Преобразование Лапласа, примененное к дифференциальным уравнениям

В математике — преобразование Лапласа это мощное интегральное преобразование, используемое для переключения функции из временной области в s-область . Преобразование Лапласа можно использовать в некоторых случаях для решения линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями .

Сначала рассмотрим следующее свойство преобразования Лапласа:

${\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)$

${\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)$

можно доказать, По индукции что

${\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$

Теперь рассмотрим следующее дифференциальное уравнение:

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t)$

с заданными начальными условиями

$f^{(i)}(0)=c_{i}$

Используя линейность преобразования Лапласа, эквивалентно переписать уравнение в виде

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

получение

${\mathcal {L}}\{f(t)\}\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

Решение уравнения для ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ и замена $f^{(i)}(0)$ с $c_{i}$ получается

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{i}a_{i}s^{i-j}c_{j-1}}{\sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}}$

Решение для f ( t ) получается путем применения обратного преобразования Лапласа к ${\mathcal {L}}\{f(t)\}.$

Обратите внимание, что если все начальные условия равны нулю, т.е.

$f^{(i)}(0)=c_{i}=0\quad \forall i\in \{0,1,2,...\ n\}$

тогда формула упрощается до

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{{\mathcal {L}}\{\phi (t)\} \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}\right\}$

Пример

Мы хотим решить

$f''(t)+4f(t)=\sin(2t)$

с начальными условиями f (0) = 0 и f′ (0)=0.

Мы отмечаем, что

$\phi (t)=\sin(2t)$

и мы получаем

${\mathcal {L}}\{\phi (t)\}={\frac {2}{s^{2}+4}}$

Тогда уравнение эквивалентно

$s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4{\mathcal {L}}\{f(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}$

Мы делаем вывод

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={\frac {2}{(s^{2}+4)^{2}}}$

Теперь применим обратное преобразование Лапласа, чтобы получить

$f(t)={\frac {1}{8}}\sin(2t)-{\frac {t}{4}}\cos(2t)$

Библиография

• А. Д. Полянин, Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Chapman & Hall/CRC Press, Бока-Ратон, 2002. ISBN   1-58488-299-9