Метод изображений

Метод изображений (или метод зеркальных изображений ) — математический инструмент решения дифференциальных уравнений , в котором граничные условия удовлетворяются путем объединения решения, не ограниченного граничными условиями, с его возможно взвешенным зеркальным изображением. Как правило, исходные особенности находятся внутри интересующей области, но функция создается для удовлетворения граничных условий путем размещения дополнительных особенностей за пределами интересующей области. Обычно местоположения этих дополнительных особенностей определяются как виртуальное местоположение исходных особенностей, если смотреть в зеркало, расположенное в месте граничных условий. Чаще всего зеркало представляет собой гиперплоскость или гиперсферу .

Метод изображений также можно использовать при решении дискретных задач с граничными условиями, например при подсчете количества ограниченных дискретных случайных блужданий .

Метод оплаты имиджа

Метод изображений зарядов используется в электростатике для простого расчета или визуализации распределения электрического поля заряда вблизи проводящей поверхности. Он основан на том, что тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности проводника равна нулю и что электрическое поле Е в некоторой области однозначно определяется его нормальной составляющей над поверхностью, ограничивающей эту область ( теорема единственности ). ^[1]

Системы магнит-сверхпроводник

Метод изображений может быть использован и в магнитостатике для расчета магнитного поля магнита, находящегося вблизи сверхпроводящей поверхности. Сверхпроводник , в так называемом мейснеровском состоянии представляет собой идеальный диамагнетик в который не проникает магнитное поле. Поэтому нормальная составляющая магнитного поля на его поверхности должна быть равна нулю. Затем изображение магнита должно быть зеркальным. Поэтому сила между магнитом и сверхпроводящей поверхностью является отталкивающей.

По сравнению со случаем диполя заряда над плоской проводящей поверхностью зеркальный вектор намагниченности можно рассматривать как результат дополнительной смены знака аксиального вектора .

Для учета явления закрепления магнитного потока в сверхпроводниках II рода метод замороженного зеркального изображения . можно использовать ^[2]

Массовый перенос в потоках окружающей среды с небесконечными областями

Инженеры-экологи часто интересуются отражением (а иногда и поглощением) шлейфа загрязняющих веществ от непроницаемой (без потока) границы. Быстрый способ смоделировать это отражение — использовать метод изображений.

Отражения, или изображения , ориентированы в пространстве так, что они идеально заменяют любую массу (из реального шлейфа), проходящую через заданную границу. ^[3] Единственная граница потребует одного изображения. Две или более границ создают бесконечные изображения. Однако для целей моделирования массового переноса, такого как распространение разлива загрязняющих веществ в озере, может оказаться ненужным включать бесконечный набор изображений, когда существует несколько соответствующих границ. Например, чтобы представить отражение в пределах определенного порога физической точности, можно включить только первичное и вторичное изображения.

Самый простой случай — это единственная граница в одномерном пространстве. В этом случае возможно только одно изображение. Если по прошествии времени масса приближается к границе, то изображение может соответствующим образом описать отражение этой массы обратно через границу.

Другой простой пример — единственная граница в двумерном пространстве. Опять же, поскольку существует только одна граница, необходимо только одно изображение. Это описывает дымовую трубу, выбросы которой «отражаются» в атмосфере от непроницаемой земли и в остальном практически неограниченны.

Наконец, мы рассматриваем выброс массы в одномерном пространстве, ограниченном слева и справа непроницаемыми границами. Есть два основных изображения, каждое из которых заменяет массу исходного выброса, отражающегося через каждую границу. Есть два вторичных изображения, каждое из которых заменяет массу одного из первичных изображений, протекающую через противоположную границу. Также существуют два третичных изображения (замещающие массу, потерянную вторичными изображениями), два четвертичных изображения (замещающие массу, потерянную третичными изображениями) и так до бесконечности.

Для данной системы, когда все изображения тщательно ориентированы, поле концентрации определяется суммированием массовых выбросов ( истинный шлейф в дополнение ко всем изображениям) в пределах заданных границ. Это поле концентрации физически точно только в пределах границ; поле за пределами границ нефизическое и не имеет значения для большинства инженерных целей.

Математика для непрерывных случаев

Этот метод представляет собой частное применение функций Грина . ^{[ нужна ссылка ]} Метод изображений хорошо работает, когда граница представляет собой плоскую поверхность, а распределение имеет геометрический центр. Это позволяет просто зеркально отразить распределение, удовлетворяющее множеству граничных условий. Рассмотрим простой одномерный случай, показанный на рисунке, где имеется распределение $\langle c\rangle$ как функция $x$ и единственная граница, расположенная в $x_{b}$ с реальным доменом таким, что $x\geq x_{b}$ и домен изображения $x<x_{b}$ . Рассмотрим решение $f(\pm x+x_{0},t)$ удовлетворять линейному дифференциальному уравнению для любого $x_{0}$ , но не обязательно граничное условие.

Обратите внимание, что эти распределения типичны для моделей, предполагающих распределение Гаусса . Это особенно распространено в экологической инженерии, особенно в атмосферных потоках, в которых используются модели гауссова шлейфа .

Идеально отражает граничные условия

Математическая формулировка идеально отражающего граничного условия выглядит следующим образом: $\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =0$

Это означает, что производная нашей скалярной функции $y$ не будет иметь производной по нормали к стенке. В случае 1D это упрощается до: ${\frac {d\langle c\rangle }{dx}}=0$

Это условие обеспечивается с помощью позитивных изображений, так что: ^{[ нужна ссылка ]} $\langle c\rangle =f(x-x_{0},t)+f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)$ где $-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b}))$ переводит и отражает изображение на место. Взяв производную по $x$ : $\left.{\frac {d\langle c\rangle }{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x-x_{0},t)}{dx}}\right|_{x_{b}}+\left.{\frac {df(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)}{dx}}\right|_{x_{b}}=\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}-\left.{\frac {df(x,t)}{dx}}\right|_{x_{b}-x_{0}}=0$

Таким образом, идеально отражающее граничное условие удовлетворяется.

Идеально поглощающие граничные условия

Формулировка идеально поглощающего граничного условия выглядит следующим образом: ^{[ нужна ссылка ]} $y(x_{b})=0$

Это условие реализуется с помощью отрицательного зеркального отображения: $\langle c\rangle =f(x-x_{0},t)-f(-x+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)$

И: $\langle c\rangle {\bigg |}_{x_{b}}=f(x_{b}-x_{0},t)-f(-x_{b}+(x_{b}-(x_{0}-x_{b})),t)=f(x_{b}-x_{0},t)-f(x_{b}-x_{0},t)=0$

Таким образом, это граничное условие также удовлетворяется.

Математика для дискретных случаев

Метод изображений можно использовать в дискретных случаях. Например, количество случайных блужданий, которые начинаются в позиции $0$ , делают шаги размера $\pm1$ , продолжаются в общей сложности $n$ шагов и заканчиваются в позиции $k$ , определяется биномиальным коэффициентом. ${\binom {n}{(n+k)/2}}$ предполагая, что $| к | \leq n$ и $n + k$ четно. Предположим, у нас есть граничное условие, согласно которому пешеходам запрещено переходить к $-1$ на любой части маршрута. Количество ограниченных прогулок можно вычислить, начав с количества неограниченных прогулок, которые начинаются в позиции $0$ и заканчиваются в позиции $k,$ и вычитая количество неограниченных прогулок, которые начинаются в позиции $-2$ и заканчиваются в позиции $k$ . Это связано с тем, что для любого заданного количества шагов ровно столько же неограниченных блужданий с положительным взвешиванием, сколько неограниченных обходов с отрицательным взвешиванием достигнет $-1$ ; они являются зеркальными отражениями друг друга. Таким образом, эти отрицательно взвешенные блуждания компенсируют именно те положительно взвешенные блуждания, которые запрещены нашим граничным условием.

Например, если количество шагов $n = 2 м$ , а конечное местоположение $k = 0,$ то количество ограниченных прогулок равно каталонскому числу. $C_{m}={\binom {2m}{m}}-{\binom {2m}{m+1}}\,.$

Ссылки

^ * Джей Ди Джексон (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1 .
^ Кордюк, А.А. (1998). «Магнитная левитация твердых сверхпроводников» (PDF) . Журнал прикладной физики . 83 (1): 610–611. Бибкод : 1998JAP....83..610K . дои : 10.1063/1.366648 .
^ «3.8 – Метод изображений» .

[1] * Джей Ди Джексон (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-30932-1 .

[Kordyuk-2] Кордюк, А.А. (1998). «Магнитная левитация твердых сверхпроводников» (PDF) . Журнал прикладной физики . 83 (1): 610–611. Бибкод : 1998JAP....83..610K . дои : 10.1063/1.366648 .

[3] «3.8 – Метод изображений» .

[1]

[2]

[3]