Обратное преобразование Лапласа

В математике обратное Лапласа функции преобразование $F(s)$ есть кусочно- непрерывная и экспоненциально ограниченная ^{[ нужны разъяснения ]} реальная функция $f(t)$ который имеет свойство:

{\mathcal {L}}\{f\}(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=F(s),

где ${\mathcal {L}}$ обозначает преобразование Лапласа .

Можно доказать, что если функция $F(s)$ имеет обратное преобразование Лапласа $f(t)$ , затем $f(t)$ определяется однозначно (считая функции, отличающиеся друг от друга только на множестве точек, имеющем меру Лебега одинаковую нулевую ). Этот результат был впервые доказан Матиасом Лерхом в 1903 году и известен как теорема Лерха. ^[1]^[2]

и Преобразование Лапласа обратное преобразование Лапласа вместе обладают рядом свойств, которые делают их полезными для анализа линейных динамических систем .

Обратная формула Меллина [ править ]

Интегральная формула для обратного преобразования Лапласа , называемая обратной формулой Меллина , Бромвича интегралом или Фурье - Меллина интегралом , задается линейным интегралом :

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds

где интегрирование производится по вертикальной линии $Re(s)=\gamma$ в комплексной плоскости такой, что $\gamma$ больше действительной части особенностей всех $F(s)$ и $F(s)$ ограничен на линии, например, если контурный путь находится в области схождения . Если все особенности находятся в левой полуплоскости или $F(s)$ является целой функцией , то $\gamma$ может быть установлено равным нулю, и приведенная выше обратная интегральная формула становится идентичной обратному преобразованию Фурье .

На практике вычисление комплексного интеграла можно выполнить с помощью теоремы Коши о вычетах .

Формула инверсии Поста [ править ]

Формула обращения Поста для преобразований Лапласа , названная в честь Эмиля Поста , ^[3] — это простая на вид, но обычно непрактичная формула для вычисления обратного преобразования Лапласа.

Формулировка формулы следующая: Пусть $f(t)$ — непрерывная функция на интервале $[0,\infty )$ экспоненциального порядка, т.е.

\sup _{t>0}{\frac {f(t)}{e^{bt}}}<\infty

для некоторого действительного числа $b$ . Тогда для всех $s>b$ , преобразование Лапласа для $f(t)$ существует и бесконечно дифференцируемо по $s$ . Кроме того, если $F(s)$ — преобразование Лапласа $f(t)$ , то обратное преобразование Лапласа $F(s)$ дается

f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(t)=\lim _{k\to \infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}\left({\frac {k}{t}}\right)^{k+1}F^{(k)}\left({\frac {k}{t}}\right)

для $t>0$ , где $F^{(k)}$ это $k$ -я производная от $F$ относительно $s$ .

Как видно из формулы, необходимость оценивать производные сколь угодно высоких порядков делает эту формулу непрактичной для большинства целей.

С появлением мощных персональных компьютеров основные усилия по использованию этой формулы были связаны с аппроксимациями или асимптотическим анализом обратного преобразования Лапласа с использованием дифференциального интеграла Грюнвальда – Летникова для оценки производных.

Инверсия Поста привлекла интерес благодаря развитию вычислительной науки и тому факту, что нет необходимости знать, где полюса находятся $F(s)$ ложь, которые позволяют вычислить асимптотическое поведение для больших $x$ использование обратных преобразований Меллина для нескольких арифметических функций, связанных с гипотезой Римана .

Программные инструменты [ править ]

InverseLaplaceTransform выполняет символические обратные преобразования в системе Mathematica.
Численное обращение преобразования Лапласа с кратной точностью с использованием комплексной области в Mathematica дает численные решения ^[4]
ilaplace выполняет символические обратные преобразования в MATLAB
Численное обращение преобразований Лапласа в Matlab
Численное обращение преобразований Лапласа на основе концентрированных матрично-экспоненциальных функций в Matlab

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Коэн, AM (2007). «Формулы обращения и практические результаты». Численные методы инверсии преобразования Лапласа . Численные методы и алгоритмы. Том. 5. С. 23–44. дои : 10.1007/978-0-387-68855-8_2 . ISBN 978-0-387-28261-9 .
^ Лерх, М. (1903). «Об одном пункте теории производящих функций Абеля» . Акта Математика . 27 :339–351. дои : 10.1007/BF02421315 . hdl : 10338.dmlcz/501554 .
^ Пост, Эмиль Л. (1930). «Обобщенная дифференциация» . Труды Американского математического общества . 32 (4): 723–781. дои : 10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN 0002-9947 .
^ Абате, Дж.; Валько, ПП (2004). «Обращение преобразования Лапласа многоточечной точности». Международный журнал численных методов в технике . 60 (5): 979. Бибкод : 2004IJNME..60..979A . дои : 10.1002/nme.995 . S2CID 119889438 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Дэвис, Б.Дж. (2002), Интегральные преобразования и их приложения (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95314-4
Манжиров А.В.; Полянин, Андрей Д. (1998), Справочник интегральных уравнений , Лондон: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3
Боас, Мэри (1983), Математические методы в физических науках , John Wiley & Sons , стр. 662 , ISBN 0-471-04409-1 (стр. 662 или выполните поиск по указателю «Интеграл Бромвича», хорошее объяснение, показывающее связь с преобразованием Фурье)
Виддер, Д.В. (1946), Преобразование Лапласа , Princeton University Press
Элементарное обращение преобразования Лапласа . Брайан, Курт. По состоянию на 14 июня 2006 г.

Внешние ссылки [ править ]

Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.

Эта статья включает в себя материал из обратной формулы Меллина на PlanetMath , которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Коэн, AM (2007). «Формулы обращения и практические результаты». Численные методы инверсии преобразования Лапласа . Численные методы и алгоритмы. Том. 5. С. 23–44. дои : 10.1007/978-0-387-68855-8_2 . ISBN 978-0-387-28261-9 .

[2] Лерх, М. (1903). «Об одном пункте теории производящих функций Абеля» . Акта Математика . 27 :339–351. дои : 10.1007/BF02421315 . hdl : 10338.dmlcz/501554 .

[Post1930-3] Пост, Эмиль Л. (1930). «Обобщенная дифференциация» . Труды Американского математического общества . 32 (4): 723–781. дои : 10.1090/S0002-9947-1930-1501560-X . ISSN 0002-9947 .

[4] Абате, Дж.; Валько, ПП (2004). «Обращение преобразования Лапласа многоточечной точности». Международный журнал численных методов в технике . 60 (5): 979. Бибкод : 2004IJNME..60..979A . дои : 10.1002/nme.995 . S2CID 119889438 .

[1]

[2]

[3]

[4]