Формула суммирования Пуассона

В математике формула суммирования Пуассона это уравнение, которое связывает ряда Фурье коэффициенты периодического суммирования функции — функции со значениями непрерывного преобразования Фурье . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется суммированием Пуассона .

Формы уравнения

Рассмотрим апериодическую функцию $s(x)$ с преобразованием Фурье ${\textstyle S(f)\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi fx}\,dx,}$ альтернативно обозначенный ${\hat {s}}(f)$ и ${\mathcal {F}}\{s\}(f).$

Основная формула суммирования Пуассона:

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k).$$

( Уравнение 1 )

Также рассмотрим периодические функции, где параметры $T>0$ и $P>0$ находятся в тех же единицах, что и $x$:

$$s_{_{P}}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x+nP)\quad {\text{and}}\quad S_{1/T}(f)\triangleq \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T).$$

Тогда уравнение 1 является частным случаем (P=1, x=0) этого обобщения:

$$s_{_{P}}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\underbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} _{S[k]}\ e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},$$

( Уравнение 2 )

которое представляет собой разложение в ряд Фурье с коэффициентами, которые являются выборками функции $S(f).$ Сходным образом:

$$S_{1/T}(f)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\underbrace {T\cdot s(nT)} _{s[n]}\ e^{-i2\pi nTf},$$

( Уравнение 3 )

также известный как важное преобразование Фурье дискретного времени .

Выводы

Доказательство можно найти либо у Пински. или Зигмунд. Уравнение 2 , например, справедливо в том смысле, что если $s(x)\in L_{1}(\mathbb {R} )$, то правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье левой части. следует Из теоремы о доминируемой сходимости , что $s_{_{P}}(x)$ существует и конечен почти для любого $x$. Далее следует, что $s_{_{P}}$ интегрируемо на любом интервале длины $P.$ Поэтому достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье $s_{_{P}}(x)$ являются ${\textstyle {\frac {1}{P}}S\left({\frac {k}{P}}\right).}$ Исходя из определения коэффициентов Фурье имеем:

$${\begin{aligned}S[k]\ &\triangleq \ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}s_{_{P}}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\int _{0}^{P}\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(x\pm nP)\right)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx\\&=\ {\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{0}^{P}s(x\pm nP)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx,\end{aligned}}$$

где замена суммирования с интегрированием снова оправдана преобладающей сходимостью. С заменой переменных ( $\tau =x+nP$) это становится:

$${\begin{aligned}S[k]={\frac {1}{P}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\int _{nP}^{nP+P}s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }\ \underbrace {e^{i2\pi kn}} _{1}\,d\tau \ =\ {\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(\tau )\ e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}\tau }d\tau \triangleq {\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)\end{aligned}}$$

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений для функции $s$ все производные которого быстро убывают (см. функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай Теорема о свертке об умеренных распределениях ,используя гребенчатое распределение Дирака и его ряд Фурье :

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x\pm nT)\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\cdot e^{\pm i2\pi {\frac {k}{T}}x}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {1}{T}}\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f\pm k/T).$$

Другими словами, периодизация дельты Дирака $\delta ,$ в результате чего получается гребенка Дирака , что соответствует дискретизации его спектра, который постоянно равен единице.Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями.

Для случая $T=1,$ Уравнение 1 легко следует:

$${\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ e^{-i2\pi kx}dx\right)=\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\underbrace {\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}\right)} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(\int _{-\infty }^{\infty }s(x)\ \delta (x-n)\ dx\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n).\end{aligned}}$$

Сходным образом:

$${\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f+k/T)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}\right\}\\&={\mathcal {F}}{\bigg \{}s(x)\underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi {\frac {k}{T}}x}} _{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)}{\bigg \}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot {\mathcal {F}}\left\{\delta (x-nT)\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot e^{-i2\pi nTf}.\end{aligned}}$$

Или:

$${\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }S(f-k/T)&=S(f)*\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (f-k/T)\\&=S(f)*{\mathcal {F}}\left\{T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}\\&={\mathcal {F}}\left\{s(x)\cdot T\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-nT)\right\}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }T\cdot s(nT)\cdot \delta (x-nT)\right\}\quad {\text{as above}}.\end{aligned}}$$

Формулу суммирования Пуассона можно также доказать вполне концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями, такими как

$$0\to \mathbb {Z} \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \to 0.$$

Применимость

Уравнение 2 сохраняется при условии $s(x)$ — непрерывная интегрируемая функция , удовлетворяющая условию

$$|s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-1-\delta }$$

для некоторых $C>0,\delta >0$ и каждый $x.$ Обратите внимание, что такой $s(x)$ является равномерно непрерывным , это вместе с предположением о распаде $s$, покажите, что ряд, определяющий $s_{_{P}}$ сходится равномерно к непрерывной функции. Уравнение 2 справедливо в строгом смысле, что обе части сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу.

Уравнение 2 выполняется в поточечном смысле при строго более слабом предположении, что $s$ имеет ограниченную вариацию и

$$2\cdot s(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}s(x+\varepsilon )+\lim _{\varepsilon \to 0}s(x-\varepsilon ).$$

Ряд Фурье в правой части уравнения 2 тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, уравнение 2 справедливо при гораздо менее ограничительном предположении, что $s(x)$ находится в $L^{1}(\mathbb {R} )$, но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье $s_{_{P}}(x).$ В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, рассматривая методы суммирования, такие как суммирование Чезаро . При такой интерпретации сходимости (уравнение 2) учитывается случай $x=0,$ выполняется при менее ограничительных условиях, которые $s(x)$ интегрируема и 0 является точкой непрерывности $s_{_{P}}(x)$. Однако уравнение 2 может не выполняться, даже если оба $s$ и $S$ интегрируемы и непрерывны, а суммы сходятся абсолютно.

Приложения

Метод изображений

В уравнениях в частных производных формула суммирования Пуассона дает строгое обоснование фундаментального решения уравнения теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей методом изображений . Здесь тепловое ядро ​​включено $\mathbb {R} ^{2}$ известно, а значение прямоугольника определяется путем взятия периодизации. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей. В одном измерении полученное решение называется тета-функцией .

В электродинамике метод также используется для ускорения вычисления периодических функций Грина .

Выборка

При статистическом исследовании временных рядов, если $s$ является функцией времени, то рассмотрение только ее значений в равноотстоящие друг от друга моменты времени называется «выборкой». В приложениях обычно функция $s$ ограничен полосой частот , что означает наличие некоторой частоты среза $f_{o}$ такой, что $S(f)$ равен нулю для частот, превышающих границу среза: $S(f)=0$ для $|f|>f_{o}.$ Для функций с ограниченной полосой частот выбор частоты дискретизации ${\tfrac {1}{T}}>2f_{o}$ гарантирует, что никакая информация не будет потеряна: поскольку $S$ могут быть восстановлены по этим выборочным значениям. Тогда, посредством обращения Фурье, можно $s.$ Это приводит к теореме выборки Найквиста-Шеннона .

Эвальда

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящаяся сумма в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящуюся эквивалентную сумму в пространстве Фурье. (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея суммирования Эвальда .

Приближения интегралов

Формула суммирования Пуассона также полезна для оценки ошибок, получаемых при аппроксимации интеграла суммой (Римана). Рассмотрим приближение ${\textstyle S(0)=\int _{-\infty }^{\infty }dx\,s(x)}$ как ${\textstyle \delta \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(n\delta )}$, где $\delta \ll 1$ это размер контейнера. Тогда согласно уравнению 2 это приближение совпадает с ${\textstyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }S(k/\delta )}$. Тогда ошибка аппроксимации может быть оценена как ${\textstyle \left|\sum _{k\neq 0}S(k/\delta )\right|\leq \sum _{k\neq 0}|S(k/\delta )|}$. Это особенно полезно, когда преобразование Фурье $s(x)$ быстро затухает, если $1/\delta \gg 1$.

Точки решетки внутри сферы

Формула суммирования Пуассона может быть использована для вывода асимптотической формулы Ландау для количества точек решетки внутри большой евклидовой сферы. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция $s$ и $S$ оба имеют компактную поддержку тогда $s=0.$

Теория чисел

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана .

Одно из важных применений суммирования Пуассона касается тэта-функций : периодического суммирования гауссиан. Помещать $q=e^{i\pi \tau }$, для $\tau$ комплексное число в верхней полуплоскости и определим тета-функцию:

$$\theta (\tau )=\sum _{n}q^{n^{2}}.$$

Отношения между $\theta (-1/\tau )$ и $\theta (\tau )$ оказывается важным для теории чисел, поскольку такого рода отношение является одним из определяющих свойств модулярной формы . Выбрав $s(x)=e^{-\pi x^{2}}$ и используя тот факт, что $S(f)=e^{-\pi f^{2}},$ можно сделать вывод:

$$\theta \left({-1 \over \tau }\right)={\sqrt {\tau \over i}}\theta (\tau ),$$

поставив ${1/\lambda }={\sqrt {\tau /i}}.$

Из этого следует, что $\theta ^{8}$ имеет простое свойство преобразования при $\tau \mapsto {-1/\tau }$ и это можно использовать для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выразить целое число в виде суммы восьми полных квадратов.

Сферические упаковки

Кон и Элкис доказал верхнюю границу плотности упаковок сфер с использованием формулы суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальных упаковок сфер в размерности 8 и 24.

Другое

• Позволять $s(x)=e^{-ax}$ для $0\leq x$ и $s(x)=0$ для $x<0$ получить
  $$\coth(x)=x\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}={\frac {1}{x}}+2x\sum _{n\in \mathbb {Z} _{+}}{\frac {1}{x^{2}+\pi ^{2}n^{2}}}.$$
• Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тэта-функции.
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может быть использована для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди.
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса.

Обобщения

Формула суммирования Пуассона справедлива в евклидовом пространстве произвольной размерности. Позволять $\Lambda$ быть решёткой в $\mathbb {R} ^{d}$ состоящая из точек с целочисленными координатами. Для функции $s$ в $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$, рассмотрим ряд, полученный суммированием трансляций $s$ элементами $\Lambda$:

$$\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu ).$$

Теорема для $s$ в $L^{1}(\mathbb {R} ^{d})$, приведенный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию $\mathbb {P} s$ на $\Lambda .$  $\mathbb {P} s$ лежит в $L^{1}$ с $\|\mathbb {P} s\|_{1}\leq \|s\|_{1}.$
Более того, для всех $\nu$ в $\Lambda ,$  $\mathbb {P} S(\nu )$ (преобразование Фурье $\Lambda$) равно $S(\nu )$ (преобразование Фурье $\mathbb {R} ^{d}$).

Когда $s$ кроме того, непрерывен, и оба $s$ и $S$ достаточно быстро затухают на бесконечности, то можно «обратить» домен обратно в $\mathbb {R} ^{d}$ и сделать более сильное заявление. Точнее, если

$$|s(x)|+|S(x)|\leq C(1+|x|)^{-d-\delta }$$

для некоторых C , δ > 0, то

$$\sum _{\nu \in \Lambda }s(x+\nu )=\sum _{\nu \in \Lambda }S(\nu )e^{i2\pi x\cdot \nu },$$

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает уравнение 1, приведенное выше.

В более общем смысле, версия утверждения справедлива, если Λ заменить более общей решеткой в $\mathbb {R} ^{d}$. Двойственная решетка Λ' может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или, альтернативно, с помощью двойственности Понтрягина . Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ' снова являются преобразованиями Фурье как распределениями, подлежащими правильной нормализации.

Это применяется в теории тэта-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в регионах он обычно используется: суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это именно вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что нужно, а правая часть - это то, что нужно. можно атаковать с помощью математического анализа .

Формула трассы Сельберга

Основная статья: формула следа Сельберга

дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы требуется В теории чисел . В некоммутативном гармоническом анализе идея развивается еще дальше в формуле следа Сельберга, но приобретает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона на преобразование Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах. $G$ с дискретной подгруппой $\Gamma$ такой, что $G/\Gamma$ имеет конечный объем. Например, $G$ могут быть реальными точками $SL_{n}$ и $\Gamma$ могут быть неотъемлемыми точками $SL_{n}$. В этой обстановке $G$ играет роль прямой числовой линии в классической версии суммирования Пуассона, а $\Gamma$ играет роль целых чисел $n$ которые появляются в сумме. Обобщенная версия суммирования Пуассона называется формулой следов Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма. Левая часть уравнения 1 становится суммой по неприводимым унитарным представлениям $G$, и называется «спектральной стороной», а правая часть становится суммой по классам сопряженности $\Gamma$, и называется «геометрической стороной».

Формула суммирования Пуассона является образцом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

Теорема

См. Также: Теорема о свертке § Теорема о свертке для умеренных распределений.

Формула суммирования Пуассона является частным случаем теоремы о свертке об умеренных распределениях . Если одним из двух факторов является гребенка Дирака , получается периодическое суммирование с одной стороны и выборка с другой стороны уравнения. Применительно к дельта-функции Дирака и ее преобразованию Фурье , функции, которая постоянно равна 1, это дает тождество гребенки Дирака .

См. также

• Анализ Фурье § Резюме
• Формула обращения Поста
• Формула Вороного
• Преобразование Фурье дискретного времени
• Явные формулы для L-функций

Ссылки

Дальнейшее чтение

• Бенедетто, Джей-Джей; Циммерманн, Г. (1997), «Множители выборки и формула суммирования Пуассона» , J. Fourier Anal. Прил. , 3 (5): 505–523, doi : 10.1007/BF02648881 , заархивировано из оригинала 24 мая 2011 г. , получено 19 июня 2008 г.
• Гаске, Клод; Витомски, Патрик (1999), Анализ Фурье и его приложения , Springer, стр. 344–352, ISBN  0-387-98485-2
• Хиггинс, младший (1985), «Пять рассказов о кардинальном сериале» , Bull. амер. Математика. Соц. , 12 (1): 45–89, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15293-0