Jump to content

Обобщенная матрица перестановок

В математике обобщенная матрица перестановок (или мономиальная матрица ) — это матрица с тем же ненулевым образцом, что и матрица перестановок , т. е. в каждой строке и каждом столбце есть ровно один ненулевой элемент. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть равен 1, в обобщенной матрице перестановок ненулевой элемент может быть любым ненулевым значением. Пример обобщенной матрицы перестановок:

Структура

[ редактировать ]

Обратимая матрица A является обобщенной матрицей перестановок тогда и только тогда, когда ее можно записать как произведение обратимой диагональной матрицы D и (неявно обратимой ) матрицы перестановок P : т.е.

Структура группы

[ редактировать ]

Набор GL обобщенных матриц перестановок размера n × n с элементами в поле F образует подгруппу общей линейной группы ( n , F ), в которой группа неособых диагональных матриц Δ( n , F ) образует нормальную подгруппу . Действительно, обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором диагональных матриц, а это означает, что обобщенные матрицы перестановок являются наибольшей подгруппой GL( n , F ), в которой диагональные матрицы нормальны.

Абстрактная группа обобщенных матриц перестановок сплетением F является × и Сн . Конкретно это означает, что это полупрямое произведение ∆( n , F ) на симметрическую группу S n :

S n ⋉ Δ( n , F ),

где Sn n действует перестановкой координат, а диагональные матрицы ∆( , F ) изоморфны n произведению -кратному ( F × ) н .

Точнее, обобщенные матрицы перестановок представляют собой (точное) линейное представление этого абстрактного сплетения: реализацию абстрактной группы как подгруппы матриц.

Подгруппы

[ редактировать ]

Характеристики

[ редактировать ]
  • Если невырожденная матрица и обратная к ней обе являются неотрицательными матрицами (т.е. матрицами с неотрицательными элементами), то матрица является обобщенной матрицей перестановок.
  • Определитель обобщенной матрицы перестановок имеет вид где это знак перестановки связанный с и являются диагональными элементами .

Обобщения

[ редактировать ]

Можно сделать дальнейшее обобщение, разрешив записям располагаться в кольце , а не в поле. В том случае, если ненулевые записи должны быть единицами в кольце, снова получается группа. С другой стороны, если требуется, чтобы ненулевые элементы были только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, этот набор матриц вместо этого образует полугруппу .

Можно также схематично разрешить ненулевым элементам находиться в группе G, понимая, что умножение матриц будет включать в себя только умножение одной пары элементов группы, а не «добавление» элементов группы. Это злоупотребление обозначениями , поскольку умножаемый элемент матриц должен допускать умножение и сложение, но это наводит на размышления для (формально правильной) абстрактной группы. (сплетение группы G с симметрической группой).

Знаковая группа перестановок

[ редактировать ]

Матрица перестановок со знаком — это обобщенная матрица перестановок, ненулевые элементы которой равны ±1, и это целочисленные обобщенные матрицы перестановок с целочисленными обратными.

Характеристики

[ редактировать ]

Приложения

[ редактировать ]

Мономиальные представления

[ редактировать ]

Мономиальные матрицы встречаются в теории представлений в контексте мономиальных представлений . Мономиальное представление группы G — это линейное представление ρ : G → GL( n , F ) группы G (здесь F — определяющее поле представления) такое, что образ ρ ( G ) является подгруппой группы мономиалов. матрицы.

  • Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп. Кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е обновленное и исправленное издание). Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN  978-0-8018-9012-3 . Артикул   1221.00013 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1d0036fc1da1d87c2477c96472ad33b7__1656129840
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1d/b7/1d0036fc1da1d87c2477c96472ad33b7.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Generalized permutation matrix - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)