Обобщенная симметрическая группа

В математике обобщенная симметрическая группа — это сплетение. $S(m,n):=Z_{m}\wr S_{n}$ циклической группы порядка m и симметрической группы порядка n .

Примеры

• Для $m=1,$ обобщенная симметрическая группа - это в точности обычная симметрическая группа: $S(1,n)=S_{n}.$
• Для $m=2,$ циклическую группу порядка 2 можно рассматривать как положительную и отрицательную ( $Z_{2}\cong \{\pm 1\}$) и определим обобщенную симметрическую группу $S(2,n)$ со знаковой симметрической группой .

Теория представлений

Существует естественное представление элементов $S(m,n)$ как обобщенные матрицы перестановок , где ненулевые элементы являются корнями m -й степени из единицы : $Z_{m}\cong \mu _{m}.$

Теория представлений изучается с ( Osima 1954 ); см. ссылки в ( Can 1996 ). Как и в случае с симметричной группой, представления могут быть построены в терминах модулей Шпехта ; см. ( Кан 1996 ).

Гомология

Первая группа гомологии группы (точнее, абелианизация ) есть $Z_{m}\times Z_{2}$ (для m нечетного это изоморфно $Z_{2m}$): $Z_{m}$ факторы (которые все сопряжены и, следовательно, должны отображаться одинаково в абелевой группе, поскольку сопряжение тривиально в абелевой группе) могут быть отображены в $Z_{m}$ (конкретно, взяв произведение всех $Z_{m}$ значения), в то время как карта знаков на симметричной группе дает $Z_{2}.$ Они независимы и порождают группу, следовательно, являются абелианизацией.

Вторая группа гомологий (в классических терминах множитель Шура ) определяется формулой ( Davies & Morris 1974 ):

$H_{2}(S(2k+1,n))={\begin{cases}1&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}$

$H_{2}(S(2k+2,n))={\begin{cases}1&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4.\end{cases}}$

Обратите внимание, что это зависит от n и четности m: $H_{2}(S(2k+1,n))\approx H_{2}(S(1,n))$ и $H_{2}(S(2k+2,n))\approx H_{2}(S(2,n)),$ которые являются множителями Шура симметричной группы и знаковой симметрической группы.

Ссылки

• Дэвис, Дж.В.; Моррис, АО (1974), «Множитель Шура обобщенной симметричной группы», J. London Math. Соц. , 2, 8 (4): 615–620, doi : 10.1112/jlms/s2-8.4.615
• Джан, Химмет (1996), «Представления обобщенных симметрических групп» , Вклад в алгебру и геометрию , 37 (2): 289–307, CiteSeerX   10.1.1.11.9053
• Осима, М. (1954), «О представлениях обобщенной симметрической группы», Math. Университет Дж. Окаямы. , 4 : 39–54