 {3} 2	8	72 3 {}	27 3 {3} 3	1 3 {3} 3 {4} 2	3 {6} 3	То же, что или

Регулярные сложные 4-апейротопы

В организме 15 правильных сложных апейротопов. $\mathbb {C} ^{4}$. Коксетер выражает 12 из них через δ ^{п , р}
₄ , где q ограничено так, чтобы удовлетворять q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) . Их также можно разложить на апейротопы продуктов: = . Первый случай – это $\mathbb {R} ^{4}$ тессерактические соты . Соты с 16 ячейками и соты с 24 ячейками являются реальными решениями. Последнее полученное решение содержит элементы многогранника Виттинга .

5-й ранг

Космос	Группа	4-апейротоп	Вертекс	Край	Лицо	Клетка	4-сторонний	привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{4}$	п [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] р	д п , р 4 = п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {4} р		п {}	п {4} 2	п {4} 2 {3} 2	п {4} 2 {3} 2 {3} 2	п { q } р	То же, что
$\mathbb {R} ^{4}$	2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2	д 2,2 4 = {4,3,3,3}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{∞}	Тессерактические соты То же, что
$\mathbb {R} ^{4}$	2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 =[3,4,3,3]	{3,3,4,3}	1	12 {}	32 {3}	24 {3,3}	3 {3,3,4}		Настоящие 16-ячеистые соты То же, что
		{3,4,3,3}	3	24 {}	32 {3}	12 {3,4}	1 {3,4,3}		Настоящие соты из 24 ячеек То же, что или
$\mathbb {C} ^{4}$	3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3	3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	1	80 3 {}	270 3 {3} 3	80 3 {3} 3 {3} 3	1 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3	3 {4} 6	$\mathbb {R} ^{8}$ представительство 5 21

Регулярные сложные 5-апейротопы и выше

В организме всего 12 правильных сложных апейротопов. $\mathbb {C} ^{5}$ или выше, выраженный δ ^{п , р}
_n где q ограничено так, чтобы удовлетворять q = 2/(1 – ( p + r )/ pr ) . Их также можно разложить на произведение n апейрогонов: ... = ... . Первый случай - реальный $\mathbb {R} ^{n}$ Гиперкубические соты .

6 место

Космос	Группа	5-апейротопы	Вершины	Край	Лицо	Клетка	4-сторонний	5-гранный	привык к нам апейрогон	Примечания
$\mathbb {C} ^{5}$	п [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] р	д п , р 5 = п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} р		п {}	п {4} 2	п {4} 2 {3} 2	п {4} 2 {3} 2 {3} 2	п {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2	п { q } р	То же, что
$\mathbb {R} ^{5}$	2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2 =[4,3,3,3,4]	д 2,2 5 = {4,3,3,3,4}		{}	{4}	{4,3}	{4,3,3}	{4,3,3,3}	{∞}	5-кубовые соты То же, что

полигон Ван Осса

Красный квадратный многоугольник Ван Осса в плоскости ребра и центра правильного октаэдра.

Многоугольник Ван Осса — это правильный многоугольник на плоскости (вещественная плоскость). $\mathbb {R} ^{2}$, или унитарная плоскость $\mathbb {C} ^{2}$), в котором лежат ребро и центр тяжести правильного многогранника и образованы из элементов многогранника. Не все правильные многогранники имеют многоугольники Ван Осса.

Например, многоугольники Ван Осса настоящего октаэдра — это три квадрата, плоскости которых проходят через его центр. Напротив, куб не имеет многоугольника Ван Осса, потому что плоскость от края до центра пересекает по диагонали две квадратные грани, а два ребра куба, лежащие в плоскости, не образуют многоугольник.

Бесконечные соты также имеют апейрогоны Ван Осса . Например, вещественная квадратная мозаика и треугольная мозаика имеют апейрогоны {∞} ван Осса.

Если он существует, то многоугольник Ван Осса правильного комплексного многогранника вида _p { q } _r { s } _t ... имеет p -рёбра.

Неправильные комплексные многогранники

Произведение сложных многогранников

Пример произведения сложного многогранника

Сложный многоугольник продукта или {}× 5 {} имеет 10 вершин, соединенных 5 2-ребрами и 2 5-ребрами, с реальным представлением в виде трехмерной пятиугольной призмы .

Двойной многоугольник {}+ 5 {} имеет 7 вершин с центрами на краях оригинала, соединенных 10 ребрами. Ее реальное представление — пятиугольная бипирамида .

Некоторые сложные многогранники можно представить в виде декартовых произведений . Эти многогранники-продукты не являются строго правильными, поскольку они будут иметь более одного типа граней, но некоторые из них могут представлять более низкую симметрию правильных форм, если все ортогональные многогранники идентичны. Например, произведение _p {}× _p {} или двух одномерных многогранников совпадает с регулярным _p {4} ₂ или . Более общие продукты, такие как _p {}× _q {}, имеют вещественные представления в виде 4-мерных p - q дуопризм . Двойственный многограннику-продукту можно записать в виде суммы _p {}+ _q {} и иметь действительные представления в виде 4-мерной p - q дуопирамиды . Симметрия _p {}+ _p {} может быть удвоена как правильный комплексный многогранник ₂ {4} _p или .

Аналогично, $\mathbb {C} ^{3}$ Комплексный многогранник можно построить как тройное произведение: _p {}× _p {}× _p {} или то же самое, что и обычный обобщенный куб , _p {4} ₂ {3} ₂ или , а также произведение _p {4} ₂ × _p {} или .

Квазиправильные многоугольники

Квазиправильный усечение многоугольник – это правильного многоугольника. Квазиправильный многоугольник содержит альтернативные ребра правильных многоугольников и . Квазиправильный многоугольник имеет p вершин на p-ребрах правильной формы.

Пример квазиправильных многоугольников

п [ q ] р	2 [4] 2	3 [4] 2	4 [4] 2	5 [4] 2	6 [4] 2	7 [4] 2	8 [4] 2	3 [3] 3	3 [4] 3
Обычный	4 2-кромки	9 трехгранных	16 4-лезвий	25 5-гранных	36 6-гранных	49 8-гранных	64 8-гранных
Квазирегулярный	= 4+4 2-ребра	6 2-кромочные 9 трехгранных	8 2-кромочные 16 4-лезвий	10 2-кромочных 25 5-гранных	12 2-кромочные 36 6-гранных	14 2-кромочные 49 7-гранных	16 2-кромочные 64 8-гранных	=	=
Обычный	4 2-кромки	6 2-кромочные	8 2-кромочные	10 2-кромочных	12 2-кромочные	14 2-кромочные	16 2-кромочные

Квазиправильные апейрогоны

Существует семь квазиправильных комплексных апейрогонов, которые чередуют ребра правильного апейрогона и правильного двойственного ему апейрогона. Расположение вершин этих апейрогонов имеет вещественные представления с правильными и однородными мозаиками евклидовой плоскости. Последний столбец для апейрогона 6{3}6 не только самодвойственный, но и двойственный совпадает сам с собой с перекрывающимися шестиугольными рёбрами, поэтому их квазиправильная форма также имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра, поэтому его нельзя нарисовать двумя чередующимися цветами. как и другие. Симметрию самодуальных семейств можно удвоить, создав таким образом геометрию, идентичную правильной форме: =

п [ q ] р	4 [8] 2	4 [4] 4	6 [6] 2	6 [4] 3	3 [12] 2	3 [6] 3	6 [3] 6
Обычный или п { q } р
Квазирегулярный		=				=	=
Обычный двойной или р { q } p

Квазиправильные многогранники

Пример усечения 3-обобщенного октаэдра, ₂ {3} ₂ {4} ₃ , , до исправленного предела, показывая обведенные зелеными треугольниками грани в начале и синие ₂ {4} ₃ , , фигуры вершин расширяются как новые грани.

Как и реальные многогранники, сложный квазиправильный многогранник можно построить как спрямление (полное усечение ) правильного многогранника. Вершины создаются посередине правильного многогранника, а грани правильного многогранника и его двойника располагаются поочередно по общим ребрам.

Например, p-обобщенный куб, , имеет п ³ вершины, 3 п. ² ребра и 3 p p -обобщенные квадратные грани, а p -обобщенный октаэдр, , имеет 3 p вершины, 3 p ² края и п ³ треугольные лица. Средняя квазиправильная форма p -обобщенный кубооктаэдр, , имеет 3 п ² вершины, 3 п. ³ края, и 3 п + п ³ лица.

Также выпрямление гессенского многогранника. , является , квазиправильная форма, имеющая геометрию правильного комплексного многогранника. .

Квазирегулярные примеры

Обобщенный куб/октаэдры						Гессенский многогранник
	р=2 (реальный)	р=3	р=4	р=5	р=6
Обобщенный кубики (обычный)	Куб , 8 вершин, 12 2-ребер и 6 граней.	, 27 вершин, 27 трёхрёбер и 9 граней, с одной лицо синее и красное	, 64 вершины, 48 4-ребер и 12 граней.	, 125 вершин, 75 5-ребер и 15 граней.	, 216 вершин, 108 6-ребер и 18 граней.	, 27 вершин, 72 6-ребра и 27 граней.
Обобщенный кубооктаэдры (квазирегулярный)	Кубооктаэдр , 12 вершин, 24 2-ребра и 6+8 граней.	, 27 вершин, 81 2-ребро и 9+27 граней, с одной лицо синее	, 48 вершин, 192 2-ребра и 12+64 грани, с одним лицо синее	, 75 вершин, 375 2-ребер и 15+125 граней.	, 108 вершин, 648 2-ребер и 18+216 граней.	= , 72 вершины, 216 3-ребер и 54 грани.
Обобщенный октаэдры (обычный)	Октаэдр , 6 вершин, 12 2-рёбер и 8 {3} граней.	, 9 вершин, 27 2-ребер и 27 {3} граней.	, 12 вершин, 48 2-ребер и 64 {3} грани.	, 15 вершин, 75 2-ребер и 125 {3} граней.	, 18 вершин, 108 2-ребер и 216 {3} граней.	, 27 вершин, 72 6-ребра и 27 граней.

Другие сложные многогранники с унитарными отражениями второго периода.

Другие нерегулярные комплексные многогранники могут быть построены внутри унитарных групп отражений, которые не образуют линейных графов Кокстера. На диаграммах Кокстера с петлями Коксетер отмечает интерьер особого периода, например или символ (1 ₁ 1 1) ³ , и группа [1 1 1] ³ . Эти сложные многогранники систематически не исследовались, за исключением нескольких случаев.

Группа определяется тремя унитарными отражениями, R ₁ , R ₂ , R ₃ , все порядка 2: R ₁ ² = _Р1 ² = Р ₃ ² = (р ₁ р ₂ ) ³ = (р ₂ р ₃ ) ³ = (р ₃ р ₁ ) ³ = (р ₁ р ₂ р ₃ р ₁ ) ^п = 1. Период p можно рассматривать как двойной оборот в реальном $\mathbb {R} ^{4}$.

Как и во всех конструкциях Витхоффа , многогранниках, порожденных отражениями, количество вершин однокольцевого многогранника диаграммы Коксетера равно порядку группы, делённому на порядок подгруппы, из которой удален кольцевой узел. Например, реальный куб имеет диаграмму Кокстера. , с октаэдрической симметрией порядок 48 и диэдральная симметрия подгруппы порядка 6, поэтому количество вершин куба равно 48/6=8. Фасеты создаются путем удаления одного узла, самого дальнего от узла с кольцом, например для куба. Фигуры вершин генерируются путем удаления окольцованного узла и окольцовывания одного или нескольких связанных узлов, и для куба.

Коксетер представляет эти группы следующими символами. Некоторые группы имеют одинаковый порядок, но разную структуру, определяющую одно и то же расположение вершин в сложных многогранниках, но разные ребра и более высокие элементы, например и с р ≠3.

Группы, порожденные унитарными отражениями

Диаграмма Кокстера	Заказ	Символ или позиция в Таблице VII Шепарда и Тодда (1954)
, ( и ), , ...	п п - 1 п !, р ≥ 3	г ( п , п , п ), [ п ], [1 1 1] п , [1 1 ( п −2) п ] 3
,	72·6!, 108·9!	Нас. 33, 34, [1 2 2] 3 , [1 2 3] 3
, ( и ), ( и )	14·4!, 3·6!, 64·5!	Нас. 24, 27, 29

Коксетер называет некоторые из этих сложных многогранников почти правильными, поскольку они имеют правильные грани и фигуры вершин. Первый представляет собой форму более низкой симметрии обобщенного кросс-многогранника в $\mathbb {C} ^{3}$. Второй — дробный обобщенный куб, сводящий p -ребра в отдельные вершины, оставляя обычные 2-ребра. Три из них связаны с конечным правильным косым многогранником в $\mathbb {R} ^{4}$.

Некоторые почти правильные комплексные многогранники

Космос	Группа	Заказ	Коксетер символы	Вершины	Края	Лица	Вертекс фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 п ] 3 р =2,3,4...	6 р. 2	(1 1 1 1 п ) 3	33р	33р 2	{3}	{2 п }	Символ пастуха (1 1; 1 1 ) п то же, что β п 3 =
			(1 1 1 1 п ) 3	п 2		{3}	{6}	Символ пастуха (1 1 1; 1) п 1/ шт . п 3
$\mathbb {R} ^{3}$	[1 1 1 2 ] 3	24	(1 1 1 1 2 ) 3	6	12	8 {3}	{4}	То же, что β 2 3 = = настоящий октаэдр
			(1 1 1 1 2 ) 3	4	6	4 {3}	{3}	1/2 стакана 2 3 = = α 3 = реальный тетраэдр
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1] 3	54	(1 1 1 1 ) 3	9	27	{3}	{6}	Символ пастуха (1 1; 1 1 ) 3 то же, что β 3 3 =
			(1 1 1 1) 3	9	27	{3}	{6}	Символ пастуха (1 1 1; 1) 3 1/3 стакана 3 3 = б 3 3
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 4 ] 3	96	(1 1 1 1 4 ) 3	12	48	{3}	{8}	Символ пастуха (1 1; 1 1 ) 4 то же, что β 4 3 =
			(1 1 1 1 4 ) 3	16		{3}	{6}	Символ пастуха (1 1 1; 1) 4 1/4 стакана 4 3
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 5 ] 3	150	(1 1 1 1 5 ) 3	15	75	{3}	{10}	Символ пастуха (1 1; 1 1 ) 5 то же, что β 5 3 =
			(1 1 1 1 5 ) 3	25		{3}	{6}	Символ пастуха (1 1 1; 1) 5 1/5 ц 5 3
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 6 ] 3	216	(1 1 1 1 6 ) 3	18	216	{3}	{12}	Символ пастуха (1 1; 1 1 ) 6 то же, что β 6 3 =
			(1 1 1 1 6 ) 3	36		{3}	{6}	Символ пастуха (1 1 1; 1) 6 1/6 ц 6 3
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 4 ] 4	336	(1 1 1 1 4 ) 4	42	168	112 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {3,8|,4} = {3,8} 8
			(1 1 1 1 4 ) 4	56		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 5 ] 4	2160	(1 1 1 1 5 ) 4	216	1080	720 {3}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {3,10|,4} = {3,10} 8
			(1 1 1 1 5 ) 4	360		{3}	{6}
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 1 4 ] 5		(1 1 1 1 4 ) 5	270	1080	720 {3}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {3,8|,5} = {3,8} 10
			(1 1 1 1 4 ) 5	360		{3}	{6}

Коксетер определяет другие группы с антиунитарными конструкциями, например эти три. Первый был обнаружен и нарисован Питером Макмалленом в 1966 году.

Более почти правильные комплексные многогранники

Космос	Группа	Заказ	Коксетер символы	Вершины	Края	Лица	Вертекс фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 1 4 1 4 ] (3)	336	(1 1 1 4 1 4 ) (3)	56	168	84 {4}	{6}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {4,6|,3} = {4,6} 6
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 5 1 4 1 4 ] (3)	2160	(1 1 5 1 4 1 4 ) (3)	216	1080	540 {4}	{10}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {4,10|,3} = {4,10} 6
$\mathbb {C} ^{3}$	[1 4 1 5 1 5 ] (3)		(1 1 4 1 5 1 5 ) (3)	270	1080	432 {5}	{8}	$\mathbb {R} ^{4}$ представление {5,8|,3} = {5,8} 6

Некоторые сложные 4-многогранники

Космос	Группа	Заказ	Коксетер символы	Вершины	Другой элементы	Клетки	Вертекс фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2 п ] 3 р =2,3,4...	24 р. 3	(1 1 2 2 п ) 3	4 р.				Шепард (2 2 1; 1) п то же, что β п 4 =
			(1 1 1 2 п ) 3	п 3				Шепард (2 1; 1 1 ) п 1/ шт . п 4
$\mathbb {R} ^{4}$	[1 1 2 2 ] 3 =[3 1,1,1 ]	192	(1 1 2 2 2 ) 3	8	24 края 32 лица	16		б 2 4 = , настоящий 16-клеточный
			(1 1 1 2 2 ) 3					1/2 стакана 2 4 = = б 2 4 , настоящий 16-клеточный
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2] 3	648	(1 1 2 2 ) 3	12				Шепард (2 2 1; 1) 3 то же, что β 3 4 =
			(1 1 1 2 3 ) 3	27				Шепард (2 1; 1 1 ) 3 1/3 стакана 3 4
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2 4 ] 3	1536	(1 1 2 2 4 ) 3	16				Шепард (2 2 1; 1) 4 то же, что β 4 4 =
			(1 1 1 2 4 ) 3	64				Шепард (2 1; 1 1 ) 4 1/4 стакана 4 4
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 4 1 2] 3	7680	(2 2 1 4 1) 3	80				Шепард (2 2 1; 1) 4
			(1 1 4 1 2) 3	160				Шепард (2 1; 1 1 ) 4
			(1 1 1 4 2) 3	320				Шепард (2 1 1 ; 1) 4
$\mathbb {C} ^{4}$	[1 1 2] 4		(1 1 2 2 ) 4	80	640 ребер 1280 треугольников	640
			(1 1 1 2) 4	320

Некоторые сложные 5-многогранники

Космос	Группа	Заказ	Коксетер символы	Вершины	Края	Фасеты	Вертекс фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{5}$	[1 1 3 п ] 3 р =2,3,4...	120 р. 4	(1 1 3 3 п ) 3	5 р.				Шепард (3 3 1; 1) п то же, что β п 5 =
			(1 1 1 3 п ) 3	п 4				Шепард (3 1; 1 1 ) п 1/ шт . п 5
$\mathbb {C} ^{5}$	[2 2 1] 3	51840	(2 1 2 2 ) 3	80				Шепард (2 1; 2 2 ) 3
			(2 1 1 2) 3	432				Шепард (2 1 1 ; 2) 3

Некоторые сложные 6-многогранники

Космос	Группа	Заказ	Коксетер символы	Вершины	Края	Фасеты	Вертекс фигура	Примечания
$\mathbb {C} ^{6}$	[1 1 4 п ] 3 р =2,3,4...	720 р. 5	(1 1 4 4 п ) 3	6 р.				Шепард (4 4 1; 1) п то же, что β п 6 =
			(1 1 1 4 п ) 3	п 5				Шепард (4 1; 1 1 ) п 1/ шт . п 6
$\mathbb {C} ^{6}$	[1 2 3] 3	39191040	(2 1 3 3 ) 3	756				Шепард (2 1; 3 3 ) 3
			(2 2 1 3) 3	4032				Шепард (2 2 1; 3) 3
			(2 1 1 3) 3	54432				Шепард (2 1 1 ; 3) 3

Визуализации

• 
  (1 1 1 ₁ ⁴ ) ⁴ , имеет 42 вершины, 168 ребер и 112 треугольных граней, видимых в этой 14-угольной проекции.
• 
  (1 ⁴ 1 ⁴ 1 ₁ ) ⁽³⁾ , имеет 56 вершин, 168 ребер и 84 квадратных грани, как видно в этой 14-угольной проекции.
• 
  (1 1 2 ₂ ) ⁴ , имеет 80 вершин, 640 ребер, 1280 треугольных граней и 640 тетраэдрических ячеек, видимых в этой 20-угольной проекции.

См. также

• Кватернионный многогранник

Ссылки

• Коксетер, HSM и Мозер, WOJ; Генераторы и отношения для дискретных групп (1965), особенно стр. 67–80.
• Коксетер, HSM (1991), Правильные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39490-2
• Коксетер, HSM и Шепард, GC; Портреты семейства сложных многогранников, Леонардо Том 25, № 3/4 (1992), стр. 239–244,
• Шепард, GC; Правильные комплексные многогранники , Учеб. Лондонская математика. Соц. Серия 3, Том 2 (1952), стр. 82–97.
• Г.К. Шепард , Дж.А. Тодд, Конечные унитарные группы отражений , Канадский математический журнал. 6(1954), 274-304, два : 10.4153/CJM-1954-028-3
• Густав И. Лерер и Дональд Э. Тейлор, Группы унитарного отражения , Cambridge University Press, 2009 г.

Дальнейшее чтение

• Ф. Артур Шерк, Питер МакМаллен, Энтони К. Томпсон и Азия Ивич Вайс, редакторы: Калейдоскопы - Избранные сочинения HSM Coxeter. , Статья 25, Конечные группы, порожденные унитарными отражениями , стр. 415-425, Джон Уайли, 1995, ISBN   0-471-01003-0
• МакМаллен, Питер ; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  0-521-81496-0 Глава 9. Унитарные группы и эрмитовы формы , стр. 289–298.