Обобщенная матрица перестановок
В математике обобщенная матрица перестановок (или мономиальная матрица ) — это матрица с тем же ненулевым образцом, что и матрица перестановок , т. е. в каждой строке и каждом столбце есть ровно один ненулевой элемент. В отличие от матрицы перестановок, где ненулевой элемент должен быть равен 1, в обобщенной матрице перестановок ненулевой элемент может быть любым ненулевым значением. Пример обобщенной матрицы перестановок:
Структура
[ редактировать ]Обратимая матрица A является обобщенной матрицей перестановок тогда и только тогда, когда ее можно записать как произведение обратимой диагональной матрицы D и (неявно обратимой ) матрицы перестановок P : т.е.
Структура группы
[ редактировать ]Набор GL обобщенных матриц перестановок размера n × n с элементами в поле F образует подгруппу общей линейной группы ( n , F ), в которой группа неособых диагональных матриц Δ( n , F ) образует нормальную подгруппу . Действительно, обобщенные матрицы перестановок являются нормализатором диагональных матриц, а это означает, что обобщенные матрицы перестановок являются наибольшей подгруппой GL( n , F ), в которой диагональные матрицы нормальны.
Абстрактная группа обобщенных матриц перестановок сплетением F является × и Сн . Конкретно это означает, что это полупрямое произведение ∆( n , F ) на симметрическую группу S n :
- S n ⋉ Δ( n , F ),
где Sn n действует перестановкой координат, а диагональные матрицы ∆( , F ) изоморфны n произведению -кратному ( F × ) н .
Точнее, обобщенные матрицы перестановок представляют собой (точное) линейное представление этого абстрактного сплетения: реализацию абстрактной группы как подгруппы матриц.
Подгруппы
[ редактировать ]- Подгруппа, где все элементы равны 1, представляет собой в точности матрицы перестановок , которые изоморфны симметричной группе.
- Подгруппа, где все элементы равны ±1, представляет собой матрицы перестановок со знаком , то есть гипероктаэдрическую группу .
- Подгруппа, в которой элементы имеют корни m- й степени из единицы. изоморфна обобщенной симметрической группе .
- Подгруппа диагональных матриц абелева , нормальная и максимальная абелева подгруппа. Факторгруппа максимальный — это симметрическая группа, и эта конструкция по сути является группой Вейля полной линейной группы: диагональные матрицы представляют собой тор в полной линейной группе (и являются собственным централизатором ), обобщенные матрицы перестановок — это нормализатор этого тора, и частное, есть группа Вейля.
Характеристики
[ редактировать ]- Если невырожденная матрица и обратная к ней обе являются неотрицательными матрицами (т.е. матрицами с неотрицательными элементами), то матрица является обобщенной матрицей перестановок.
- Определитель обобщенной матрицы перестановок имеет вид где это знак перестановки связанный с и являются диагональными элементами .
Обобщения
[ редактировать ]Можно сделать дальнейшее обобщение, разрешив записям располагаться в кольце , а не в поле. В том случае, если ненулевые записи должны быть единицами в кольце, снова получается группа. С другой стороны, если требуется, чтобы ненулевые элементы были только ненулевыми, но не обязательно обратимыми, этот набор матриц вместо этого образует полугруппу .
Можно также схематично разрешить ненулевым элементам находиться в группе G, понимая, что умножение матриц будет включать в себя только умножение одной пары элементов группы, а не «добавление» элементов группы. Это злоупотребление обозначениями , поскольку умножаемый элемент матриц должен допускать умножение и сложение, но это наводит на размышления для (формально правильной) абстрактной группы. (сплетение группы G с симметрической группой).
Знаковая группа перестановок
[ редактировать ]Матрица перестановок со знаком — это обобщенная матрица перестановок, ненулевые элементы которой равны ±1, и это целочисленные обобщенные матрицы перестановок с целочисленными обратными.
Характеристики
[ редактировать ]- Это группа Кокстера. , и имеет порядок .
- Это группа симметрии гиперкуба и (двойственно) кросс-многогранника .
- Ее индекса 2 с определителем, равным их базовой (беззнаковой) перестановке, является группой Коксетера. подгруппа матриц и – группа симметрии полугиперкуба .
- Это подгруппа ортогональной группы .
Приложения
[ редактировать ]Мономиальные представления
[ редактировать ]Мономиальные матрицы встречаются в теории представлений в контексте мономиальных представлений . Мономиальное представление группы G — это линейное представление ρ : G → GL( n , F ) группы G (здесь F — определяющее поле представления) такое, что образ ρ ( G ) является подгруппой группы мономиалов. матрицы.
Ссылки
[ редактировать ]- Джойнер, Дэвид (2008). Приключения в теории групп. Кубик Рубика, машина Мерлина и другие математические игрушки (2-е обновленное и исправленное издание). Балтимор, Мэриленд: Издательство Университета Джонса Хопкинса. ISBN 978-0-8018-9012-3 . Артикул 1221.00013 .