Jump to content

Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда

В математике теорема Шевалле -Шепарда-Тодда в теории инвариантов конечных групп утверждает, что кольцо инвариантов конечной группы, действующей в комплексном векторном пространстве, является кольцом полиномов тогда и только тогда, когда группа порождается псевдоотражениями . В случае подгрупп комплексной полной линейной группы теорема была впервые доказана Г. К. Шепардом и Дж. А. Тоддом ( 1954 ), которые дали доказательство для каждого конкретного случая. Клод Шевалле ( 1955 ) вскоре после этого дал единообразное доказательство. распространил его на конечные линейные группы над произвольным полем в немодулярном случае Жан-Пьер Серр .

Формулировка теоремы

[ редактировать ]

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем K и G — конечная подгруппа общей линейной группы GL ( V ). Элемент s из GL ( V ) называется псевдоотражением , если он фиксирует подпространство коразмерности 1 в V и не является тождественным преобразованием I , или, что то же самое, если ядро ​​Ker ( s I ) имеет коразмерность один в V . что порядок G относительно прост с характеристикой K Предположим , (так называемый немодулярный случай). Тогда следующие свойства эквивалентны: [ 1 ]

В случае, когда поле K является полем C комплексных чисел , первое условие обычно формулируется как « G группа комплексных отражений ». Шепард и Тодд разработали полную классификацию таких групп.

  • Пусть V одномерно. Тогда любая конечная группа, точно действующая на V, является подгруппой мультипликативной группы поля K и, следовательно, циклической группой . Отсюда следует, что G состоит из корней единицы порядка, делящих n , где n — его порядок, поэтому G порождается псевдоотражениями. В этом случае K [ V ] = K [ x ] — кольцо полиномов от одной переменной, а алгебра инвариантов G — это подалгебра, порожденная x н , следовательно, это полиномиальная алгебра.
  • Let V = K н — стандартное n- мерное векторное пространство, а G симметрическая группа Sn , действующая перестановками элементов стандартного базиса. порождается транспозициями ( ij ), которые действуют посредством отражений на V. Симметричная группа С другой стороны, по основной теореме о симметрических функциях алгебра инвариантов — это алгебра полиномов, порождённая элементарными функциями e 1 , ... en . симметрическими
  • Let V = K 2 и G — циклическая группа порядка 2, действующая посредством ± I . В этом случае G не порождается псевдоотражениями, поскольку неединичный элемент s группы G действует без неподвижных точек, так что dim Ker ( s I ) = 0. С другой стороны, алгебра инвариантов является подалгеброй K [ V ] = K [ x , y ] порожденный однородными элементами x 2 , ху и у 2 степени 2. Эта подалгебра не является полиномиальной алгеброй в силу соотношения x 2 и 2 = ( ху ) 2 .

Обобщения

[ редактировать ]

Броер (2007) расширил теорему Шевалле – Шепарда – Тодда на положительную характеристику.

Было проведено много работ по вопросу о том, когда редуктивная алгебраическая группа, действующая на вектор пространство имеет полиномиальное кольцо инвариантов. В случае, когда алгебраическая группа проста, все случаи, когда инвариантное кольцо полиномиально, были классифицированы Шварцем (1978).

В общем, кольцо инвариантов конечной группы, действующей линейно в комплексном векторном пространстве, является кольцом Коэна-Маколея , поэтому оно представляет собой модуль свободного конечного ранга над полиномиальным подкольцом.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ См., например: Бурбаки, Ли , гл. V, §5, n°5, теорема 4 об эквивалентности (А), (В) и (С); стр. 26 из [1] об эквивалентности (A) и (B ); страницы 6–18 из [2]. Архивировано 29 июля 2014 г. в Wayback Machine на предмет эквивалентности (C) и (C ) [3] для доказательства (B )⇒(A).
  • Бурбаки, Николя, Элементы математики: группы и алгебры Ли (английский перевод: Бурбаки, Николя, Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли )
  • Броер, Абрахам (2007), О теореме Шевалле-Шепарда-Тодда в положительной характеристике , [], arXiv : 0709.0715 , Bibcode : 2007arXiv0709.0715B
  • Шевалле, Клод (1955), «Инварианты конечных групп, порожденные отражениями», Amer. Дж. Математика. , 77 (4): 778–782, doi : 10.2307/2372597 , JSTOR   2372597 , S2CID   14952813
  • Нойзель, Мара Д.; Смит, Ларри (2002), Инвариантная теория конечных групп , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-2916-5
  • Шепард, GC; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений», кан. Дж. Математика. , 6 : 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3
  • Шварц, Г. (1978), "Представления простых групп Ли с регулярными кольцами инвариантов", Invent. Математика. , 49 (2): 167–191, Бибкод : 1978InMat..49..167S , doi : 10.1007/BF01403085
  • Смит, Ларри (1997), «Полиномиальные инварианты конечных групп. Обзор последних разработок» , Bull. амер. Математика. Соц. , 34 (3): 211–250, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00724-6 , МР   1433171
  • Спрингер, Т. А. (1977), Теория инвариантов , Спрингер, ISBN  978-0-387-08242-4
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 5e075af416f3cb0251413e98d10abfe5__1699426800
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/5e/e5/5e075af416f3cb0251413e98d10abfe5.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Chevalley–Shephard–Todd theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)