Уравнение в частных производных

Визуализация решения двумерного уравнения теплопроводности , где температура представлена ​​вертикальным направлением и цветом.

В математике уравнение в частных производных ( УЧП ) — это уравнение, которое вычисляет функцию между различными частными производными функции многих переменных .

Функция часто рассматривается как «неизвестное», которое необходимо решить, аналогично тому, как x рассматривается как неизвестное число, которое необходимо решить в алгебраическом уравнении, таком как x. ² - 3 Икс + 2 знак равно 0 . Однако записать явные формулы для решений уравнений в частных производных обычно невозможно. Соответственно, существует огромное количество современных математических и научных исследований по методам численной аппроксимации решений некоторых уравнений в частных производных с использованием компьютеров. Уравнения в частных производных занимают также большой сектор чисто математических исследований , в которых обычные вопросы заключаются, вообще говоря, в выявлении общих качественных особенностей решений различных уравнений в частных производных, таких как существование, единственность, регулярность и устойчивость. Среди многих открытых вопросов — существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса , названных одной из проблем Премии тысячелетия в 2000 году.

Уравнения в частных производных повсеместно распространены в математически ориентированных научных областях, таких как физика и техника . Например, они лежат в основе современного научного понимания звука , тепла , диффузии , электростатики , электродинамики , термодинамики , гидродинамики , упругости , общей теории относительности и квантовой механики ( уравнение Шредингера , уравнение Паули и т. д.). Они также возникают из многих чисто математических соображений, таких как дифференциальная геометрия и вариационное исчисление ; среди других заметных применений они являются основным инструментом доказательства гипотезы Пуанкаре на основе геометрической топологии .

Частично из-за такого разнообразия источников существует широкий спектр различных типов уравнений в частных производных, и были разработаны методы работы со многими возникающими отдельными уравнениями. По сути, обычно признается, что не существует «общей теории» уравнений в частных производных, а специальные знания в некоторой степени разделены между несколькими существенно различными подобластями.

Обыкновенные дифференциальные уравнения можно рассматривать как подкласс уравнений в частных производных, соответствующих функциям одной переменной. Стохастические уравнения в частных производных и нелокальные уравнения по состоянию на 2020 год являются особенно широко изученными расширениями понятия «PDE». Более классические темы, по которым все еще ведется много активных исследований, включают эллиптические и параболические уравнения в частных производных, механику жидкости , уравнения Больцмана и дисперсионные уравнения в частных производных .

Введение

Функция u ( x , y , z ) трех переменных является « гармонической » или «решением уравнения Лапласа », если она удовлетворяет условию $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$$Такие функции широко изучались в 19 веке из-за их актуальности для классической механики , например, равновесное распределение температуры однородного твердого тела является гармонической функцией. Если функция задана явно, обычно требуется простое вычисление, чтобы проверить, является ли она гармонической. Например $$u(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+y^{2}+z^{2}+1}}}$$ и $$u(x,y,z)=2x^{2}-y^{2}-z^{2}$$оба гармоничны, в то время как $$u(x,y,z)=\sin(xy)+z$$нет. Может показаться удивительным, что два приведенных примера гармонических функций имеют столь разительно отличающуюся друг от друга форму. Это является отражением того факта, что они не никоим образом являются частными случаями «общей формулы решения» уравнения Лапласа. Это резко контрастирует со случаем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), примерно аналогичных уравнению Лапласа, при этом цель многих вводных учебников состоит в том, чтобы найти алгоритмы, ведущие к общим формулам решения. Для уравнения Лапласа, как и для большого числа уравнений в частных производных, таких формул решения не существует.

Природу этой неудачи можно увидеть более конкретно в случае следующего УЧП: для функции v ( x , y ) двух переменных рассмотрим уравнение $${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x\partial y}}=0.$$Можно непосредственно проверить, что любая функция v формы v ( x , y ) = f ( x ) + g ( y ) для любых функций с одной переменной f и g будет удовлетворять этому условию. Это выходит далеко за рамки выбора, доступного в формулах решения ОДУ, которые обычно допускают свободный выбор некоторых чисел. При исследовании УЧП обычно имеется свободный выбор функций.

Характер этого выбора варьируется от PDE к PDE. Чтобы понять это для любого данного уравнения, теоремы существования и единственности важными организационными принципами обычно являются . Во многих вводных учебниках роль теорем существования и единственности ОДУ может быть несколько неясной; половина существования обычно не нужна, поскольку можно напрямую проверить любую предлагаемую формулу решения, в то время как половина уникальности часто присутствует только в фоновом режиме, чтобы гарантировать, что предлагаемая формула решения является как можно более общей. Напротив, для PDE теоремы существования и единственности часто являются единственным средством, с помощью которого можно ориентироваться в множестве различных имеющихся решений. По этой причине они также имеют основополагающее значение при проведении чисто численного моделирования, поскольку необходимо понимать, какие данные должен задать пользователь, а какие оставить для расчета компьютеру.

Чтобы обсудить такие теоремы существования и единственности, необходимо точно определить область определения «неизвестной функции». В противном случае, говоря только в терминах типа «функция двух переменных», невозможно осмысленно сформулировать результаты. То есть область определения неизвестной функции следует рассматривать как часть структуры самого УЧП.

Ниже приведены два классических примера таких теорем существования и единственности. Несмотря на то, что два рассматриваемых УЧП очень похожи, существует разительная разница в поведении: для первого УЧП имеется свободное предписание одной функции, тогда как для второго УЧП имеется свободное предписание двух функций.

• Пусть B обозначает диск единичного радиуса вокруг начала координат на плоскости. Для любой непрерывной функции U на единичной окружности существует ровно одна функция u на B такая, что $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$$ и ограничение которого на единичную окружность задается U .
• Для любых функций f и g на вещественной прямой R существует ровно одна функция u на R × (−1, 1) такая, что $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0$$ и с u ( x , 0) = f ( x ) и ⁠ ∂ ты / ∂ y ⁠ ( Икс , 0) знак равно грамм ( Икс ) для всех значений Икс .

Возможны и другие явления. Например, следующее УЧП , естественным образом возникающее в области дифференциальной геометрии , иллюстрирует пример, где существует простая и вполне явная формула решения, но со свободным выбором только трёх чисел и даже не одной функции.

• Если u — функция на R ² с $${\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial x}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\frac {\partial u}{\partial y}}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}}}}=0,$$ тогда есть числа a , b и c, где u ( x , y ) = ax + by + c .

В отличие от предыдущих примеров, это УЧП является нелинейным из-за квадратных корней и квадратов. УЧП Линейное — это такое уравнение, что, если оно однородно, сумма любых двух решений также является решением, и любое постоянное кратное любому решению также является решением.

Грамотность

Правильность относится к общему схематическому пакету информации о PDE. Чтобы сказать, что PDE корректен, необходимо иметь:

• теорема существования и единственности, утверждающая, что путем назначения некоторых свободно выбранных функций можно выделить одно конкретное решение УЧП
• постоянно меняя свободный выбор, человек постоянно меняет соответствующее решение

Из-за необходимости применимости к нескольким различным PDE это несколько расплывчато. Требование «непрерывности», в частности, неоднозначно, поскольку обычно существует множество неэквивалентных средств, с помощью которых его можно строго определить. Однако несколько необычно изучать УЧП без указания того, каким образом оно корректно.

Энергетический метод

Энергетический метод представляет собой математическую процедуру, которую можно использовать для проверки корректности начально-краевых задач (ИБВП). В следующем примере энергетический метод используется для решения, где и какие граничные условия следует наложить, чтобы полученный IBVP был корректным. Рассмотрим одномерное гиперболическое УЧП, заданное формулой $${\frac {\partial u}{\partial t}}+\alpha {\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad x\in [a,b],t>0,$$

где $\alpha \neq 0$ является константой и $u(x,t)$ — неизвестная функция с начальным условием $u(x,0)=f(x)$. Умножение на $u$ и интегрирование по области дает $$\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x+\alpha \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x=0.$$

Используя это $$\int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial t}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\quad {\text{and}}\quad \int _{a}^{b}u{\frac {\partial u}{\partial x}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}u(b,t)^{2}-{\frac {1}{2}}u(a,t)^{2},$$где интегрирование по частям для первого соотношения использовалось , получаем $${\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}+\alpha u(b,t)^{2}-\alpha u(a,t)^{2}=0.$$

Здесь $\|\cdot \|$ обозначает стандарт $L^{2}$ норма .Для корректности мы требуем, чтобы энергия решения не возрастала, т. е. чтобы ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$, что достигается заданием $u$ в $x=a$ если $\alpha >0$ и в $x=b$ если $\alpha <0$. Это соответствует лишь наложению граничных условий на притоке. Корректность допускает рост данных (начальных и граничных), и поэтому достаточно показать, что ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}\|u\|^{2}\leq 0}$ сохраняется, когда все данные установлены в ноль.

Наличие локальных решений

Теорема Коши-Ковалевского для задач Коши с начальными значениями по существу утверждает, что если все члены уравнения в частных производных состоят из аналитических функций и выполняется определенное условие трансверсальности (гиперплоскость или, в более общем смысле, гиперповерхность, на которой задаются начальные данные, должна быть нехарактеристичны относительно оператора в частных производных), то на некоторых областях обязательно существуют решения, которые также являются аналитическими функциями. Это фундаментальный результат в изучении аналитических уравнений в частных производных. Удивительно, но теорема не справедлива в случае гладких функций; пример , открытый Гансом Леви в 1957 году, состоит из линейного уравнения в частных производных, коэффициенты которого гладкие (т. е. имеют производные всех порядков), но не аналитические, для которого не существует решения. Таким образом, теорема Коши-Ковалевского обязательно ограничивается областью применения аналитическими функциями.

Классификация

Обозначения

При написании УЧП принято обозначать частные производные с помощью индексов. Например: $$u_{x}={\frac {\partial u}{\partial x}},\quad u_{xx}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}},\quad u_{xy}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right).$$ общей ситуации, когда u является функцией n переменных, тогда ui _В обозначает первую частную производную относительно i -го входа, u _ij обозначает вторую частную производную относительно i -го и j -го входов, и поэтому на.

Греческая буква Δ обозначает оператор Лапласа ; если u — функция n переменных, то $$\Delta u=u_{11}+u_{22}+\cdots +u_{nn}.$$В физической литературе оператор Лапласа часто обозначается ∇ ² ; в математической литературе ∇ ² u может обозначать матрицу Гессе u также .

Уравнения первого порядка

Основная статья: Уравнение в частных производных первого порядка

Линейные и нелинейные уравнения

Линейные уравнения

УЧП называется линейным, если оно линейно относительно неизвестного и его производных. Например, для функции u от x и y линейное УЧП второго порядка имеет вид $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+a_{5}(x,y)u_{x}+a_{6}(x,y)u_{y}+a_{7}(x,y)u=f(x,y)$$где a _i и f являются функциями только независимых переменных x и y . (Часто смешанно-частные производные u _xy и u _yx приравниваются, но это не требуется для обсуждения линейности.)Если ai _{) ,} являются константами (независящими от x и y то УЧП называется линейным с постоянными коэффициентами . Если f везде равно нулю, то линейное УЧП однородно , в противном случае оно неоднородно . (Это отделено от асимптотической гомогенизации , которая изучает влияние высокочастотных колебаний коэффициентов на решения УЧП.)

Нелинейные уравнения

Тремя основными типами нелинейных УЧП являются полулинейные УЧП, квазилинейные УЧП и полностью нелинейные УЧП.

Ближайшими к линейным УЧП являются полулинейные УЧП, в которых только производные высшего порядка выступают в виде линейных членов с коэффициентами, которые являются функциями независимых переменных. Младшие производные и неизвестная функция могут появляться произвольно. Например, общее полулинейное УЧП второго порядка с двумя переменными имеет вид $$a_{1}(x,y)u_{xx}+a_{2}(x,y)u_{xy}+a_{3}(x,y)u_{yx}+a_{4}(x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$

В квазилинейном УЧП производные высшего порядка также появляются только как линейные члены, но с коэффициентами, возможно, функциями неизвестных и производных низшего порядка: $$a_{1}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xx}+a_{2}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{xy}+a_{3}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yx}+a_{4}(u_{x},u_{y},u,x,y)u_{yy}+f(u_{x},u_{y},u,x,y)=0$$Многие из фундаментальных уравнений в физике являются квазилинейными, например, уравнения Эйнштейна общей теории относительности и уравнения Навье-Стокса, описывающие движение жидкости.

УЧП без каких-либо свойств линейности называется полностью нелинейным и обладает нелинейностью в одной или нескольких производных высшего порядка. Примером может служить уравнение Монжа–Ампера , возникающее в дифференциальной геометрии .

Линейные уравнения второго порядка

Эллиптическая/параболическая/гиперболическая классификация обеспечивает руководство по выбору соответствующих начальных и граничных условий , а также гладкости решений. Полагая u _xy = u _yx , общее линейное УЧП второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид $$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+\cdots {\mbox{(lower order terms)}}=0,$$где коэффициенты A , B , C ... могут зависеть от x и y . Если А ² + Б ² + С ² > 0 в области плоскости xy , УЧП имеет второй порядок в этой области. Эта форма аналогична уравнению конического сечения: $$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+\cdots =0.$$

Точнее, замена ∂x _X на ) , , и аналогично для других переменных (формально это делается преобразованием Фурье преобразует УЧП с постоянным коэффициентом в многочлен той же степени, с членами высшей степени ( однородный многочлен , здесь квадратичная форма ), являющаяся наиболее значимой для классификации.

и квадратичные формы классифицируются Точно так же, как конические сечения на параболические, гиперболические и эллиптические на основе дискриминанта B ² − 4 AC , то же самое можно сделать и для УЧП второго порядка в данной точке. Однако дискриминант в УЧП определяется как B ² − AC , поскольку принято считать, что член xy равен 2 B, а не B ; формально дискриминант (соответствующей квадратичной формы) равен (2 B ) ² − 4 AC = 4( B ² − AC ) , для простоты опущен коэффициент 4.

1. Б ² − AC <0 ( эллиптическое уравнение в частных производных ): решения эллиптических уравнений в частных производных являются настолько гладкими, насколько позволяют коэффициенты, внутри области, где определены уравнение и решения. Например, решения уравнения Лапласа являются аналитическими в пределах области, в которой они определены, но решения могут принимать граничные значения, которые не являются гладкими. Движение жидкости на дозвуковых скоростях можно аппроксимировать эллиптическими УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является эллиптическим, где x < 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде: $$u_{xx}+u_{yy}+\cdots =0,$$где x и y соответствуют измененным переменным. Тем самым обосновывается уравнение Лапласа как пример такого типа.
2. Б ² − AC = 0 ( параболическое уравнение в частных производных ): Уравнения, которые являются параболическими в каждой точке, могут быть преобразованы в форму, аналогичную уравнению теплопроводности, путем замены независимых переменных. Решения сглаживаются по мере увеличения преобразованной переменной времени. Уравнение Эйлера–Трикоми имеет параболический тип на прямой, где x = 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде: $$u_{xx}+\cdots =0,$$где x соответствуют измененным переменным. Таким образом обосновываются уравнения теплопроводности , которые имеют вид ${\textstyle u_{t}-u_{xx}+\cdots =0}$, как пример такого типа.
3. Б ² − AC > 0 ( гиперболическое уравнение в частных производных ): гиперболические уравнения сохраняют любые разрывы функций или производных в исходных данных. Примером является волновое уравнение . Движение жидкости на сверхзвуковых скоростях можно аппроксимировать гиперболическими УЧП, а уравнение Эйлера – Трикоми является гиперболическим, где x > 0 . Путем замены переменных уравнение всегда можно выразить в виде: $$u_{xx}-u_{yy}+\cdots =0,$$где x и y соответствуют измененным переменным. Тем самым оправдывается волновое уравнение как пример такого типа.

Если имеется n независимых переменных x ₁ , x ₂ , …, x _n , общее линейное уравнение в частных производных второго порядка имеет вид $$Lu=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\quad +{\text{lower-order terms}}=0.$$

Классификация зависит от подписи собственных значений матрицы коэффициентов a _{i , j} .

1. Эллиптический: все собственные значения либо положительные, либо все отрицательные.
2. Параболический: все собственные значения либо положительные, либо все отрицательные, кроме одного, равного нулю.
3. Гиперболический: существует только одно отрицательное собственное значение, а все остальные положительны, или существует только одно положительное собственное значение, а все остальные отрицательны.
4. Ультрагиперболический: существует более одного положительного собственного значения и более одного отрицательного собственного значения, а нулевых собственных значений нет.

Теория эллиптических, параболических и гиперболических уравнений изучалась на протяжении веков, в основном сосредоточенная вокруг или основанная на стандартных примерах уравнения Лапласа , уравнения теплопроводности и волнового уравнения .

Однако классификация зависит только от линейности членов второго порядка и поэтому применима также к полу- и квазилинейным УЧП. Основные типы также распространяются на гибриды, такие как уравнение Эйлера-Трикоми ; варьирующиеся от эллиптических до гиперболических для разных областей предметной области, а также PDE более высокого порядка, но такие знания более специализированы.

Системы уравнений первого порядка и характеристические поверхности

Классификацию уравнений в частных производных можно распространить на системы уравнений первого порядка, где неизвестное u теперь является вектором с m компонентами, а матрицы коэффициентов A _ν представляют собой m на матрицы размером m для ν = 1, 2, …, n. . Уравнение в частных производных принимает вид $$Lu=\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial u}{\partial x_{\nu }}}+B=0,$$где матрицы коэффициентов A _ν и вектор B могут зависеть от x и u . Если гиперповерхность S задана в неявном виде $$\varphi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,$$где φ имеет ненулевой градиент, то S является характеристической поверхностью для оператора L в данной точке, если характеристическая форма обращается в нуль: $$Q\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right)=\det \left[\sum _{\nu =1}^{n}A_{\nu }{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{\nu }}}\right]=0.$$

Геометрическая интерпретация этого условия следующая: если данные для u заданы на поверхности S , то можно определить нормальную производную u на S из дифференциального уравнения. Если данные о S и дифференциальное уравнение определяют нормальную производную от u на S , то S нехарактеристична. Если данные о S и дифференциальное уравнение не определяют нормальную производную от u на S , то поверхность является , а дифференциальное уравнение ограничивает данные о S : дифференциальное уравнение является внутренним для S. характеристической

1. Система первого порядка Lu = 0 является эллиптической не характерна поверхность , если для L : значения u на S и дифференциальное уравнение всегда определяют нормальную производную u на S .
2. Система первого порядка является гиперболической в ​​точке, если в этой точке существует пространственноподобная поверхность S с нормалью ξ . Это означает, что для любого нетривиального вектора η, ортогонального ξ , и скалярного множителя λ уравнение Q ( λξ + η ) = 0 имеет m действительных корней λ ₁ , λ ₂ , …, λ _m . Система является строго гиперболической , если эти корни всегда различны. Геометрическая интерпретация этого условия такова: характеристическая форма Q ( ζ ) = 0 определяет конус (нормальный конус) с однородными координатами ζ. В гиперболическом случае этот конус имеет m листов, и ось ζ = λξ проходит внутри этих листов: она не пересекает ни один из них. Но когда эта ось смещена от начала координат на η, она пересекает каждый лист. В эллиптическом случае нормальный конус не имеет реальных листов.

Аналитические решения

Разделение переменных

Основная статья: Разделимое уравнение в частных производных

Линейные УЧП можно свести к системам обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью важного метода разделения переменных. Этот метод основан на особенности решений дифференциальных уравнений: если можно найти какое-либо решение, которое решает уравнение и удовлетворяет граничным условиям, то это решение (это также относится к ОДУ). мы предполагаем В качестве анзаца , что зависимость решения от параметров пространства и времени можно записать как произведение членов, каждый из которых зависит от одного параметра, а затем посмотрим, можно ли это сделать для решения проблемы.

В методе разделения переменных УЧП сводится к УЧП с меньшим количеством переменных, которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение, если с одной переменной - их, в свою очередь, легче решить.

Это возможно для простых УЧП, которые называются разделимыми уравнениями в частных производных , а область определения обычно представляет собой прямоугольник (произведение интервалов). Разделяемые УЧП соответствуют диагональным матрицам : если рассматривать «значение фиксированного x » как координату, каждую координату можно понимать отдельно.

Это обобщает метод характеристик , а также используется в интегральных преобразованиях .

Метод характеристик

Основная статья: Метод характеристик

В особых случаях можно найти характеристические кривые, на которых уравнение сводится к ОДУ — изменение координат в области для выпрямления этих кривых позволяет разделить переменные и называется методом характеристик .

В более общем плане можно найти характерные поверхности. Для решения уравнения в частных производных второго порядка см. метод Шарпита .

Интегральное преобразование

Интегральное преобразование может преобразовать УЧП в более простое, в частности, в разделимое УЧП. Это соответствует диагонализации оператора.

Важным примером этого является анализ Фурье , который диагонализует уравнение теплопроводности, используя собственный базис синусоидальных волн.

Если область конечна или периодична, подходит бесконечная сумма решений, таких как ряд Фурье интеграл решений, такой как интеграл Фурье , но для бесконечных областей обычно требуется . Решение для точечного источника приведенного выше уравнения теплопроводности является примером использования интеграла Фурье.

Изменение переменных

Часто УЧП можно привести к более простой форме с известным решением путем подходящей замены переменных . Например, уравнение Блэка – Шоулза $${\frac {\partial V}{\partial t}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0$$сводится к уравнению теплопроводности $${\frac {\partial u}{\partial \tau }}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$$заменой переменных $${\begin{aligned}V(S,t)&=v(x,\tau ),\\[5px]x&=\ln \left(S\right),\\[5px]\tau &={\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(T-t),\\[5px]v(x,\tau )&=e^{-\alpha x-\beta \tau }u(x,\tau ).\end{aligned}}$$

Фундаментальное решение

Основная статья: Фундаментальное решение

Неоднородные уравнения часто можно решить (для УЧП с постоянным коэффициентом всегда решать), найдя фундаментальное решение (решение для точечного источника), а затем выполнив свертку с граничными условиями для получения решения.

это аналогично В обработке сигналов пониманию фильтра по его импульсной характеристике .

Принцип суперпозиции

Дополнительная информация: Принцип суперпозиции.

Принцип суперпозиции применим к любой линейной системе, включая линейные системы УЧП. Распространенной визуализацией этой концепции является взаимодействие двух фазовых волн, которые объединяются, что приводит к большей амплитуде, например sin x + sin x = 2 sin x . Тот же принцип можно наблюдать в PDE, где решения могут быть действительными или сложными и аддитивными. Если u ₁ и u ₂ являются решениями линейного УЧП в некотором функциональном пространстве R , то u = c ₁ u ₁ + c ₂ u ₂ с любыми константами c ₁ и c ₂ также являются решением этого УЧП в том же функциональном пространстве.

Методы решения нелинейных уравнений

См. Также: нелинейное уравнение в частных производных

Общеприменимых методов решения нелинейных уравнений в уравнениях не существует. Тем не менее, результаты существования и единственности (такие как теорема Коши-Ковалевского ) часто возможны, как и доказательства важных качественных и количественных свойств решений (получение этих результатов является основной частью анализа ). Вычислительное решение нелинейных УЧП, метод разделенных шагов , существует для конкретных уравнений, таких как нелинейное уравнение Шредингера .

Тем не менее, некоторые методы можно использовать для нескольких типов уравнений. H - принцип является наиболее мощным методом решения недоопределенных уравнений. Теория Рикье-Жане является эффективным методом получения информации о многих аналитических переопределенных системах.

Метод характеристик может быть использован в некоторых весьма частных случаях для решения нелинейных уравнений в частных производных.

В некоторых случаях УЧП можно решить с помощью анализа возмущений , при котором решением считается поправка к уравнению с известным решением. Альтернативой являются численного анализа методы , от простых схем конечных разностей до более зрелых многосеточных методов и методов конечных элементов . Многие интересные задачи в науке и технике решаются таким образом с помощью компьютеров , иногда высокопроизводительных суперкомпьютеров .

Метод группы лжи

Начиная с 1870 года работы Софуса Ли поставили теорию дифференциальных уравнений на более удовлетворительную основу. Он показал, что теории интеграции старых математиков могут путем введения того, что сейчас называется группами Ли быть отнесены к общему источнику ; и что обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие одни и те же бесконечно малые преобразования, представляют сравнимые трудности при интегрировании. Он также остановился на теме трансформаций контакта .

Общий подход к решению УЧП использует свойство симметрии дифференциальных уравнений — непрерывные бесконечно малые преобразования решений в решения ( теория Ли ). Непрерывная теория групп , алгебры Ли и дифференциальная геометрия используются для понимания структуры линейных и нелинейных уравнений в частных производных, для создания интегрируемых уравнений, для нахождения их пар Лакса , операторов рекурсии, преобразования Беклунда и, наконец, для поиска точных аналитических решений УЧП.

Методы симметрии получили признание при изучении дифференциальных уравнений, возникающих в математике, физике, технике и многих других дисциплинах.

Полуаналитические методы

Метод разложения Адомиана , и искусственный метод малого параметра Ляпунова его метод гомотопического возмущения являются частными случаями более общего метода гомотопического анализа . Это методы разложения в ряд, и, за исключением метода Ляпунова, они не зависят от малых физических параметров по сравнению с хорошо известной теорией возмущений , что придает этим методам большую гибкость и общность решения.

Численные решения

Тремя наиболее широко используемыми численными методами для решения PDE являются метод конечных элементов (FEM), методы конечных объемов (FVM) и методы конечных разностей (FDM), а также другие виды методов, называемые бессеточными методами , которые были созданы для решения задач, в которых вышеупомянутые методы ограничены. МКЭ занимает видное место среди этих методов, особенно его исключительно эффективная версия высшего порядка hp-FEM . Другие гибридные версии методов FEM и бессеточных методов включают обобщенный метод конечных элементов (GFEM), расширенный метод конечных элементов (XFEM), спектральный метод конечных элементов (SFEM), бессеточный метод конечных элементов , разрывный метод конечных элементов Галеркина (DGFEM), элементный метод. свободный метод Галеркина (EFGM), интерполяционный безэлементный метод Галёркина (IEFGM) и др.

Метод конечных элементов

Основная статья: Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (МКЭ) (его практическое применение, часто известное как анализ конечных элементов (МКЭ)) представляет собой численный метод поиска приближенных решений уравнений в частных производных (УЧП), а также интегральных уравнений. Подход к решению основан либо на полном исключении дифференциального уравнения (стационарные задачи), либо на преобразовании УЧП в аппроксимирующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которые затем численно интегрируются с использованием стандартных методов, таких как метод Эйлера, Рунге – Кутты и т. д.

Метод конечных разностей

Основная статья: Метод конечных разностей

Методы конечных разностей — это численные методы аппроксимации решений дифференциальных уравнений с использованием конечно-разностных уравнений для аппроксимации производных.

Метод конечного объема

Основная статья: Метод конечного объема

Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов, значения вычисляются в дискретных местах сетчатой ​​геометрии. «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. В методе конечного объема поверхностные интегралы в уравнении в частных производных, содержащие член дивергенции, преобразуются в объемные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Эти члены затем оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы по своей конструкции сохраняют массу.

Нейронные сети

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Глубокое обучение § Уравнения в частных производных» . [ редактировать ]

Нейронные сети, основанные на физике, использовались для решения уравнений в частных производных как в прямых, так и в обратных задачах на основе данных. Одним из примеров является реконструкция потока жидкости, определяемая уравнениями Навье-Стокса . Использование нейронных сетей, основанных на физике, не требует часто дорогостоящего создания сетки, CFD . на котором полагаются традиционные методы

Метод нечетких дифференциальных уравнений

Нечеткое дифференциальное уравнение основано на нечеткой логике.

Метод нечеткого дифференциального включения

Метод нечеткого дифференциального включения использует нечеткую логику с преобразованием Лапласа для решения УЧП.

Приложения

Уравнения в частных производных широко используются во многих областях, таких как астрономия , космология , квантовая механика , теплопередача , электромагнетизм , гидродинамика , упругость (физика) , тензор упругости , тензорный оператор , аналитическая геометрия , искусственный интеллект , глубокое обучение , языковая модель и Математические финансы .

Примеры

• Уравнение теплопроводности
• Волновое уравнение
• Уравнение непрерывности
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Пуассона
• Уравнения Максвелла
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Лагранжа
• уравнение Якоби
• Уравнение Шрёдингера
• Система реакции-диффузии, используемая в искусственном интеллекте и глубоком обучении.
• Масштабируемое кодирование без потерь для преобразования формата аудио- и видеофайлов в MPEG4.

См. также

Некоторые распространенные PDE

• Уравнение теплопроводности
• Волновое уравнение
• Уравнение Лапласа
• Уравнение Гельмгольца
• Уравнение Клейна – Гордона
• Уравнение Пуассона
• Уравнение Навье-Стокса
• Уравнение Бюргерса

Типы граничных условий

• Граничное условие Дирихле
• Граничные условия Неймана
• Граничные условия Робина
• Задача Коши

Различные темы

• Реактивный комплект
• Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям
• Список тем динамических систем и дифференциальных уравнений
• Матричное дифференциальное уравнение
• Численные уравнения в частных производных
• Алгебраическое уравнение в частных производных
• Рекуррентное отношение
• Случайные процессы и краевые задачи

Библиография

• Курант Р. и Гильберт Д. (1962), Методы математической физики , том. II, Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN  9783527617241 .
• Драбек, Павел; Голубова, Габриэла (2007). Элементы уравнений в частных производных (Онлайн-изд.). Берлин: де Грюйтер. ISBN  9783110191240 .
• Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2 .
• Ибрагимов, Наиль Х. (1993), Справочник CRC по групповому анализу дифференциальных уравнений Vol. 1-3 , Провиденс: CRC-Press, ISBN  0-8493-4488-3 .
• Джон, Ф. (1982), Уравнения в частных производных (4-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-90609-6 .
• Йост, Дж. (2002), Уравнения в частных производных , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-95428-7 .
• Олвер, П.Дж. (1995), Эквивалентность, инварианты и симметрия , Cambridge Press .
• Петровский И.Г. (1967), Уравнения в частных производных , Филадельфия: WB Saunders Co.
• Пинчовер Ю. и Рубинштейн Дж. (2005), Введение в уравнения с частными производными , Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-84886-5 .
• Полянин, А.Д. (2002), Справочник по линейным дифференциальным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN  1-58488-299-9 .
• Полянин А.Д. и Зайцев В.Ф. (2004), Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN  1-58488-355-3 .
• Полянин, А.Д. ; Зайцев В.Ф. и Муссио А. (2002), Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка , Лондон: Тейлор и Фрэнсис, ISBN  0-415-27267-Х .
• Рубичек, Т. (2013), Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных с приложениями (PDF) , Международная серия по числовой математике, том. 153 (2-е изд.), Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-3-0348-0513-1 , ISBN  978-3-0348-0512-4 , МР   3014456
• Стефани, Х. (1989), МакКаллум, М. (ред.), Дифференциальные уравнения: их решение с использованием симметрии , Издательство Кембриджского университета .
• Вазваз, Абдул-Маджид (2009). Уравнения в частных производных и теория уединенных волн . Пресса о высшем образовании. ISBN  978-3-642-00251-9 .
• Вазваз, Абдул-Маджид (2002). Методы и приложения уравнений в частных производных . АА Балкема. ISBN  90-5809-369-7 .
• Цвиллингер, Д. (1997), Справочник по дифференциальным уравнениям (3-е изд.), Бостон: Academic Press, ISBN  0-12-784395-7 .
• Гершенфельд, Н. (1999), Природа математического моделирования (1-е изд.), Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, ISBN  0-521-57095-6 .
• Красильщик И.С., Виноградов А.М. (ред.). (1999), Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN  0-8218-0958-Х {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) .
• Красильщик И.С.; Лычагин В.В. и Виноградов А.М. (1986), Геометрия пространств струй и нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных , издательства Gordon and Breach Science, Нью-Йорк, Лондон, Париж, Монтре, Токио, ISBN  2-88124-051-8 .
• Виноградов, AM (2001), Когомологический анализ уравнений в частных производных и вторичного исчисления , Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, США, ISBN  0-8218-2922-Х .
• Густафссон, Бертиль (2008). Методы разностей высокого порядка для зависящих от времени УЧП . Ряд Спрингера по вычислительной математике. Том. 38. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-540-74993-6 . ISBN  978-3-540-74992-9 .

Дальнейшее чтение

• Каджори, Флориан (1928). «Ранняя история уравнений с частными производными, а также частичного дифференцирования и интегрирования» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 35 (9): 459–467. дои : 10.2307/2298771 . JSTOR   2298771 . Архивировано из оригинала (PDF) 23 ноября 2018 г. Проверено 15 мая 2016 г.
• Ниренберг, Луи (1994). «Уравнения в частных производных в первой половине века». Развитие математики 1900–1950 (Люксембург, 1992), 479–515, Биркхойзер, Базель.
• Брезис, Хаим ; Браудер, Феликс (1998). «Уравнения в частных производных в ХХ веке» . Достижения в математике . 135 (1): 76–144. дои : 10.1006/aima.1997.1713 .

Внешние ссылки

• «Дифференциальное уравнение, частичное» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнения с частными производными: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения в частных производных: индекс EqWorld: мир математических уравнений.
• Уравнения с частными производными: методы в EqWorld: мир математических уравнений.
• Примеры проблем с решениями на сайте exampleproblems.com
• Уравнения в частных производных на mathworld.wolfram.com
• Уравнения в частных производных с помощью Mathematica
• Уравнения в частных производных в Клив Молере: численные вычисления с MATLAB
• Уравнения в частных производных на nag.com
• Сандерсон, Грант (21 апреля 2019 г.). «Но что такое уравнение в частных производных?» . 3Синий1Коричневый . Архивировано из оригинала 2 ноября 2021 г. – на YouTube .