Формула суммирования Пуассона

В математике формула суммирования Пуассона это уравнение, которое связывает ряда Фурье коэффициенты периодического суммирования функции функции со значениями непрерывного преобразования Фурье . Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется суммированием Пуассона .

Формы уравнения [ править ]

Рассмотрим апериодическую функцию с преобразованием Фурье альтернативно обозначенный и

Основная формула суммирования Пуассона:

( Уравнение 1 )

Также рассмотрим периодические функции, где параметры и находятся в тех же единицах, что и :

Тогда уравнение 1 является частным случаем (P=1, x=0) этого обобщения: [1] [2]

( Уравнение 2 )

которое представляет собой разложение в ряд Фурье с коэффициентами, которые являются выборками функции Сходным образом:

( Уравнение 3 )

также известный как важное преобразование Фурье дискретного времени .

Выводы

Доказательство можно найти либо у Пински. [1] или Зигмунд. [2] Уравнение 2 , например, справедливо в том смысле, что если , то правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье левой части. следует Из теоремы о доминируемой сходимости , что существует и конечен почти для любого . Далее следует, что интегрируемо на любом интервале длины Поэтому достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье являются Исходя из определения коэффициентов Фурье имеем:

где замена суммирования с интегрированием снова оправдана преобладающей сходимостью. С заменой переменных ( ) это становится:

Распределительная формулировка

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений [3] [4] : §7.2  для функции все производные которого быстро убывают (см. функцию Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай Теорема о свертке об умеренных распределениях ,используя гребенчатое распределение Дирака и его ряд Фурье :

Другими словами, периодизация дельты Дирака в результате чего получается гребенка Дирака , что соответствует дискретизации его спектра, который постоянно равен единице.Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями.

Для случая Уравнение 1 легко следует:

Сходным образом:

Или: [5] : 143 

Формулу суммирования Пуассона можно также доказать вполне концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями, такими как [6]

Применимость [ править ]

Уравнение 2 сохраняется при условии — непрерывная интегрируемая функция , удовлетворяющая условию

для некоторых и каждый [7] [8] Обратите внимание, что такой является равномерно непрерывным , это вместе с предположением о распаде , покажите, что ряд, определяющий сходится равномерно к непрерывной функции. Уравнение 2 справедливо в строгом смысле, что обе части сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу. [8]

Уравнение 2 выполняется в поточечном смысле при строго более слабом предположении, что имеет ограниченную вариацию и [2]

Ряд Фурье в правой части уравнения 2 тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, уравнение 2 справедливо при гораздо менее ограничительном предположении, что находится в , но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть представляет собой (возможно, расходящийся) ряд Фурье [2] В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, рассматривая методы суммирования, такие как суммирование Чезаро . При такой интерпретации сходимости (уравнение 2) учитывается случай выполняется при менее ограничительных условиях, которые интегрируема и 0 является точкой непрерывности . Однако уравнение 2 может не выполняться, даже если оба и интегрируемы и непрерывны, а суммы сходятся абсолютно. [9]

Приложения [ править ]

Метод изображений [ править ]

В уравнениях в частных производных формула суммирования Пуассона дает строгое обоснование фундаментального решения уравнения теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей методом изображений . Здесь тепловое ядро ​​включено известно, а значение прямоугольника определяется путем взятия периодизации. Формула суммирования Пуассона аналогичным образом обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей. [7] В одном измерении полученное решение называется тета-функцией .

В электродинамике метод также используется для ускорения вычисления периодических функций Грина . [10]

Выборка [ править ]

При статистическом исследовании временных рядов, если является функцией времени, то рассмотрение только ее значений в равноотстоящие друг от друга моменты времени называется «выборкой». В приложениях обычно функция ограничен полосой частот , что означает наличие некоторой частоты среза такой, что равен нулю для частот, превышающих границу среза: для Для функций с ограниченной полосой частот выбор частоты дискретизации гарантирует, что никакая информация не будет потеряна: поскольку могут быть восстановлены по этим выборочным значениям. Тогда, посредством обращения Фурье, можно Это приводит к теореме выборки Найквиста-Шеннона . [1]

Эвальда Суммирование

В вычислительном отношении формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящаяся сумма в реальном пространстве гарантированно преобразуется в быстро сходящуюся эквивалентную сумму в пространстве Фурье. [11] (Широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот.) Это основная идея суммирования Эвальда .

Приближения интегралов [ править ]

Формула суммирования Пуассона также полезна для оценки ошибок, получаемых при аппроксимации интеграла суммой (Римана). Рассмотрим приближение как , где это размер контейнера. Тогда согласно уравнению 2 это приближение совпадает с . Тогда ошибка аппроксимации может быть оценена как . Это особенно полезно, когда преобразование Фурье быстро затухает, если .

Точки решетки внутри сферы [ править ]

Формула суммирования Пуассона может быть использована для вывода асимптотической формулы Ландау для количества точек решетки внутри большой евклидовой сферы. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция и оба имеют компактную поддержку тогда [1]

Теория чисел [ править ]

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана . [12]

Одно из важных применений суммирования Пуассона касается тэта-функций : периодического суммирования гауссиан. Помещать , для комплексное число в верхней полуплоскости и определим тета-функцию:

Отношения между и оказывается важным для теории чисел, поскольку такого рода отношение является одним из определяющих свойств модулярной формы . Выбрав и используя тот факт, что можно сделать вывод:

поставив

Из этого следует, что имеет простое свойство преобразования при и это можно использовать для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выразить целое число в виде суммы восьми полных квадратов.

Сферические упаковки [ править ]

Кон и Элкис [13] доказал верхнюю границу плотности упаковок сфер с использованием формулы суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимальных упаковок сфер в размерности 8 и 24.

Другое [ править ]

  • Позволять для и для получить
  • Его можно использовать для доказательства функционального уравнения для тэта-функции.
  • Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может быть использована для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана Харди. [ нужны разъяснения ]
  • Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса.

Обобщения [ править ]

Формула суммирования Пуассона справедлива в евклидовом пространстве произвольной размерности. Позволять быть решёткой в состоящая из точек с целочисленными координатами. Для функции в , рассмотрим ряд, полученный суммированием трансляций элементами :

Теорема для в , приведенный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию на   лежит в с
Более того, для всех в   (преобразование Фурье ) равно (преобразование Фурье ).

Когда кроме того, непрерывен, и оба и достаточно быстро затухают на бесконечности, то можно «обратить» домен обратно в и сделать более сильное заявление. Точнее, если

для некоторых C , δ > 0, то [8] : VII §2

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает уравнение 1, приведенное выше.

В более общем смысле, версия утверждения справедлива, если Λ заменить более общей решеткой в . Двойственная решетка Λ' может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или, альтернативно, с помощью двойственности Понтрягина . Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ' снова являются преобразованиями Фурье как распределениями, подлежащими правильной нормализации.

Это применяется в теории тэта-функций и является возможным методом в геометрии чисел . Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в регионах он обычно используется: суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это именно вопрос, так что левая часть формулы суммирования - это то, что нужно, а правая часть - это то, что нужно. можно атаковать с помощью математического анализа .

Формула трассы Сельберга [ править ]

дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы требуется В теории чисел . В некоммутативном гармоническом анализе идея развивается еще дальше в формуле следа Сельберга, но приобретает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг , Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона на преобразование Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах. с дискретной подгруппой такой, что имеет конечный объем. Например, могут быть реальными точками и могут быть неотъемлемыми точками . В этой обстановке играет роль прямой числовой линии в классической версии суммирования Пуассона, а играет роль целых чисел которые появляются в сумме. Обобщенная версия суммирования Пуассона называется формулой следов Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма. Левая часть уравнения 1 становится суммой по неприводимым унитарным представлениям , и называется «спектральной стороной», а правая часть становится суммой по классам сопряженности , и называется «геометрической стороной».

Формула суммирования Пуассона является образцом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

Теорема о свертке

Формула суммирования Пуассона является частным случаем теоремы о свертке об умеренных распределениях . Если одним из двух факторов является гребенка Дирака , получается периодическое суммирование с одной стороны и выборка с другой стороны уравнения. Применительно к дельта-функции Дирака и ее преобразованию Фурье , функции, которая постоянно равна 1, это дает тождество гребенки Дирака .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и вейвлеты. , Брукс Коул, ISBN  978-0-534-37660-4
  2. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д Зигмунд, Антони (1968), Тригонометрическая серия (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN  978-0-521-35885-9
  3. ^ Кордова, А., «Суммарная формула Пуассона», Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I , 306 : 373–376.
  4. ^ Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035
  5. ^ Оппенгейм, Алан В .; Шафер, Рональд В .; Бак, Джон Р. (1999). Дискретная обработка сигналов (2-е изд.). Река Аппер-Седл, Нью-Джерси: Прентис-Холл. ISBN  0-13-754920-2 . образцы преобразования Фурье апериодической последовательности x[n] можно рассматривать как коэффициенты DFS периодической последовательности, полученные путем суммирования периодических реплик x[n].
  6. ^ Дейтмар, Антон; Эхтерхофф, Зигфрид (2014), Принципы гармонического анализа , Universitext (2-е изд.), doi : 10.1007/978-3-319-05792-7 , ISBN  978-3-319-05791-0
  7. Перейти обратно: Перейти обратно: а б Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN  0-13-035399-Х
  8. Перейти обратно: Перейти обратно: а б с Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9
  9. ^ Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (второе исправленное издание), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc, ISBN  0-486-63331-4
  10. ^ Кинайман, Ноян; Аксун, МИ (1995). «Сравнительное исследование методов ускорения интегралов и рядов в задачах электромагнетизма». Радионаука . 30 (6): 1713–1722. Бибкод : 1995RaSc...30.1713K . дои : 10.1029/95RS02060 . hdl : 11693/48408 .
  11. ^ Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Академическое издательство, с. 36.
  12. ^ HM Эдвардс (1974). Дзета-функция Римана . Академик Пресс, стр. 209–11. ISBN   0-486-41740-9 .
  13. ^ Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), «Новые верхние границы сферических упаковок I», Ann. математики. , 2, 157 (2): 689–714, arXiv : math/0110009 , doi : 10.4007/annals.2003.157.689 , MR   1973059

Дальнейшее чтение [ править ]