Диагональная матрица

В линейной алгебре диагональная матрица — это матрица , в которой все элементы за пределами главной диагонали равны нулю; этот термин обычно относится к квадратным матрицам . Элементы главной диагонали могут быть нулевыми или ненулевыми. Пример диагональной матрицы 2×2: $\left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]$, а примером диагональной матрицы 3×3 является $\left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]$. Единичная матрица любого размера или любого кратного ему размера представляет собой диагональную матрицу, называемую скалярной матрицей , например: $\left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]$. В геометрии диагональная матрица может использоваться как матрица масштабирования , поскольку умножение матрицы на нее приводит к изменению масштаба (размера) и, возможно, также формы ; только скалярная матрица приводит к равномерному изменению масштаба.

Определение

Как указано выше, диагональная матрица — это матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю. То есть матрица D = ( d _{i , j} ) с n столбцами и n строками является диагональной, если

$$\forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.$$

Однако основные диагональные входы не ограничены.

Термин «диагональная матрица» иногда может относиться к прямоугольная диагональная матрица , которая представляет собой матрицу размером m на n со всеми элементами, отличными от формы d _{i , i} равным нулю. Например:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}$$

Однако чаще диагональная матрица относится к квадратным матрицам, которые можно явно указать как квадратная диагональная матрица . Квадратная диагональная матрица является симметричной матрицей , поэтому ее также можно назвать симметричная диагональная матрица .

Следующая матрица является квадратной диагональной матрицей:

$${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}$$

Если записи представляют собой действительные числа или комплексные числа , то это нормальная матрица также .

В оставшейся части этой статьи мы будем рассматривать только квадратные диагональные матрицы и называть их просто «диагональными матрицами».

Оператор преобразования вектора в матрицу

Диагональная матрица $\mathbf {D}$ можно построить из вектора $\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ используя $\operatorname {diag}$ оператор:

$$\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$$

Это можно записать более компактно как $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )$.

Тот же оператор также используется для представления блочных диагональных матриц в виде $\mathbf {A} =\operatorname {diag} (A_{1},\dots ,A_{n})$ где каждый аргумент $A_{i}$ является матрицей.

The $\operatorname {diag}$ оператор может быть записан как:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I}$$

где $\circ$ представляет произведение Адамара и $\mathbf {1}$ — постоянный вектор с элементами 1.

Оператор преобразования матрицы в вектор

Обратная матрица-вектор $\operatorname {diag}$ оператор иногда обозначается одноименным оператором $\operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$ где аргумент теперь является матрицей, а результатом является вектор ее диагональных элементов.

Следующее свойство имеет:

$$\operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1}$$

Скалярная матрица

Диагональная матрица с равными диагональными элементами является скалярной матрицей ; то есть скалярное кратное λ единичной матрицы I . Его эффект на вектор — скалярное умножение на λ . Например, скалярная матрица 3×3 имеет вид:

$${\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}$$

Скалярные матрицы являются центром алгебры матриц: то есть это именно те матрицы, которые коммутируют со всеми другими квадратными матрицами того же размера. Напротив, над полем (как и в случае с действительными числами) диагональная матрица, все диагональные элементы которой различны, коммутирует только с диагональными матрицами (ее централизатор - это набор диагональных матриц). Это потому, что если диагональная матрица $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ имеет $a_{i}\neq a_{j},$ затем дана матрица $\mathbf {M}$ с $m_{ij}\neq 0,$ тот $(i,j)$ срок продукции: $(\mathbf {D} \mathbf {M} )_{ij}=a_{i}m_{ij}$ и $(\mathbf {M} \mathbf {D} )_{ij}=m_{ij}a_{j},$ и $a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}$ (поскольку можно разделить на $m_{ij}$), поэтому они не коммутируют, если недиагональные члены не равны нулю. Диагональные матрицы, в которых не все диагональные элементы равны или не все различны, имеют центраторы, промежуточные между всем пространством и только диагональными матрицами.

Для абстрактного векторного пространства V (а не конкретного векторного пространства $K^{n}$), аналогом скалярных матриц являются скалярные преобразования . В более общем смысле это верно для модуля M над кольцом R с алгеброй эндоморфизмов End( M ) (алгеброй линейных операторов на M ), заменяющей алгебру матриц. Формально скалярное умножение представляет собой линейное отображение, вызывающее отображение $R\to \operatorname {End} (M),$(от скаляра λ к соответствующему скалярному преобразованию, умножению на λ ), демонстрируя End( M ) как R - алгебру . Для векторных пространств скалярные преобразования являются в точности центром алгебры эндоморфизмов, и, аналогично, скалярные обратимые преобразования являются центром общей линейной группы GL( V ). Первое в целом верно для бесплатных модулей. $M\cong R^{n}$, для которого алгебра эндоморфизмов изоморфна матричной алгебре.

Векторные операции

Умножение вектора на диагональную матрицу умножает каждый из членов на соответствующий диагональный элемент. Дана диагональная матрица $\mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})$ и вектор $\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$, продукт:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Это можно выразить более компактно, используя вектор вместо диагональной матрицы: $\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}$и взяв произведение Адамара векторов (поэлементное произведение), обозначив $\mathbf {d} \circ \mathbf {v}$:

$$\mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.$$

Это математически эквивалентно, но позволяет избежать хранения всех нулевых членов этой разреженной матрицы . Таким образом, этот продукт используется в машинном обучении , например, для вычисления продуктов производных при обратном распространении ошибки или умножения весов IDF в TF-IDF . поскольку некоторые структуры BLAS , которые эффективно умножают матрицы, не включают возможности продукта Адамара напрямую.

Матричные операции

Операции сложения и умножения матриц особенно просты для диагональных матриц. Запишите Diag( a ₁ , ..., an _n ) для диагональной матрицы, диагональные элементы которой, начиная с верхнего левого угла, равны a ₁ , ..., an _n . Тогда для сложения имеем

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})$$

и для умножения матриц ,

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).$$

Диагональная матрица Diag( a ₁ , ..., an _все ) обратима тогда и только тогда, когда элементы a ₁ , ..., an _n не равны нулю. В этом случае мы имеем

$$\operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).$$

В частности, диагональные матрицы образуют подкольцо кольца всех матриц размером n x n .

Умножение n -х n- матрицы A слева Diag на ( a ₁ , ..., ) _an равносильно умножению i -й строки A на i a _i для всех ; матрицы A справа Diag на ( a ₁ ..., an _, ) равносильно умножению i -го столбца на A . a _i для всех i умножение

Матрица операторов в собственном базисе

Основные статьи: Матрица преобразования § Нахождение матрицы преобразования , а также собственные значения и собственные векторы

Как пояснялось при определении коэффициентов операторной матрицы , существует специальный базис e ₁ , ..., en _, для которого матрица $\mathbf {A}$принимает диагональную форму. Следовательно, в определяющем уравнении ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {e} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$, все коэффициенты $a_{i,j}$с i ≠ j равны нулю, в результате чего в сумме остается только один член. Сохранившиеся диагональные элементы, $a_{i,i}$, известны как собственные значения и обозначаются $\lambda _{i}$ в уравнении, которое сводится к $\mathbf {A} \mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}$. Полученное уравнение известно как уравнение собственных значений. и используется для вывода характеристического полинома и, далее, собственных значений и собственных векторов .

Другими словами, значениями функцииdiag ( λ ₁ ,..., λ _n ) являются λ ₁ , ..., λ _n с соответствующими собственными векторами e собственными ₁ , ..., e _n .

Свойства

• Определителем является Diag ( a ₁ ..., an ₎ n произведение a ₁ ⋯ an _, .
• Сопряжение . диагональной матрицы снова диагонально
• Где все матрицы квадратные,
  • Матрица диагональна тогда и только тогда, когда она треугольная и нормальная .
  • Матрица является диагональной тогда и только тогда, когда она является одновременно верхне- и нижнетреугольной .
  • Диагональная матрица симметрична .
• Единичная матрица I _n и нулевая матрица диагональны.
• Матрица 1×1 всегда диагональна.
• Квадрат матрицы 2×2 с нулевым следом всегда диагональный.

Приложения

Диагональные матрицы встречаются во многих областях линейной алгебры. Из-за простого описания матричной операции и собственных значений/собственных векторов, приведенных выше, обычно желательно представлять данную матрицу или линейную карту диагональной матрицей.

Фактически, данная n x размера n матрица A аналогична что диагональной матрице (это означает, что существует матрица X такая, X ⁻¹ AX диагональен) тогда и только тогда, когда он имеет n линейно независимых собственных векторов. Такие матрицы называются диагонализуемыми .

В отношении действительных или чисел комплексных верно больше. Спектральная теорема гласит, что каждая нормальная матрица диагональной унитарно подобна матрице (если AA ^∗ = А ^∗ A тогда существует унитарная матрица U такая, что UAU ^∗ диагональ). Более того, разложение по сингулярным значениям означает, что для любой матрицы A существуют унитарные матрицы U и V такие, что U ^∗ AV диагональный с положительными элементами.

Теория операторов

В теории операторов , особенно при изучении УЧП , операторы особенно легко понять, а УЧП легко решить, если оператор диагональен относительно базиса, с которым он работает; это соответствует разделимому уравнению в частных производных . Следовательно, ключевой метод понимания операторов — это замена координат (на языке операторов это интегральное преобразование ), которая меняет основу на собственный базис : собственных функций что делает уравнение разделимым. Важным примером этого является преобразование Фурье , которое диагонализует операторы дифференцирования с постоянными коэффициентами (или, в более общем плане, операторы, инвариантные к сдвигу), такие как оператор Лапласа, скажем, в уравнении теплопроводности .

Особенно простыми являются операторы умножения , которые определяются как умножение на (значения) фиксированной функции: значения функции в каждой точке соответствуют диагональным элементам матрицы.

См. также

• Антидиагональная матрица
• Ленточная матрица
• Двудиагональная матрица
• Диагонально доминирующая матрица
• Диагонализуемая матрица
• Джордан в нормальной форме
• Оператор умножения
• Трехдиагональная матрица
• Матрица Теплица
• Торальная алгебра Ли
• Циркулирующая матрица

Источники

• Хорн, Роджер Алан ; Джонсон, Чарльз Роял (1985), матричный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-38632-6