Псевдовектор

Петля из провода (черного), по которому течет ток I , создает магнитное поле B (синее). Если положение и ток провода отражаются от плоскости, обозначенной пунктирной линией, создаваемое им магнитное поле не будет отражаться: вместо этого оно будет отражаться и меняться на противоположное . Положение и ток в любой точке провода являются «истинными» векторами, но магнитное поле B является псевдовектором.

В физике и математике ( — псевдовектор или аксиальный вектор ). — это величина, которая во многих ситуациях ведет себя как вектор , но ее направление не меняется, когда объект жестко трансформируется путем вращения , перемещения , отражения и т. д. Это также может произойти при ориентации пространства изменении . Например, угловой момент является псевдовектором, потому что его часто описывают как вектор, но просто изменив положение отсчета (и изменив вектор положения ), угловой момент может изменить направление, чего не должно происходить с истинными векторами ( также известные как полярные векторы ).

Одним из примеров псевдовектора является нормаль к ориентированной плоскости . Ориентированная плоскость может быть определена двумя непараллельными векторами a и b , которые охватывают самолет. Вектор a × b является нормалью к плоскости (есть две нормали, по одной с каждой стороны — какая будет определяться правилом правой руки ), и является псевдовектором. Это имеет последствия в компьютерной графике, где это необходимо учитывать при преобразовании нормалей поверхности .В трех измерениях ротор полярного векторного поля в точке и векторное произведение двух полярных векторов являются псевдовекторами.

Ряд величин в физике, включая магнитное поле и угловую скорость , ведут себя как псевдовекторы, а не полярные векторы. В математике в трёх измерениях псевдовекторы эквивалентны бивекторам , из которых можно вывести правила преобразования псевдовекторов. В более общем смысле, в n -мерной геометрической алгебре псевдовекторы — это элементы алгебры с размерностью n − 1 , записанные ⋀ ^{п -1} Р ^н . Метку «псевдо-» можно далее обобщить на псевдоскаляры и псевдотензоры , оба из которых получают дополнительную смену знака при неправильном вращении по сравнению с истинным скаляром или тензором .

Физические примеры

Физические примеры псевдовекторов включают крутящий момент , угловая скорость , угловой момент , магнитное поле , завихренность и магнитный дипольный момент .

Каждое колесо автомобиля слева, удаляющегося от наблюдателя, имеет псевдовектор момента импульса, направленный влево. То же самое справедливо и для зеркального отображения автомобиля. Тот факт, что стрелки указывают в одном направлении, а не являются зеркальным отражением друг друга, указывает на то, что они являются псевдовекторами.

Рассмотрим псевдовекторный угловой момент L = Σ( r × p ) . Когда вы едете в автомобиле и смотрите вперед, вектор углового момента каждого из колес направлен влево. Если мир отражается в зеркале, которое меняет местами левую и правую сторону автомобиля, «отражение» этого «вектора» углового момента (рассматриваемого как обычный вектор) указывает вправо, но фактический вектор углового момента автомобиля колесо (которое все еще поворачивается вперед в отражении) по-прежнему указывает влево, что соответствует дополнительному перевороту знака в отражении псевдовектора.

Различие между полярными векторами и псевдовекторами становится важным для понимания влияния симметрии на решение физических систем . Рассмотрим петлю электрического тока в плоскости z = 0 , внутри которой создается магнитное поле, ориентированное в направлении z . Эта система симметрична (инвариантна) относительно зеркальных отражений через эту плоскость, при этом магнитное поле не изменяется при отражении. Но можно было бы ожидать, что отражение магнитного поля в виде вектора через эту плоскость повернет его вспять; это ожидание корректируется за счет понимания того, что магнитное поле представляет собой псевдовектор, а дополнительная смена знака оставляет его неизменным.

В физике псевдовекторы обычно являются результатом векторного произведения двух полярных векторов или ротора полярного векторного поля. Взаимное произведение и ротор определяются по соглашению в соответствии с правилом правой руки, но их можно было бы так же легко определить в терминах правила левой руки. Весь корпус физики, который имеет дело с (правыми) псевдовекторами и правилом правой руки, можно без проблем заменить использованием (левых) псевдовекторов и правила левой руки. Определенные таким образом (левые) псевдовекторы будут противоположны по направлению тем, которые определены правилом правой руки.

Хотя векторные отношения в физике могут быть выражены без координат, для выражения векторов и псевдовекторов в виде числовых величин требуется система координат. Векторы представлены в виде упорядоченных троек чисел: например $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$, и псевдовекторы также представлены в этом виде. При преобразовании между левой и правой системами координат представления псевдовекторов не преобразуются как векторы, и обработка их как векторных представлений приведет к неправильной смене знака, поэтому необходимо позаботиться о том, чтобы отслеживать, какие упорядоченные тройки представляют векторы, и которые представляют собой псевдовекторы. Этой проблемы не существует, если векторное произведение двух векторов заменяется внешним произведением двух векторов, что дает бивектор , который является тензором 2-го ранга и представлен матрицей 3×3. Это представление 2-тензора правильно преобразуется между любыми двумя системами координат, независимо от их направленности.

Подробности

См. Также: Ковариантность и контравариантность векторов и евклидова вектора.

Определение «вектора» в физике (включая как полярные векторы, так и псевдовекторы) более конкретное, чем математическое определение «вектора» (а именно, любого элемента абстрактного векторного пространства ). Согласно физическому определению, «вектор» должен иметь компоненты , которые «трансформируются» определенным образом при правильном вращении : в частности, если бы все во Вселенной вращалось, вектор вращался бы точно так же. (В этом обсуждении система координат фиксирована; другими словами, это перспектива активных преобразований .) Математически, если все во Вселенной подвергается вращению, описываемому матрицей вращения R , так что вектор смещения x преобразуется в x ′ = R x , то любой «вектор» v должен быть аналогичным образом преобразован в v ′ = R v . Это важное требование отличает вектор (который может состоять, например, из x- , y- и z -компонент скорости ) от любой другой тройки физических величин (например, длины, ширины и высоты). из прямоугольной коробки нельзя считать тремя компонентами вектора, поскольку вращение прямоугольника не приводит к соответствующему преобразованию этих трех компонентов.)

(На языке дифференциальной геометрии это требование эквивалентно определению вектора как тензора контравариантного ранга один. В этой более общей схеме тензоры более высокого ранга также могут иметь произвольное количество одновременно смешанных ковариантных и контравариантных рангов, обозначаются повышенными и пониженными индексами в рамках соглашения Эйнштейна о суммировании .)

Базовым и довольно конкретным примером является вектор-строка и вектор-столбец при обычном операторе матричного умножения: в одном порядке они дают скалярное произведение, которое является просто скаляром и, как таковой, тензором нулевого ранга, а в другом они дают двоичное произведение product , который представляет собой матрицу, представляющую смешанный тензор второго ранга, с одним контравариантным и одним ковариантным индексом. Таким образом, некоммутативность стандартной матричной алгебры можно использовать для отслеживания различия между ковариантными и контравариантными векторами. Фактически именно так велась бухгалтерия до того, как появилась более формальная и обобщенная тензорная нотация. Это до сих пор проявляется в том, как базисные векторы общих тензорных пространств предоставляются для практического манипулирования.

До сих пор обсуждение касалось только собственных вращений, то есть вращений вокруг оси. Однако можно также рассмотреть неправильные вращения , то есть зеркальное отражение, за которым может последовать правильное вращение. (Одним из примеров неправильного вращения является инверсия через точку в трехмерном пространстве.) Предположим, что все во Вселенной подвергается неправильному вращению, описываемому матрицей неправильного вращения R , так что вектор положения x преобразуется в x ′ = R x . Если вектор v является полярным вектором, он преобразуется в v ′ = R v . Если это псевдовектор, он будет преобразован в v ′ = − R v .

Правила преобразования полярных векторов и псевдовекторов можно компактно сформулировать как

${\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(polar vector)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}$

где символы такие, как описано выше, а матрица вращения R может быть как правильной, так и неправильной. Символ det обозначает определитель ; эта формула работает, потому что определитель правильной и неправильной матриц вращения равен +1 и -1 соответственно.

Поведение при сложении, вычитании и скалярном умножении

Предположим, что v ₁ и v ₂ — известные псевдовекторы, а v ₃ определяется как их сумма, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Если Вселенная преобразуется матрицей вращения R , то v ₃ преобразуется в

${\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}$

Таким образом, v ₃ также является псевдовектором. Аналогичным образом можно показать, что разность между двумя псевдовекторами является псевдовектором, что сумма или разность двух полярных векторов является полярным вектором, что умножение полярного вектора на любое действительное число дает другой полярный вектор и что умножение псевдовектора на любое действительное число. число дает еще один псевдовектор.

С другой стороны, предположим, что v ₁ известен как полярный вектор, v ₂ известен как псевдовектор, а v ₃ определен как их сумма, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Если Вселенная преобразуется с помощью матрицы неправильного вращения R , то v ₃ преобразуется в

$\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).$

Следовательно, v ₃ не является ни полярным вектором, ни псевдовектором (хотя по физическому определению он все еще является вектором). При неправильном вращении v3 _, вообще говоря, даже не сохраняет ту же величину:

$|\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ but }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|$.

Если бы величина v ₃ описывала измеримую физическую величину, это означало бы, что законы физики не выглядели бы такими же, если бы Вселенная рассматривалась в зеркале. Фактически, именно это и происходит при слабом взаимодействии : некоторые радиоактивные распады рассматривают «левое» и «правое» по-разному, и это явление можно объяснить суммированием полярного вектора с псевдовектором в основной теории. (См. нарушение четности .)

Поведение при перекрестных произведениях

При инверсии два вектора меняют знак, но их векторное произведение остается инвариантным (черный — два исходных вектора, серый — инвертированные векторы, а красный — их взаимное векторное произведение).

Для матрицы вращения R , как правильной, так и неправильной, всегда верно следующее математическое уравнение:

$(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))$,

где v ₁ и v ₂ — любые трехмерные векторы. (Это уравнение можно доказать либо с помощью геометрических рассуждений, либо с помощью алгебраических вычислений.)

Предположим, что v ₁ и v ₂ — известные полярные векторы, а v ₃ определяется как их векторное произведение, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Если Вселенная преобразуется матрицей вращения R , то v ₃ преобразуется в

$\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).$

Итак, v ₃ — псевдовектор. Аналогично можно показать:

• полярный вектор × полярный вектор = псевдовектор
• псевдовектор × псевдовектор = псевдовектор
• полярный вектор × псевдовектор = полярный вектор
• псевдовектор × полярный вектор = полярный вектор

Это изоморфно сложению по модулю 2, где «полярный» соответствует 1, а «псевдо» 0.

Примеры

Из определения ясно, что вектор смещения является полярным вектором. Вектор скорости представляет собой вектор смещения (полярный вектор), деленный на время (скаляр), а также полярный вектор. Аналогично, вектор импульса — это вектор скорости (полярный вектор), умноженный на массу (скаляр), то же самое относится и к полярному вектору. Угловой момент представляет собой векторное произведение смещения (полярный вектор) и импульса (полярный вектор) и, следовательно, является псевдовектором. Крутящий момент представляет собой угловой момент (псеввектор), разделенный на время (скаляр), поэтому он также является псевдовектором. Продолжая в том же духе, легко классифицировать любой из распространенных векторов в физике как псевдовектор или полярный вектор. (В теории слабых взаимодействий существуют векторы, нарушающие четность, которые не являются ни полярными векторами, ни псевдовекторами. Однако в физике они встречаются очень редко.)

Правило правой руки

Выше обсуждались псевдовекторы с использованием активных преобразований . Альтернативный подход, больше похожий на пассивные преобразования , состоит в том, чтобы сохранить вселенную неизменной, но заменить « правило правой руки » на «правило левой руки» повсюду в математике и физике, в том числе в определении векторного произведения и локон . Любой полярный вектор (например, вектор трансляции) останется неизменным, но псевдовекторы (например, вектор магнитного поля в точке) поменяют знаки. Тем не менее, не было бы никаких физических последствий, за исключением явлений, нарушающих четность, таких как некоторые радиоактивные распады .

Формализация

Один из способов формализации псевдовекторов заключается в следующем: если V мерное — n - V векторное пространство, то псевдовектор V — это элемент ( n − 1)-й степени внешней ⋀ : ^{п -1} ( В ). Псевдовекторы V образуют векторное пространство той же размерности, что и V .

Это определение не эквивалентно определению, требующему смены знака при неправильном вращении, но оно является общим для всех векторных пространств. В частности, когда равна 2 n четно , смена знака не имеет , такой псевдовектор не подвергается смене знака, а когда характеристика основного поля V никакого эффекта. В остальном определения эквивалентны, хотя следует иметь в виду, что без дополнительной структуры (а именно, формы объёма или ориентации ) естественной идентификации ⋀ не происходит. ^{п -1} ( V ) с V .

Другой способ их формализовать — рассматривать их как элементы пространства представления для ${\text{O}}(n)$. Векторы преобразуются в представлении фундаментальном ${\text{O}}(n)$ с данными, предоставленными $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))$, так что для любой матрицы $R$ в ${\text{O}}(n)$, у одного есть $\rho _{\text{fund}}(R)=R$. Псевдовекторы преобразуются в псевдофундаментальное представление. $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))$, с $\rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R$. Другой способ рассмотреть этот гомоморфизм для $n$ странно, что в этом случае ${\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}$. Затем $\rho _{\text{pseudo}}$ является прямым произведением гомоморфизмов групп; это прямой продукт фундаментального гомоморфизма на ${\text{SO}}(n)$ с тривиальным гомоморфизмом на $\mathbb {Z} _{2}$.

Геометрическая алгебра

В геометрической алгебре основными элементами являются векторы, которые используются для построения иерархии элементов с использованием определений произведений в этой алгебре. В частности, алгебра строит псевдовекторы из векторов.

Основное умножение в геометрической алгебре — это геометрическое произведение , обозначаемое простым сопоставлением двух векторов, как в ab . Этот продукт выражается как:

$\mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,$

где главный член — это обычное векторное скалярное произведение , а второй член называется клиновым произведением или внешним произведением . Используя постулаты алгебры, можно оценить все комбинации скалярных и клиновых произведений. Предоставляется терминология для описания различных комбинаций. Например, мультивектор — это сумма k -кратных клиновых произведений различных k -значений. K - кратное клиновое произведение также называется k -лезвием .

В данном контексте псевдовектор является одной из таких комбинаций. Этот термин присваивается разным мультивекторам в зависимости от размерностей пространства (то есть количества линейно независимых векторов в пространстве). В трех измерениях наиболее общий двухлопастной или бивектор может быть выражен как произведение клина двух векторов и является псевдовектором. Однако в четырех измерениях псевдовекторы являются тривекторами . В общем случае это ( n − 1) -лезвие, где n — размерность пространства и алгебры. n базисных -мерное пространство имеет n базисных векторов, а также n псевдовекторов. Каждый базисный псевдовектор формируется из внешнего (клинового) произведения всех n базисных векторов, кроме одного. Например, в четырех измерениях, где базисными векторами считаются { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, псевдовекторы могут быть записаны как: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Трансформации в трех измерениях

сравнил свойства преобразования псевдовектора в трех измерениях со свойствами векторного векторного произведения . Бэйлис Он говорит: «Термины аксиальный вектор и псевдовектор часто рассматриваются как синонимы, но весьма полезно уметь отличать бивектор от его двойника». Перефразируя Бейлиса: учитывая два полярных вектора (то есть истинные векторы) a и b в трех измерениях, векторное произведение, составленное из a и b, является вектором, нормальным к их плоскости, заданным выражением c = a × b . Учитывая набор правосторонних ортонормированных базисных векторов { e _ℓ } , векторное произведение выражается через его компоненты как:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},$

где верхние индексы обозначают компоненты вектора. С другой стороны, плоскость двух векторов представлена ​​внешним произведением или клиновым произведением, обозначаемым a ∧ b . В контексте геометрической алгебры этот бивектор называется псевдовектором и является двойственным вектором Ходжа к векторному произведению. Двойственное 2 к e ₁ вводится как e ₂₃ ≡ e _и e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ т. д. То есть двойственным к является _e1 подпространство, перпендикулярное , _а именно подпространство, натянутое e2 _e1 и e3 _на . С этим пониманием,

$\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .$

Подробнее см. в разделе Оператор звезды Ходжа § Три измерения . Перекрестное произведение и клиновое произведение связаны соотношением:

$\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,$

где i = e1 _{называется} ∧ e ₂ ∧ e _3, единичным псевдоскаляром . Имеет свойство:

${\mathit {i}}^{2}=-1\ .$

Используя приведенные выше соотношения, видно, что если векторы a и b инвертируются путем изменения знаков их компонентов, оставляя при этом базисные векторы фиксированными, то как псевдовектор, так и векторное произведение остаются инвариантными. С другой стороны, если компоненты фиксированы и базисные векторы e _ℓ инвертированы, то псевдовектор инвариантен, но векторное произведение меняет знак. Такое поведение векторных произведений согласуется с их определением как вектороподобных элементов, меняющих знак при преобразовании из правой в левую систему координат, в отличие от полярных векторов.

Примечание по использованию

В стороне можно отметить, что не все авторы в области геометрической алгебры используют термин псевдовектор, а некоторые авторы следуют терминологии, которая не делает различия между псевдовектором и векторным произведением. Однако, поскольку векторное произведение не обобщается ни на какие другие измерения, кроме трех, понятие псевдовектора, основанное на векторном произведении, также не может быть распространено на пространство любого другого числа измерений. Псевдовектор как ( n – 1) -лопасть в n -мерном пространстве таким образом не ограничивается.

Еще одно важное замечание: псевдовекторы, несмотря на свое название, являются «векторами» в том смысле, что являются элементами векторного пространства . Идея о том, что «псевдовектор отличается от вектора», верна только при другом и более конкретном определении термина «вектор», как обсуждалось выше.

См. также

• Внешняя алгебра
• Алгебра Клиффорда
• Антивектор , обобщение псевдовектора в алгебре Клиффорда.
• Ориентируемость — дискуссия о неориентируемых пространствах.
• Тензорная плотность

Ссылки

• Арфкен, Джордж Б.; Вебер, Ганс Дж. (2001). Математические методы для физиков . Харкорт. ISBN  0-12-059815-9 .
• Доран, Крис; Ласенби, Энтони (2007). Геометрическая алгебра для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-71595-9 .
• Фейнман, Ричард . «§52-5: Полярные и осевые векторы» . Фейнмановские лекции по физике . Том. 1. п. 52–6.
• Осевой вектор в Математической энциклопедии
• Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика . Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .
• Леа, Сьюзен М. (2004). Математика для физиков . Томпсон. ISBN  0-534-37997-4 .
• Бэйлис, Уильям Э (2004). «4. Приложения алгебр Клиффорда в физике» . В Абламовиче, Рафал; Собчик, Гаррет (ред.). Лекции по клиффордовым (геометрическим) алгебрам и их приложениям . Биркхойзер. п. 100 и далее . ISBN  0-8176-3257-3 . : Двойственное клиновому произведению a ∧ b является векторным произведением a × b .
• Вайнрайх, Габриэль (1998), Геометрические векторы , Чикагские лекции по физике, Издательство Чикагского университета, стр. 126, ISBN  9780226890487