Комплексная группа отражений
В математике комплексная группа отражений — это конечная группа, действующая в конечномерном комплексном векторном пространстве , которое порождается комплексными отражениями : нетривиальными элементами, которые поточечно фиксируют комплексную гиперплоскость .
Комплексные группы отражений возникают при изучении теории инвариантов полиномов колец . В середине 20 века они были полностью засекречены в работах Шепарда и Тодда. Особые случаи включают симметрическую группу перестановок, группы диэдра и, в более общем смысле, все конечные вещественные группы отражений ( группы Кокстера или группы Вейля , включая группы симметрии правильных многогранников ).
Определение
[ редактировать ](Комплексное) отражение r (иногда также называемое псевдоотражением или унитарным отражением ) конечномерного комплексного векторного пространства V — это элемент конечного порядка, который поточечно фиксирует комплексную гиперплоскость, т. е. фиксированное пространство имеет коразмерность 1.
( конечная ) комплексная группа отражений является конечной подгруппой который создается отражениями.
Характеристики
[ редактировать ]Любая реальная группа отражений становится комплексной группой отражений, если мы расширим скаляры от Р до С. от В частности, все конечные группы Кокстера или группы Вейля дают примеры комплексных групп отражений.
Комплексная группа отражений W неприводима , если единственным W -инвариантным собственным подпространством соответствующего векторного пространства является начало координат. размерность векторного пространства называется рангом W. В этом случае
Число Кокстера неприводимой комплексной группы отражений W ранга определяется как где обозначает набор отражений и обозначает множество отражающих гиперплоскостей.В случае вещественных групп отражений это определение сводится к обычному определению числа Кокстера для конечных систем Кокстера.
Классификация
[ редактировать ]Любая комплексная группа отражений является произведением неприводимых комплексных групп отражений, действующих на сумму соответствующих векторных пространств. [1] Поэтому достаточно классифицировать неприводимые комплексные группы отражений.
Неприводимые комплексные группы отражений были классифицированы Г. К. Шепардом и Дж. А. Тоддом ( 1954 ). Они доказали, что каждая неприводимая принадлежит бесконечному семейству G ( m , p , n ), зависящему от трех целочисленных положительных параметров (с p, делящим m ), или является одним из 34 исключительных случаев, которые они пронумеровали от 4 до 37. [2] Группа G ( m , 1, n ) — обобщенная симметрическая группа ; эквивалентно, это сплетение симметрической группы Sym( n ) с циклической группой порядка m . В качестве группы матриц ее элементы могут быть реализованы как мономиальные матрицы, ненулевые элементы которых являются корнями m -й степени из единицы .
Группа G ( m , p , n ) является подгруппой индекса p группы G ( m , 1, n ). G ( m , p , n ) имеет порядок m н н !/ п . В качестве матриц его можно реализовать как подмножество, в котором произведение ненулевых элементов представляет собой корень ( m / p )-й степени из единицы (а не просто корень m -й степени). Алгебраически G ( m , p , n ) является полупрямым произведением абелевой группы порядка m. н / p симметричной группой Sym( n ); элементы абелевой группы имеют вид ( θ 1 , я aа2 , ..., я н ), где θ — примитивный корень m-й степени из единицы и Σ a i ≡ 0 mod p , а Sym( n ) действует перестановками координат. [3]
Группа G ( m , p , n ) действует неприводимо на C н за исключением случаев m = 1, n > 1 (симметрическая группа) и G (2, 2, 2) ( четверка Клейна ). В этих случаях С н распадается как сумма неприводимых представлений размерностей 1 и n - 1.
Особые случаи G ( m , p , n )
[ редактировать ]Когда m = 2, представление, описанное в предыдущем разделе, состоит из матриц с вещественными элементами, и, следовательно, в этих случаях G ( m , p , n ) является конечной группой Кокстера. В частности: [4]
- G (1, 1, n ) имеет тип A n −1 = [3,3,...,3,3] = ... ; симметрическая группа порядка n !
- G (2, 1, n ) имеет тип B n = [3,3,...,3,4] = ... ; гипероктаэдрическая группа второго порядка н н !
- G (2, 2, n ) имеет тип D n = [3,3,...,3 1,1 ] = ... , заказ 2 н н !/2.
Кроме того, когда m = p и n = 2, группа G ( p , p , 2) является группой диэдра порядка 2 p ; как группа Кокстера, введите I 2 ( p ) = [ p ] = (и группа Вейля G 2 при p = 6).
Другие особые случаи и совпадения
[ редактировать ]Единственные случаи, когда две группы G ( m , p , n ) изоморфны как комплексные группы отражений. [ нужны разъяснения ] заключаются в том, что G ( ma , pa , 1) изоморфна G ( mb , pb , 1) для любых натуральных чисел a , b (и оба изоморфны циклической группе порядка m / p ). Однако бывают и другие случаи, когда две такие группы изоморфны как абстрактные группы.
Группы G (3, 3, 2) и G (1, 1, 3) изоморфны симметрической группе Sym(3). Группы G (2, 2, 3) и G (1, 1, 4) изоморфны симметрической группе Sym(4). И G (2, 1, 2), и G (4, 4, 2) изоморфны группе диэдра порядка 8. А группы G (2 p , p , 1) циклические порядка 2, как и G ( 1, 1, 2).
Список неприводимых комплексных групп отражений
[ редактировать ]В первых трёх строках этого списка есть несколько дубликатов; подробности см. в предыдущем разделе.
- ST — число Шепарда–Тодда группы отражений.
- Ранг — это размерность комплексного векторного пространства, в котором действует группа.
- Структура описывает структуру группы. Символ * обозначает центральный продукт двух групп. Для ранга 2 частное по (циклическому) центру представляет собой группу вращений тетраэдра, октаэдра или икосаэдра ( T = Alt(4), O = Sym(4), I = Alt(5) порядка 12. , 24, 60), как указано в табл. Для обозначения 2 1+4 , см. дополнительную специальную группу .
- Порядок – это количество элементов группы.
- Reflections описывает количество отражений: 2 6 4 12 означает, что имеется 6 отражений 2-го порядка и 12 4-го порядка.
- Степени дают степени фундаментальных инвариантов кольца полиномиальных инвариантов. Например, инварианты группы номер 4 образуют кольцо многочленов с двумя образующими степеней 4 и 6.
СТ | Классифицировать | Структура и названия | Имена Кокстера | Заказ | Размышления | Степени | Состепени |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | п -1 | Симметричная группа G (1,1, n ) = Sym( n ) | н ! | 2 п ( п - 1)/2 | 2, 3, ..., н | 0,1,..., п - 2 | |
2 | н | грамм ( м , п , п ) м > 1, п > 1, п | m ( G (2,2,2) приводима) | м н н !/ п | 2 мн ( п -1)/2 , д п φ( d ) ( д | м / п , д > 1) | м ,2 м ,..,( п - 1) м ; мин / п | 0, m ,..., ( n − 1) m, если p < m ; 0, м ,...,( п - 2) м , ( п - 1) м - п, если р = м | |
2 | 2 | G ( p ,1,2) p > 1, | p[4]2 или | 2 р 2 | 2 п , д 2φ( д ) ( д | п , д > 1) | п ; 2р | 0, п |
2 | 2 | Группа диэдра G ( p , p ,2) p > 2 | [ п ] или | 2 р | 2 п | 2, с | 0, п-2 |
3 | 1 | Циклическая группа G ( p ,1,1) = Z p | п [] или | п | д φ( д ) ( д | п , д > 1) | п | 0 |
4 | 2 | W( ) , Z2 L2 . Т | 3[3]3 или , ⟨2,3,3⟩ | 24 | 3 8 | 4,6 | 0,2 |
5 | 2 | З 6 . Т | 3[4]3 или | 72 | 3 16 | 6,12 | 0,6 |
6 | 2 | З 4 . Т | 3[6]2 или | 48 | 2 6 3 8 | 4,12 | 0,8 |
7 | 2 | З 12 . Т | ‹3,3,3› 2 или ⟨2,3,3⟩ 6 | 144 | 2 6 3 16 | 12,12 | 0,12 |
8 | 2 | З 4 . О | 4[3]4 или | 96 | 2 6 4 12 | 8,12 | 0,4 |
9 | 2 | З 8 . О | 4[6]2 или или ⟨2,3,4⟩ 4 | 192 | 2 18 4 12 | 8,24 | 0,16 |
10 | 2 | З 12 . О | 4[4]3 или | 288 | 2 6 3 16 4 12 | 12,24 | 0,12 |
11 | 2 | С 24 . О | ⟨2,3,4⟩ 12 | 576 | 2 18 3 16 4 12 | 24,24 | 0,24 |
12 | 2 | Z 2 . O = GL 2 ( F 3 ) | ⟨2,3,4⟩ | 48 | 2 12 | 6,8 | 0,10 |
13 | 2 | З 4 . О | ⟨2,3,4⟩ 2 | 96 | 2 18 | 8,12 | 0,16 |
14 | 2 | З 6 . О | 3[8]2 или | 144 | 2 12 3 16 | 6,24 | 0,18 |
15 | 2 | З 12 . О | ⟨2,3,4⟩ 6 | 288 | 2 18 3 16 | 12,24 | 0,24 |
16 | 2 | З 10 . Я , ⟨2,3,5⟩ × Z 5 | 5[3]5 или | 600 | 5 48 | 20,30 | 0,10 |
17 | 2 | З 20 . я | 5[6]2 или | 1200 | 2 30 5 48 | 20,60 | 0,40 |
18 | 2 | З 30 . я | 5[4]3 или | 1800 | 3 40 5 48 | 30,60 | 0,30 |
19 | 2 | З 60 . я | ⟨2,3,5⟩ 30 | 3600 | 2 30 3 40 5 48 | 60,60 | 0,60 |
20 | 2 | З 6 . я | 3[5]3 или | 360 | 3 40 | 12,30 | 0,18 |
21 | 2 | З 12 . я | 3[10]2 или | 720 | 2 30 3 40 | 12,60 | 0,48 |
22 | 2 | З 4 . я | ⟨2,3,5⟩ 2 | 240 | 2 30 | 12,20 | 0,28 |
23 | 3 | W(H 3 ) = Z 2 × PSL 2 (5) | [5,3], | 120 | 2 15 | 2,6,10 | 0,4,8 |
24 | 3 | W(J 3 (4)) = Z 2 × PSL 2 (7), Клейн | [1 1 1 4 ] 4 , | 336 | 2 21 | 4,6,14 | 0,8,10 |
25 | 3 | W(L 3 ) = W(P 3 ) = 3 1+2 .SL 2 (3) Гессен | 3[3]3[3]3, | 648 | 3 24 | 6,9,12 | 0,3,6 |
26 | 3 | W(M 3 ) = Z 2 ×3 1+2 .SL 2 (3) Гессен | 2[4]3[3]3, | 1296 | 2 9 3 24 | 6,12,18 | 0,6,12 |
27 | 3 | W(J 3 (5)) = Z 2 ×( Z 3 .Alt(6)), Валентина | [1 1 1 5 ] 4 , [1 1 1 4 ] 5 , | 2160 | 2 45 | 6,12,30 | 0,18,24 |
28 | 4 | W(F 4 ) = (SL 2 (3)* SL 2 (3)).( Z 2 × Z 2 ) | [3,4,3], | 1152 | 2 12+12 | 2,6,8,12 | 0,4,6,10 |
29 | 4 | W(N 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Сим(5) | [1 1 2] 4 , | 7680 | 2 40 | 4,8,12,20 | 0,8,12,16 |
30 | 4 | W(H 4 ) = (SL 2 (5)*SL 2 (5)). З 2 | [5,3,3], | 14400 | 2 60 | 2,12,20,30 | 0,10,18,28 |
31 | 4 | W(EN 4 ) = W(O 4 ) = ( Z 4 *2 1 + 4 ).Sp 4 (2) | 46080 | 2 60 | 8,12,20,24 | 0,12,16,28 | |
32 | 4 | W(L 4 ) = Z 3 × Sp 4 (3) | 3[3]3[3]3[3]3, | 155520 | 3 80 | 12,18,24,30 | 0,6,12,18 |
33 | 5 | W(K 5 ) = Z 2 × Ω 5 (3) = Z 2 × PSp 4 (3) = Z 2 × PSU 4 (2) | [1 2 2] 3 , | 51840 | 2 45 | 4,6,10,12,18 | 0,6,8,12,14 |
34 | 6 | W K6 ) Z3.Ом = ( − 6 (3). Z 2 , группа Митчелла | [1 2 3] 3 , | 39191040 | 2 126 | 6,12,18,24,30,42 | 0,12,18,24,30,36 |
35 | 6 | W(E 6 ) = SO 5 (3) = О − 6 (2) = ПСп 4 (3). З 2 = БП 4 (2). З 2 | [3 2,2,1 ], | 51840 | 2 36 | 2,5,6,8,9,12 | 0,3,4,6,7,10 |
36 | 7 | W(E 7 ) = Z 2 ×Sp 6 (2) | [3 3,2,1 ], | 2903040 | 2 63 | 2,6,8,10,12,14,18 | 0,4,6,8,10,12,16 |
37 | 8 | W(E 8 )= Z 2 .O + 8 (2) | [3 4,2,1 ], | 696729600 | 2 120 | 2,8,12,14,18,20,24,30 | 0,6,10,12,16,18,22,28 |
Дополнительную информацию, включая диаграммы, презентации и костепени сложных групп отражений, см. в таблицах (Мишель Бруэ, Гюнтер Малль и Рафаэль Рукье, 1998 ).
Степени
[ редактировать ]Шепард и Тодд доказали, что конечная группа, действующая в комплексном векторном пространстве, является комплексной группой отражений тогда и только тогда, когда ее кольцо инвариантов является кольцом многочленов ( теорема Шевалле-Шепарда-Тодда ). Для будучи рангом группы отражения, степени образующих кольца инвариантов называются степенями W и перечислены в столбце выше, озаглавленном «степени». Они также показали, что многие другие инварианты группы определяются степенями следующим образом:
- Центр неприводимой группы отражений является циклическим, порядка наибольшего общего делителя степеней.
- Порядок комплексной группы отражений является произведением ее степеней.
- Число отражений равно сумме степеней минус ранг.
- Неприводимая комплексная группа отражений происходит из вещественной группы отражений тогда и только тогда, когда она имеет инвариант степени 2.
- Степени d i удовлетворяют формуле
Состепени
[ редактировать ]Для будучи рангом группы отражения, костепени W может быть определен как
- Для реальной группы отражений костепенью являются степени минус 2.
- Число гиперплоскостей отражения равно сумме костепеней плюс ранг.
Хорошо сгенерированные сложные группы отражений
[ редактировать ]По определению, каждая комплексная группа отражений порождается своими отражениями. Однако набор отражений не является минимальным порождающим набором, и каждая неприводимая комплексная группа отражений ранга n имеет минимальный порождающий набор, состоящий либо из n , либо из n + 1 отражений. В первом случае говорят, что группа хорошо сгенерирована .
Свойство корректности эквивалентно условию для всех . Так, например, из классификации можно прочитать, что группа G ( m , p , n ) корректно порождена тогда и только тогда, когда p = 1 или m .
Для неприводимых хорошо порожденных комплексных групп отражений число Кокстера h, определенное выше, равно наибольшей степени: . Приводимая комплексная группа отражений называется корректно порожденной, если она является произведением неприводимых корректно порожденных комплексных групп отражений. Любая конечная вещественная группа отражений корректно порождена.
Группы пастухов
[ редактировать ]Хорошо сгенерированные комплексные группы отражений включают подмножество, называемое группами Шепарда . Эти группы являются группами симметрии правильных комплексных многогранников . В частности, к ним относятся группы симметрии правильных вещественных многогранников. Группы Шепарда можно охарактеризовать как группы комплексного отражения, допускающие представление «по типу Кокстера» с помощью линейной диаграммы. То есть с группой Шепарда связаны положительные целые числа p 1 , ..., p n и q 1 , ..., q n − 1 такие, что существует порождающий набор s 1 , ..., s n, удовлетворяющий соотношениям
- для i = 1,..., n ,
- если ,
и
- где продукты с обеих сторон имеют q i членов, для i = 1, ..., n - 1 .
Эта информация иногда собирается в символе типа Кокстера p 1 [ q 1 ] p 2 [ q 2 ] ... [ q n − 1 ] p n , как показано в таблице выше.
Среди групп бесконечного семейства G ( m , p , n ) группами Шепарда являются те, в которых p = 1 . Также существует 18 исключительных групп Шепардов, из которых три настоящие. [5] [6]
Матрицы Картана
[ редактировать ]Расширенная матрица Картана определяет унитарную группу. Группы Шепарда ранга n имеют n образующих.Обычные матрицы Картана имеют диагональные элементы 2, а унитарные отражения такого ограничения не имеют. [7] Например, группа ранга 1 порядка p (с символами p[], ) определяется матрицей × 1 1 .
Данный: .
Группа | Картан | Группа | Картан | ||
---|---|---|---|---|---|
2[] | 3[] | ||||
4[] | 5[] |
Группа | Картан | Группа | Картан | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Г 4 | 3[3]3 | Г 5 | 3[4]3 | ||||
Г 6 | 2[6]3 | Г 8 | 4[3]4 | ||||
GG9 | 2[6]4 | Г 10 | 3[4]4 | ||||
Г 14 | 3[8]2 | Г 16 | 5[3]5 | ||||
Г 17 | 2[6]5 | Г 18 | 3[4]5 | ||||
GG20 | 3[5]3 | Г 21 | 2[10]3 |
Группа | Картан | Группа | Картан | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Г 22 | <5,3,2> 2 | Г 23 | [5,3] | ||||
Г 24 | [1 1 1 4 ] 4 | Г 25 | 3[3]3[3]3 | ||||
Г 26 | 3[3]3[4]2 | Г 27 | [1 1 1 5 ] 4 |
Группа | Картан | Группа | Картан | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Г 28 | [3,4,3] | Г 29 | [1 1 2] 4 | ||||
Г 30 | [5,3,3] | Г 32 | 3[3]3[3]3 |
Группа | Картан | Группа | Картан | ||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Г 31 | О 4 | Г 33 | [1 2 2] 3 |
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Лерер и Тейлор, Теорема 1.27.
- ^ Лерер и Тейлор, с. 271.
- ^ Лерер и Тейлор, Раздел 2.2.
- ^ Лерер и Тейлор, Пример 2.11.
- ^ Питер Орлик , Виктор Райнер, Энн В. Шеплер. Знаковое представление групп Шепарда . Математические Аннален . Март 2002 г., том 322, выпуск 3, стр. 477–492. DOI:10.1007/s002080200001 [1]
- ^ Коксетер, HSM ; Регулярные комплексные многогранники , издательство Кембриджского университета, 1974.
- ^ Унитарные группы отражения, стр. 91-93.
- Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Рукье, Рафаэль (1995), «О группах комплексных отражений и связанных с ними группах кос» (PDF) , Представления групп (Banff, AB, 1994) , CMS Conf. Учеб., вып. 16, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 1–13, MR 1357192.
- Бруэ, Мишель ; Малле, Гюнтер; Рукье, Рафаэль (1998), «Комплексные группы отражений, группы кос, алгебры Гекке», Журнал чистой и прикладной математики , 1998 (500): 127–190, CiteSeerX 10.1.1.128.2907 , doi : 10.1515/crll.1998.064 , ISSN 0075-4102 , МР 1637497
- Делинь, Пьер (1972), «Построения групп обобщенных кос», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , ISSN 0020-9910 , MR 0422673 , S2CID 123680847
- Хиллер, Говард Геометрия групп Кокстера. Исследовательские заметки по математике, 54. Питман (Программа расширенных публикаций), Бостон, Массачусетс – Лондон, 1982. iv+213 стр. ISBN 0-273-08517-4 *
- Лерер, Густав И.; Тейлор, Дональд Э. (2009), Унитарные группы отражения , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 20, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-74989-3 , МР 2542964
- Шепард, GC; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений» , Canadian Journal of Mathematics , 6 , Канадское математическое общество: 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3 , ISSN 0008-414X , MR 0059914 , S2CID 3342221
- Коксетер , Конечные группы, порожденные унитарными отражениями , 1966, 4. Графические обозначения , Таблица n-мерных групп, порожденных n унитарными отражениями. стр. 422–423