Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда

В математике теорема Шевалле -Шепарда-Тодда в теории инвариантов конечных групп утверждает, что кольцо инвариантов конечной группы, действующей в комплексном векторном пространстве, является кольцом полиномов тогда и только тогда, когда группа порождается псевдоотражениями . В случае подгрупп комплексной полной линейной группы теорема была впервые доказана Г. К. Шепардом и Дж. А. Тоддом ( 1954 ), которые дали доказательство для каждого конкретного случая. Клод Шевалле ( 1955 ) вскоре после этого дал единообразное доказательство. распространил его на конечные линейные группы над произвольным полем в немодулярном случае Жан-Пьер Серр .

Формулировка теоремы

Пусть V — конечномерное векторное пространство над полем K и G — конечная подгруппа общей линейной группы GL ( V ). Элемент s из GL ( V ) называется псевдоотражением , если он фиксирует подпространство коразмерности 1 в V и не является тождественным преобразованием I , или, что то же самое, если ядро Ker ( s − I ) имеет коразмерность один в V . что порядок G относительно прост с характеристикой K Предположим , (так называемый немодулярный случай). Тогда следующие свойства эквивалентны: ^{[ 1 ]}

(А) Группа G порождается псевдоотражениями.
(Б) Алгебра инвариантов K [ V ] ^Г является (свободной) полиномиальной алгеброй .
(B ′ ) Алгебра инвариантов K [ V ] ^Г это обычное кольцо .
(C) Алгебра K [ V ] является свободным модулем над K [ V ] ^Г.
(C ′ ) Алгебра K [ V ] является проективным модулем над K [ V ] ^Г.

В случае, когда поле K является полем C комплексных чисел , первое условие обычно формулируется как « G — группа комплексных отражений ». Шепард и Тодд разработали полную классификацию таких групп.

Примеры

Пусть V одномерно. Тогда любая конечная группа, точно действующая на V, является подгруппой мультипликативной группы поля K и, следовательно, циклической группой . Отсюда следует, что G состоит из корней единицы порядка, делящих n , где n — его порядок, поэтому G порождается псевдоотражениями. В этом случае K [ V ] = K [ x ] — кольцо полиномов от одной переменной, а алгебра инвариантов G — это подалгебра, порожденная x ^н, следовательно, это полиномиальная алгебра.
Let V = K ^н — стандартное n- мерное векторное пространство, а G — симметрическая группа Sn _, действующая перестановками элементов стандартного базиса. порождается транспозициями ( ij ), которые действуют посредством отражений на V. Симметричная группа С другой стороны, по основной теореме о симметрических функциях алгебра инвариантов — это алгебра полиномов, порождённая элементарными функциями e ₁ , ... en _. симметрическими
Let V = K ² и G — циклическая группа порядка 2, действующая посредством ± I . В этом случае G не порождается псевдоотражениями, поскольку неединичный элемент s группы G действует без неподвижных точек, так что dim Ker ( s − I ) = 0. С другой стороны, алгебра инвариантов является подалгеброй K [ V ] = K [ x , y ] порожденный однородными элементами x ², ху и у ² степени 2. Эта подалгебра не является полиномиальной алгеброй в силу соотношения x ²и ² = ( ху ) ².

Обобщения

Броер (2007) расширил теорему Шевалле – Шепарда – Тодда на положительную характеристику.

Было проведено много работ по вопросу о том, когда редуктивная алгебраическая группа, действующая на вектор пространство имеет полиномиальное кольцо инвариантов. В случае, когда алгебраическая группа проста, все случаи, когда инвариантное кольцо полиномиально, были классифицированы Шварцем (1978).

В общем, кольцо инвариантов конечной группы, действующей линейно в комплексном векторном пространстве, является кольцом Коэна-Маколея , поэтому оно представляет собой модуль свободного конечного ранга над полиномиальным подкольцом.

Примечания

^ См., например: Бурбаки, Ли , гл. V, §5, n°5, теорема 4 об эквивалентности (А), (В) и (С); стр. 26 из [1] об эквивалентности (A) и (B ′ ); страницы 6–18 из [2]. Архивировано 29 июля 2014 г. в Wayback Machine на предмет эквивалентности (C) и (C ′ ) [3] для доказательства (B ′ )⇒(A).

Ссылки

Бурбаки, Николя, Элементы математики: группы и алгебры Ли (английский перевод: Бурбаки, Николя, Элементы математики: группы Ли и алгебры Ли )
Броер, Абрахам (2007), О теореме Шевалле-Шепарда-Тодда в положительной характеристике , [], arXiv : 0709.0715 , Bibcode : 2007arXiv0709.0715B
Шевалле, Клод (1955), «Инварианты конечных групп, порожденные отражениями», Amer. Дж. Математика. , 77 (4): 778–782, doi : 10.2307/2372597 , JSTOR 2372597 , S2CID 14952813
Нойзель, Мара Д.; Смит, Ларри (2002), Инвариантная теория конечных групп , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-2916-5
Шепард, GC; Тодд, Дж. А. (1954), «Конечные унитарные группы отражений», кан. Дж. Математика. , 6 : 274–304, doi : 10.4153/CJM-1954-028-3
Шварц, Г. (1978), "Представления простых групп Ли с регулярными кольцами инвариантов", Invent. Математика. , 49 (2): 167–191, Бибкод : 1978InMat..49..167S , doi : 10.1007/BF01403085
Смит, Ларри (1997), «Полиномиальные инварианты конечных групп. Обзор последних разработок» , Bull. амер. Математика. Соц. , 34 (3): 211–250, doi : 10.1090/S0273-0979-97-00724-6 , МР 1433171
Спрингер, Т. А. (1977), Теория инвариантов , Спрингер, ISBN 978-0-387-08242-4

[1] См., например: Бурбаки, Ли , гл. V, §5, n°5, теорема 4 об эквивалентности (А), (В) и (С); стр. 26 из [1] об эквивалентности (A) и (B ′ ); страницы 6–18 из [2]. Архивировано 29 июля 2014 г. в Wayback Machine на предмет эквивалентности (C) и (C ′ ) [3] для доказательства (B ′ )⇒(A).

[ 1 ]