Магнитный момент

	Магнитный момент m тока I , охватывающий область a .
Общие символы	м
И объединились	Ампер - метр 2
В базовых единицах СИ	м 2 ⋅ A
Измерение	л 2 я

В электромагнетизме магнитный момент или магнитный дипольный момент представляет собой комбинацию силы и ориентации магнита или другого объекта или системы, которая создает магнитное поле . Магнитный дипольный момент объекта определяет величину крутящего момента, который объект испытывает в данном магнитном поле. Когда применяется то же магнитное поле, объекты с большими магнитными моментами испытывают большие крутящие моменты. Сила (и направление) этого крутящего момента зависит не только от величины магнитного момента, но и от его ориентации относительно направления магнитного поля. Его направление указывает от южного полюса к северному полюсу магнита (т.е. внутри магнита).

Магнитный момент также выражает магнитно-силовое действие магнита. Магнитное поле магнитного диполя пропорционально его магнитному дипольному моменту. Дипольная составляющая магнитного поля объекта симметрична относительно направления его магнитного дипольного момента и уменьшается пропорционально обратному кубу расстояния от объекта.

Примеры объектов или систем, создающих магнитные моменты, включают: постоянные магниты; астрономические объекты, такие как многие планеты , включая Землю , а также некоторые луны , звезды и т. д.; различные молекулы ; элементарные частицы (например, электроны ); композиты элементарных частиц ( протонов и нейтронов — как ядра атома); и петли электрического тока , например, создаваемые электромагнитами .

Определение, единицы и измерения

Определение

Магнитный момент можно определить как вектор (на самом деле псевдовектор ), связывающий выравнивающий момент на объекте от внешнего магнитного поля с самим вектором поля. Связь определяется: ^[1] ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B}$ где $τ$ — крутящий момент, действующий на диполь, $B$ — внешнее магнитное поле, $m$ — магнитный момент.

Это определение основано на том, как в принципе можно измерить магнитный момент неизвестного образца. Для токовой петли это определение приводит к тому, что величина магнитного дипольного момента равна произведению тока на площадь петли. Кроме того, это определение позволяет рассчитать ожидаемый магнитный момент для любого известного макроскопического распределения тока.

Альтернативное определение полезно для термодинамических расчетов магнитного момента. В этом определении магнитный дипольный момент системы представляет собой отрицательный градиент ее собственной энергии $U int$ по отношению к внешнему магнитному полю: $\mathbf {m} =-{\hat {\mathbf {x} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{x}}}-{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{y}}}-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial U_{\text{int}}}{\partial B_{z}}}.$

В общем, внутренняя энергия включает в себя энергию собственного поля системы плюс энергию внутренних процессов системы. Например, для атома водорода в состоянии 2p во внешнем поле энергия собственного поля незначительна, поэтому внутренняя энергия по существу представляет собой собственную энергию состояния 2p, которая включает в себя кулоновскую потенциальную энергию и кинетическую энергию электрона. Энергия поля взаимодействия между внутренними диполями и внешними полями не является частью этой внутренней энергии. ^[2]

Единицы

Единицей магнитного момента в Международной системе единиц СИ) ( является А⋅м. ², где A — ампер (базовая единица тока СИ), а m — метр (базовая единица расстояния СИ). Эта единица имеет эквиваленты в других производных единицах СИ, включая: ^[3]^[4]

$\mathrm {A\cdot m^{2}} ={\frac {\mathrm {N\cdot m} }{\mathrm {T} }}={\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {T} }},$

где N — ньютон (производная единица силы в системе СИ), T — тесла (производная единица плотности магнитного потока в системе СИ), а J — джоуль (производная единица энергии в системе СИ ). ^[5]^: 20–21 Хотя крутящий момент (Н·м) и энергия (Дж) эквивалентны по размерам, крутящие моменты никогда не выражаются в единицах энергии. ^[5]^: 23

В системе СГС существует несколько различных наборов единиц электромагнетизма, основными из которых являются ESU , Gaussian и EMU . Среди них есть две альтернативные (неэквивалентные) единицы магнитного дипольного момента: $1{\text{ statA}}{\cdot }{\text{cm}}^{2}=3.33564095\times 10^{-14}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}~~{\text{ (ESU)}}$ $1\;{\frac {\text{erg}}{\text{G}}}=10^{-3}{\text{ A}}{\cdot }{\text{m}}^{2}~~{\text{ (Gaussian and EMU),}}$

где statA — статамперы , см — сантиметры , эрг — эрги , а G — гаусс . Отношение этих двух неэквивалентных единиц СГС (ЭВС/ЕСУ) равно скорости света в свободном пространстве, выраженной в см ⋅ с. ⁻¹.

Все формулы в этой статье верны в СИ единицах ; их, возможно, потребуется изменить для использования в других системах единиц. Например, в единицах СИ токовая петля с током $I$ и площадью $A$ имеет магнитный момент $IA$ (см. ниже), но в гауссовских единицах магнитный момент равен $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠ IA / c ⁠$ .

Другие единицы измерения магнитного дипольного момента включают магнетон Бора и ядерный магнетон .

Измерение

Магнитные моменты объектов обычно измеряются с помощью устройств, называемых магнитометрами , хотя не все магнитометры измеряют магнитный момент: вместо этого некоторые из них настроены на измерение магнитного поля . Однако если магнитное поле, окружающее объект, известно достаточно хорошо, то магнитный момент можно рассчитать по этому магнитному полю. ^{[ нужна ссылка ]}

Связь с намагниченностью

Магнитный момент — это величина, которая описывает магнитную силу всего объекта. Однако иногда полезно или необходимо знать, какая часть чистого магнитного момента объекта создается определенной частью этого магнита. Поэтому полезно определить поле намагничивания $M$ как: $\mathbf {M} ={\frac {\mathbf {m} _{\Delta V}}{V_{\Delta V}}},$ где $m Δ V$ и $V Δ V$ — магнитный дипольный момент и объем достаточно малой части магнита $Δ V$ . Это уравнение часто представляется с использованием обозначения производной, так что $\mathbf {M} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} V}},$ где $d m$ — элементарный магнитный момент, а $d V$ — элемент объема . Таким образом, чистый магнитный момент магнита $m$ равен $\mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V,$ где тройной интеграл означает интегрирование по объему магнита . Для однородной намагниченности (когда и величина, и направление $M$ одинаковы для всего магнита (например, прямого стержневого магнита) последнее уравнение упрощается до: $\mathbf {m} =\mathbf {M} V,$ где $V$ – объем стержневого магнита.

Однако намагниченность часто не указывается в качестве параметра материала для коммерчески доступных ферромагнитных материалов. Вместо этого указанный параметр — это остаточная плотность потока (или остаточная намагниченность), обозначаемая $B r$ . Формула, необходимая в данном случае для расчета $m$ в (единицах A⋅m ²) является: $\mathbf {m} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} _{\text{r}}V,$

где:

$B r$ — остаточная плотность потока, выраженная в теслах .
$V$ — объем магнита (в м ³).
$μ 0$ — проницаемость вакуума ( 4π × 10 ⁻⁷ ч/м ). ^[6]

Модели

Предпочтительное классическое объяснение магнитного момента со временем изменилось. До 1930-х годов учебники объясняли этот момент с помощью гипотетических точечных магнитных зарядов. С тех пор большинство определяли его как амперовы токи. ^[7] В магнетиках причиной возникновения магнитного момента являются состояния спина и орбитального углового момента. ^{[ сломанный якорь ]} электронов и варьируется в зависимости от того , выровнены ли атомы в одной области с атомами в другой. ^{[ нужна ссылка ]}

Модель магнитного полюса

Источники магнитных моментов в материалах можно представить полюсами по аналогии с электростатикой . Иногда ее называют моделью Гилберта. ^[8]^{: 258} В этой модели небольшой магнит моделируется парой фиктивных магнитных монополей одинаковой величины, но противоположной полярности . Каждый полюс является источником магнитной силы, которая ослабевает с расстоянием. Поскольку магнитные полюса всегда располагаются парами, их силы частично компенсируют друг друга, поскольку один полюс тянет, а другой отталкивает. Это подавление является наибольшим, когда полюса расположены близко друг к другу, т.е. когда стержневой магнит короткий. Таким образом, магнитная сила, создаваемая стержневым магнитом в данной точке пространства, зависит от двух факторов: силы $p$ его полюсов ( силы магнитного полюса ) и вектора $\mathrm {\boldsymbol {\ell }}$ разделяя их. Магнитный дипольный момент $m$ связан с фиктивными полюсами соотношением ^[7] $\mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.$

Он указывает в направлении от Южного к Северному полюсу. Не следует заходить слишком далеко в аналогии с электрическими диполями, поскольку магнитные диполи связаны с угловым моментом (см. Связь с угловым моментом ). Тем не менее, магнитные полюса очень полезны для магнитостатических расчетов, особенно в приложениях к ферромагнетикам . ^[7] использующие подход магнитного полюса, обычно представляют поле полем безвихревым Практики , $H$ по аналогии с электрическим полем $E.$ магнитное

Модель петли Ампера

После того, как Ганс Кристиан Эрстед открыл, что электрические токи создают магнитное поле, а Андре-Мари Ампер обнаружил, что электрические токи притягивают и отталкивают друг друга, подобно магнитам, было естественно предположить, что все магнитные поля возникают из-за контуров электрического тока. В этой модели, разработанной Ампером, элементарный магнитный диполь, из которого состоят все магниты, представляет собой достаточно малую амперную петлю с I. током Дипольный момент этой петли равен $\mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},$ где $S$ — площадь петли. Направление магнитного момента находится в направлении, нормальном к области, окруженной током, в соответствии с направлением тока с использованием правила правой руки.

Локализованные текущие распределения

Магнитный дипольный момент можно рассчитать для локализованного (не простирающегося до бесконечности) распределения тока, предполагая, что мы знаем все задействованные токи. Обычно вывод начинается с мультипольного разложения векторного потенциала . Это приводит к определению магнитного дипольного момента как: $\mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,$ где $\times$ — векторное векторное произведение , $r$ — вектор положения, $j$ — плотность электрического тока , а интеграл — объемный интеграл. ^[9]^: § 5.6 Когда плотность тока в интеграле заменяется петлей тока I в плоскости, охватывающей область S, тогда объемный интеграл становится линейным интегралом , а результирующий дипольный момент становится $\mathbf {m} =I\mathbf {S} ,$ именно так определяется магнитный дипольный момент для амперовой петли.

использующие модель токовой петли, обычно представляют магнитное поле соленоидальным полем B $,$ аналогичным электростатическому полю $D.$ Практики ,

Магнитный момент соленоида

Обобщением вышеупомянутой токовой петли является катушка или соленоид . Его момент представляет собой векторную сумму моментов отдельных витков. Если соленоид имеет $N$ одинаковых витков (однослойная обмотка) и векторную площадь $S$ , $\mathbf {m} =NI\mathbf {S} .$

Квантово-механическая модель

При расчете магнитных моментов материалов или молекул на микроскопическом уровне часто удобно использовать третью модель магнитного момента, которая использует линейную зависимость между угловым моментом и магнитным моментом частицы. Хотя это соотношение легко разработать для макроскопических токов с использованием модели амперовой петли (см. ниже ), ни модель магнитного полюса, ни модель амперовой петли действительно не отражают то, что происходит на атомном и молекулярном уровнях. На этом уровне квантовую механику необходимо использовать . К счастью, линейная зависимость между магнитным дипольным моментом частицы и ее угловым моментом все еще сохраняется, хотя и различна для каждой частицы. Кроме того, необходимо проявлять осторожность, чтобы различать собственный угловой момент (или спин ) частицы и орбитальный угловой момент частицы. смотрите ниже Более подробную информацию .

Эффекты внешнего магнитного поля

Крутящий момент на мгновение

Крутящий момент $τ$ на объекте, имеющем магнитный дипольный момент $m$ в однородном магнитном поле $B,$ равен: ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} .$

На данный момент это справедливо из-за любого локализованного распределения тока при условии, что магнитное поле однородно. Для неоднородного B уравнение также справедливо для крутящего момента вокруг центра магнитного диполя при условии, что магнитный диполь достаточно мал. ^[8]^{: 257}

Электрон, ядро или атом, помещенные в однородное магнитное поле, будут прецессировать с частотой, известной как частота Лармора . См . Резонанс .

Сила на мгновение

Магнитный момент во внешнем магнитном поле имеет потенциальную энергию $U$ : $U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B}$

В случае, когда внешнее магнитное поле неоднородно, сила, пропорциональная градиенту на сам магнитный момент будет действовать магнитного поля . Существует два выражения для силы, действующей на магнитный диполь, в зависимости от того, является ли модель диполя токовой петлей или двумя монополями (аналогично электрическому диполю). ^[10] Сила, полученная в случае модели с токовой петлей, равна $\mathbf {F} _{\text{loop}}=\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right).$

Предполагая существование магнитного монополя, сила модифицируется следующим образом: ${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{loop}}&=\left(\mathbf {m} \times \nabla \right)\times \mathbf {B} \\[1ex]&=\nabla \left(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} \right)-\left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {m} \end{aligned}}$

В случае использования пары монополей (т. е. модели электрического диполя) сила равна $\mathbf {F} _{\text{dipole}}=\left(\mathbf {m} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} .$ И одно можно выразить через другое через соотношение $\mathbf {F} _{\text{loop}}=\mathbf {F} _{\text{dipole}}+\mathbf {m} \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)-\left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {m} .$

Во всех этих выражениях $m$ — диполь, а $B$ — магнитное поле в его положении. Обратите внимание, что если нет токов, изменяющихся во времени электрических полей или магнитного заряда, $\nabla\times B = 0$ , $\nabla\cdot B = 0$ , и эти два выражения согласуются.

Отношение к свободной энергии

Можно связать магнитный момент системы со свободной энергией этой системы. ^[11] В однородном магнитном поле $B$ свободная энергия $F$ может быть связана с магнитным моментом $M$ системы как $\mathrm {d} F=-S\,\mathrm {d} T-\mathbf {M} \,\cdot \mathrm {d} \mathbf {B}$ где $S$ — энтропия системы, а $T$ — температура. Следовательно, магнитный момент также можно определить через свободную энергию системы как $m=\left.-{\frac {\partial F}{\partial B}}\right|_{T}.$

Магнетизм

Кроме того, приложенное магнитное поле может изменить магнитный момент самого объекта; например, намагничивая его. Это явление известно как магнетизм . Приложенное магнитное поле может перевернуть магнитные диполи, из которых состоит материал, вызывая как парамагнетизм , так и ферромагнетизм . Кроме того, магнитное поле может влиять на токи, которые создают магнитные поля (например, атомные орбиты), что вызывает диамагнетизм .

Воздействие на окружающую среду

Магнитное поле магнитного момента

Любая система, обладающая чистым магнитным дипольным моментом $m,$ будет создавать диполярное магнитное поле (описанное ниже) в пространстве, окружающем систему. Хотя суммарное магнитное поле, создаваемое системой, также может иметь мультипольные компоненты более высокого порядка, они будут падать с расстоянием быстрее, так что только дипольная компонента будет доминировать в магнитном поле системы на больших расстояниях от нее.

Магнитное поле магнитного диполя зависит от силы и направления магнитного момента магнита. $\mathbf {m}$ но уменьшается как куб расстояния, так что: $\mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right),$

где $\mathbf {H}$ магнитное поле, создаваемое магнитом и $\mathbf {r}$ представляет собой вектор от центра магнитного диполя к месту измерения магнитного поля. Природу обратного куба этого уравнения легче увидеть, выразив вектор местоположения $\mathbf {r}$ как произведение его величины на единичный вектор в его направлении ( $\mathbf {r} =|\mathbf {r} |\mathbf {\hat {r}}$ ) так что: $\mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.$

Эквивалентные уравнения для магнитного поля $\mathbf {B}$ -поля одинаковы, за исключением мультипликативного множителя µ ₀ = 4 π × 10. ⁻⁷ H / m , где µ ₀ называется проницаемостью вакуума . Например: $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}.$

Силы между двумя магнитными диполями

Как обсуждалось ранее, сила, действующая со стороны дипольной петли с моментом $m 1$ на другую с моментом $m 2,$ равна $\mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),$ где $B 1$ – магнитное поле, создаваемое моментом $m 1$ . Результат расчета градиента: ^[12]^[13] $\mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left[\mathbf {m} _{2}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+\mathbf {m} _{1}(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})+{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})-5{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\right],$ где $r̂$ — единичный вектор, указывающий от магнита 1 к магниту 2, а $r$ — расстояние. Эквивалентное выражение ^[13] $\mathbf {F} ={\frac {3\mu _{0}}{4\pi |\mathbf {r} |^{4}}}\left[({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\times \mathbf {m} _{2}+({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\times \mathbf {m} _{1}-2{\hat {\mathbf {r} }}(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})+5{\hat {\mathbf {r} }}({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{1})\cdot ({\hat {\mathbf {r} }}\times \mathbf {m} _{2})\right].$ Сила, действующая на $m 1,$ направлена в противоположном направлении.

Крутящий момент одного магнитного диполя на другой

Крутящий момент магнита 1 на магните 2 равен ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.$

Теория, лежащая в основе магнитных диполей

Магнитное поле любого магнита можно смоделировать с помощью ряда термов, каждый из которых более сложен (имеет более мелкие угловые детали), чем предыдущий. Первые три члена этой серии называются монополем (представленным изолированным северным или южным магнитным полюсом) , диполем (представленным двумя равными и противоположными магнитными полюсами) и квадруполем (представленным четырьмя полюсами, которые вместе образуют два равных и противоположных магнитных полюса). диполи). Величина магнитного поля для каждого члена уменьшается с расстоянием прогрессивно быстрее, чем предыдущий член, так что на достаточно больших расстояниях первый ненулевой член будет доминировать. ^{[ нужна ссылка ]}

Для многих магнитов первым ненулевым членом является магнитный дипольный момент. (На сегодняшний день экспериментально не обнаружено изолированных магнитных монополей .) Магнитный диполь является пределом либо токовой петли, либо пары полюсов, поскольку размеры источника уменьшаются до нуля при сохранении постоянного момента. Пока эти ограничения применяются только к полям, удаленным от источников, они эквивалентны. Однако две модели дают разные предсказания для внутреннего поля (см. ниже).

Магнитные потенциалы

Традиционно уравнения для магнитного дипольного момента (и членов более высокого порядка) выводятся из теоретических величин, называемых магнитными потенциалами. ^[9]^: § 5.6 с которыми проще иметь дело математически, чем с магнитными полями. ^{[ нужна ссылка ]}

В модели магнитного полюса соответствующим магнитным полем является размагничивающее поле. $\mathbf {H}$ . Поскольку размагничивающая часть $\mathbf {H}$ не включает, по определению, часть $\mathbf {H}$ из-за свободных токов существует магнитный скалярный потенциал такой, что ${\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi .$

В модели амперной петли соответствующим магнитным полем является магнитная индукция. $\mathbf {B}$ . Поскольку магнитных монополей не существует, существует магнитный векторный потенциал такой, что $\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times \mathbf {A} .$

Оба этих потенциала могут быть рассчитаны для любого произвольного распределения тока (для модели амперной петли) или распределения магнитного заряда (для модели магнитного заряда) при условии, что они ограничены достаточно маленькой областью, чтобы дать: ${\begin{aligned}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\\[1ex]\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi }}\int {\frac {\rho \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\,\mathrm {d} V',\end{aligned}}$ где $\mathbf {j}$ плотность тока в модели амперной петли, $\rho$ – плотность напряженности магнитного полюса по аналогии с плотностью электрического заряда , приводящей к электрическому потенциалу, а интегралы – объемные (тройные) интегралы по координатам, составляющим $\mathbf {r} '$ . Знаменатели этого уравнения можно разложить с помощью мультипольного разложения, чтобы получить ряд членов, которые имеют большую степень расстояния в знаменателе. Поэтому первый ненулевой член будет доминировать на больших расстояниях. Первый ненулевой член векторного потенциала: $\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {\mathbf {m} \times \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}},$ где $\mathbf {m}$ является: $\mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} \,\mathrm {d} V,$ где $\times$ — векторное векторное произведение , $r$ — вектор положения, $j$ — плотность электрического тока , а интеграл — объемный интеграл.

С точки зрения магнитного полюса первый ненулевой член скалярного потенциала равен $\psi (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}.$

Здесь $\mathbf {m}$ может быть представлено через плотность напряженности магнитного полюса, но более полезно выражается через поле намагничивания как: $\mathbf {m} =\iiint \mathbf {M} \,\mathrm {d} V.$

Тот же символ $\mathbf {m}$ используется для обоих уравнений, поскольку они дают эквивалентные результаты за пределами магнита.

Внешнее магнитное поле, создаваемое магнитным дипольным моментом

Таким образом, плотность магнитного потока для магнитного диполя в модели амперовой петли равна $\mathbf {B} (\mathbf {r} )=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).$

Далее, напряженность магнитного поля $\mathbf {H}$ является ${\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right).$

Внутреннее магнитное поле диполя

Две модели диполя (магнитные полюса или токовая петля) дают одинаковые предсказания для магнитного поля вдали от источника. Однако внутри исходного региона они дают разные прогнозы. Магнитное поле между полюсами (см. рисунок модели магнитного полюса ) направлено в противоположном направлении магнитному моменту (который направлен от отрицательного заряда к положительному заряду), тогда как внутри токовой петли оно направлено в том же направлении (см. рисунок справа). Пределы этих полей также должны быть разными, поскольку источники уменьшаются до нулевого размера. Это различие имеет значение только в том случае, если дипольный предел используется для расчета полей внутри магнитного материала. ^[7]

Если магнитный диполь формируется путем взятия «северного полюса» и «южного полюса», сближения их все ближе и ближе, но сохранения произведения заряда магнитного полюса и расстояния постоянным, предельное поле будет равно ^[7] $\mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].$

Если магнитный диполь формируется путем уменьшения и уменьшения токовой петли, но при сохранении постоянного произведения тока на площадь, ограничивающее поле будет равно $\mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].$ В отличие от выражений предыдущего раздела, этот предел справедлив для внутреннего поля диполя. ^[7]^[9]^{: 184}

поля связаны соотношением $= µ0 (B H + M),$ где $M (r) = mδ (Эти r)$ — намагниченность .

Связь с угловым моментом

Магнитный момент имеет тесную связь с угловым моментом, называемым гиромагнитным эффектом . Этот эффект выражается в макроскопическом масштабе в эффекте Эйнштейна-де Хааса , или «вращении за счет намагничивания», и обратном ему эффекте Барнетта , или «намагничении за счет вращения». ^[1] Кроме того, крутящий момент, приложенный к относительно изолированному магнитному диполю, такому как атомное ядро, может вызвать его прецессию (вращение вокруг оси приложенного поля). Это явление используется в ядерном магнитном резонансе . ^{[ нужна ссылка ]}

Рассмотрение магнитного диполя как токовой петли обнаруживает тесную связь между магнитным моментом и угловым моментом. Поскольку частицы, создающие ток (вращаясь вокруг петли), имеют заряд и массу, как магнитный момент, так и угловой момент увеличиваются со скоростью вращения. Отношение этих двух величин называется гиромагнитным отношением или $\gamma$ так что: ^[14]^[15] $\mathbf {m} =\gamma \,\mathbf {L} ,$ где $\mathbf {L}$ — это угловой момент частицы или частиц, создающих магнитный момент.

В модели амперовой петли, которая применяется для макроскопических токов, гиромагнитное отношение составляет половину отношения заряда к массе . Это можно показать следующим образом. Угловой момент движущейся заряженной частицы определяется как: $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mu \,\mathbf {r} \times \mathbf {v} ,$ где $μ$ — масса частицы, а $v$ частицы — скорость . Таким образом, угловой момент очень большого числа заряженных частиц, составляющих ток, равен: $\mathbf {L} =\iiint _{V}\,\mathbf {r} \times (\rho \mathbf {v} )\,\mathrm {d} V\,,$ где $ρ$ — массовая плотность движущихся частиц. По соглашению направление векторного произведения определяется правилом правой руки . ^[16]

Это похоже на магнитный момент, создаваемый очень большим количеством заряженных частиц, составляющих этот ток: $\mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times (\rho _{Q}\mathbf {v} )\,\mathrm {d} V\,,$ где $\mathbf {j} =\rho _{Q}\mathbf {v}$ и $\rho _{Q}$ – плотность заряда движущихся заряженных частиц.

Сравнение двух уравнений приводит к: $\mathbf {m} ={\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} \,,$ где $e$ - заряд частицы и $\mu$ это масса частицы.

Несмотря на то, что атомные частицы не могут быть точно описаны как вращающиеся (и вращающиеся) распределения зарядов с одинаковым соотношением заряда к массе, эту общую тенденцию можно наблюдать в атомном мире, так что: $\mathbf {m} =g\,{\frac {e}{2\mu }}\,\mathbf {L} ,$ где $g$ -фактор зависит от частицы и конфигурации. Например, $g$ -фактор для магнитного момента электрона, вращающегося вокруг ядра, равен единице, в то время как $-$ магнитного момента электрона, обусловленного его собственным угловым моментом ( спином ), немного больше 2. $фактор для$ g фактор атомов и молекул должен учитывать орбитальные и собственные моменты его электронов, а также, возможно, собственный момент его ядер.

В атомном мире угловой момент ( спин ) частицы является целым ( или полуцелым в случае фермионов) кратным приведенной постоянной Планка $ħ$ . Это является основой для определения единиц магнитного момента магнетона Бора (при условии заряда к массе ) электрона и ядерного магнетона (при условии отношения заряда к массе протона отношения ). Для получения более подробной информации см . Магнитный момент электрона и магнетон Бора .

Атомы, молекулы и элементарные частицы

По сути, вклад в магнитный момент любой системы может исходить от источников двух видов: 1) движение электрических зарядов , таких как электрические токи ; и 2) внутренний магнетизм, обусловленный спином элементарных частиц , таких как электрон . ^{[ нужна ссылка ]}

Вклады источников первого рода можно рассчитать, зная распределение всех электрических токов (или, альтернативно, всех электрических зарядов и их скоростей) внутри системы, используя приведенные ниже формулы.

Вклады спина частицы суммируют величину собственного магнитного момента каждой элементарной частицы, фиксированного числа, часто измеряемого экспериментально с большой точностью. Например, магнитный момент любого электрона равен −9,284 764 × 10. ⁻²⁴ Дж/Т . ^[17] Направление указывает на то , магнитного момента любой элементарной частицы полностью определяется направлением ее спина , причем отрицательное значение что магнитный момент любого электрона антипараллелен его спине.

Чистый магнитный момент любой системы представляет собой векторную сумму вкладов одного или обоих типов источников.Например, магнитный момент атома водорода-1 (самого лёгкого изотопа водорода, состоящего из протона и электрона) представляет собой векторную сумму следующих вкладов:

собственный момент электрона,
орбитальное движение электрона вокруг протона,
собственный момент протона.

Точно так же магнитный момент стержневого магнита представляет собой сумму вкладывающих магнитных моментов, которые включают в себя собственные и орбитальные магнитные моменты неспаренных электронов материала магнита и ядерные магнитные моменты.

Магнитный момент атома

Для атома отдельные спины электронов складываются, чтобы получить полный спин, а отдельные орбитальные угловые моменты складываются, чтобы получить полный орбитальный угловой момент. Затем эти два момента складываются с использованием связи углового момента, чтобы получить общий угловой момент. Для атома без ядерного магнитного момента величина атомного дипольного момента ${\mathfrak {m}}_{\text{atom}}$ , тогда ^[18] ${\mathfrak {m}}_{\text{atom}}=g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\sqrt {j\,(j+1)\,}}$ где $j$ — квантовое число полного углового момента , $g$ _J — Ланде $g$ -фактор , а $µ$ _B — магнетон Бора . Тогда составляющая этого магнитного момента вдоль направления магнитного поля равна ^[19] ${\mathfrak {m}}_{{\text{atom}},z}=-m\,g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,.$

Отрицательный знак возникает потому, что электроны имеют отрицательный заряд.

Целое число $m$ (не путать с моментом, ${\mathfrak {m}}$ ) называется магнитным квантовым числом или экваториальным квантовым числом, которое может принимать любое из $2 j + 1$ значений: ^[20] $-j,\ -(j-1),\ \cdots ,\ -1,\ 0,\ +1,\ \cdots ,\ +(j-1),\ +j~.$

Из-за углового момента динамика магнитного диполя в магнитном поле отличается от динамики электрического диполя в электрическом поле. Поле действительно оказывает крутящий момент на магнитный диполь, стремясь выровнять его с полем. Однако крутящий момент пропорционален скорости изменения углового момента, поэтому происходит прецессия : меняется направление вращения. Такое поведение описывается уравнением Ландау–Лифшица–Гильберта : ^[21]^[22] ${\frac {1}{\gamma }}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {m} \times \mathbf {H} _{\text{eff}}-{\frac {\lambda }{\gamma m}}\mathbf {m} \times {\frac {\mathrm {d} \mathbf {m} }{\mathrm {d} t}}$ где $γ$ — гиромагнитное отношение , $m$ — магнитный момент, $λ$ — коэффициент затухания, а $H$ _eff — эффективное магнитное поле (внешнее поле плюс любое самоиндуцированное поле). Первое слагаемое описывает прецессию момента относительно эффективного поля, а второе — затухающий член, связанный с диссипацией энергии, вызванной взаимодействием с окружающей средой.

Магнитный момент электрона

Электроны и многие элементарные частицы также имеют собственные магнитные моменты, объяснение которых требует квантово-механического рассмотрения и связано с собственным угловым моментом частиц, как обсуждается в статье « Магнитный момент электрона» . Именно эти собственные магнитные моменты вызывают макроскопические эффекты магнетизма и другие явления, такие как электронный парамагнитный резонанс . ^{[ нужна ссылка ]}

Магнитный момент электрона равен $\mathbf {m} _{\text{S}}=-{\frac {g_{\text{S}}\mu _{\text{B}}\mathbf {S} }{\hbar }},$ где $µ$ _B — магнетон Бора , $S$ электрона — спин , а g -фактор $g$ _S равен 2 по теории Дирака , но из-за квантово-электродинамических эффектов в действительности он немного больше: 2,002 319 304 36 . Отклонение от 2 известно как аномальный магнитный дипольный момент .

Опять же важно отметить, что $m$ — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому магнитный момент электрона антипараллелен спину. Это можно понять с помощью следующей классической картины: если представить, что спиновый угловой момент создается массой электрона, вращающейся вокруг некоторой оси, электрический ток, создаваемый этим вращением, циркулирует в противоположном направлении из-за отрицательного заряда электрона. ; такие токовые петли создают магнитный момент, антипараллельный спину. Следовательно, для позитрона (античастицы электрона) магнитный момент параллелен его спину.

Магнитный момент ядра

Ядерная система представляет собой сложную физическую систему, состоящую из нуклонов, т. е. протонов и нейтронов . К квантово-механическим свойствам нуклонов относятся, среди прочего, спин. Поскольку электромагнитные моменты ядра зависят от спина отдельных нуклонов, эти свойства можно изучить с помощью измерений ядерных моментов, а точнее ядерного магнитного дипольного момента.

Большинство распространенных ядер существуют в основном состоянии , хотя ядра некоторых изотопов имеют долгоживущие возбужденные состояния . Каждое энергетическое состояние ядра данного изотопа характеризуется четко определенным магнитным дипольным моментом, величина которого представляет собой фиксированное число, часто измеряемое экспериментально с большой точностью. Это число очень чувствительно к отдельным вкладам нуклонов, и измерение или предсказание его значения может дать важную информацию о содержании ядерной волновой функции. Существует несколько теоретических моделей, предсказывающих величину магнитного дипольного момента, и ряд экспериментальных методик, направленных на проведение измерений в ядрах по ядерной карте.

Магнитный момент молекулы

молекулы Любая молекула имеет четко определенную величину магнитного момента, которая может зависеть от энергетического состояния . Обычно общий магнитный момент молекулы представляет собой комбинацию следующих вкладов в порядке их типичной силы:

магнитные моменты из-за его неспаренных электронных спинов ( парамагнитный вклад), если таковые имеются
орбитальное движение его электронов, которое в основном состоянии часто пропорционально внешнему магнитному полю ( диамагнитный вклад)
объединенный магнитный момент его ядерных спинов , который зависит от конфигурации ядерного спина .

Примеры молекулярного магнетизма

Молекула дикислорода O ₂ демонстрирует сильный парамагнетизм из-за неспаренных спинов двух крайних электронов.
Молекула углекислого газа CO ₂ в основном проявляет диамагнетизм — гораздо более слабый магнитный момент электронных орбиталей , пропорциональный внешнему магнитному полю. Ядерный магнетизм магнитного изотопа , такого как ¹³С или ¹⁷O будет способствовать увеличению магнитного момента молекулы.
Молекула диводорода H ₂ в слабом (или нулевом) магнитном поле проявляет ядерный магнетизм и может находиться в пара- или орто- ядерной спиновой конфигурации.
Многие комплексы переходных металлов магнитны. Формула только спина является хорошим первым приближением для высокоспиновых комплексов переходных металлов первого ряда . ^[23]

Количество непарный электроны	Только вращение момент ( $мкБ)$
1	1.73
2	2.83
3	3.87
4	4.90
5	5.92

Элементарные частицы

В атомной и ядерной физике греческий символ $μ$ обозначает величину магнитного момента, часто измеряемого в магнетонах Бора или ядерных магнетонах , связанного с собственным спином частицы и/или с орбитальным движением частицы в системе. Значения собственных магнитных моментов некоторых частиц приведены в таблице ниже:

Собственные магнитные моменты и спины
некоторых элементарных частиц ^[24]
Частица имя (символ)	Магнитный дипольный момент (10 ⁻²⁷ J ⋅ T ⁻¹)	Вращаться квантовое число ( безразмерный )
электрон (е ⁻)	−9 284 .764	⁠ 1 / 2 ⁠
протон (H ⁺)	–0 0 14.106 067	⁠ 1 / 2 ⁠
нейтрон (н)	0 00 −9.662 36	⁠ 1 / 2 ⁠
мюоны (μ ⁻)	0 0 −44.904 478	⁠ 1 / 2 ⁠
дейтрон ( ²ЧАС ⁺)	–0 00 4.330 7346	1
тритон ( ³ЧАС ⁺)	–0 0 15.046 094	⁠ 1 / 2 ⁠
гелион ( ³Он ⁺⁺)	0 0 −10.746 174	⁠ 1 / 2 ⁠
альфа-частица ( ⁴Он ⁺⁺)	–0 00 0	0

См. также

Ссылки и примечания

^ Jump up to: ^а ^б Каллити, Б.Д.; Грэм, компакт-диск (2008). Введение в магнитные материалы (2-е изд.). Wiley-IEEE Press . п. 103. ИСБН 978-0-471-47741-9 .
^ См., например, Каллен, Герберт Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 200 . ISBN 978-0-471-86256-7 . где соответствующий $U$ — это $U[B e]$ .
^ «Магнитные агрегаты» . IEEE Магнетизм . Проверено 19 февраля 2016 г.
^ Мор, Питер Дж.; Ньюэлл, Дэвид Б.; Тейлор, Барри Н. (21 июля 2015 г.). «Рекомендуемые CODATA значения фундаментальных физических констант: 2014». Обзоры современной физики . 88 (3): 035009. arXiv : 1507.07956 . Бибкод : 2016RvMP...88c5009M . doi : 10.1103/RevModPhys.88.035009 . S2CID 1115862 .
^ Jump up to: ^а ^б Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0
^ «K&J Magnetics – Глоссарий» . www.kjMagnetics.com .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Браун, Уильям Фуллер младший (1962). Магнитостатические принципы в ферромагнетизме . Северная Голландия .
^ Jump up to: ^а ^б Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 258. ИСБН 978-0-13-805326-0 . OCLC 40251748 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43132-9 .
^ Бойер, Тимоти Х. (1988). «Сила на магнитном диполе». Являюсь. Дж. Физ. 56 (8): 688–692. Бибкод : 1988AmJPh..56..688B . дои : 10.1119/1.15501 .
^ Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М.; Питаевский Л.П. (15 января 1984 г.). Электродинамика сплошных сред: Том 8 (Курс теоретической физики) (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 130. ИСБН 978-0-7506-2634-7 .
^ Фурлани, Эдвард П. (2001). Постоянные магниты и электромеханические устройства: материалы, анализ и применение . Академическая пресса . п. 140. ИСБН 978-0-12-269951-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Юнг, К.В.; Ландекер, П.Б.; Виллани, Д.Д. (1998). «Аналитическое решение силы между двумя магнитными диполями» (PDF) . Магнитная и электрическая сепарация . 9 : 39–52. дои : 10.1155/1998/79537 . Проверено 24 ноября 2012 г.
^ Крей, Уве; Оуэн, Энтони (2007). Основная теоретическая физика . Спрингер . стр. 151–152. ISBN 978-3-540-36804-5 .
^ Бакстон, Ричард Б. (2002). Введение в функциональную магнитно-резонансную томографию . Издательство Кембриджского университета . п. 136. ИСБН 978-0-521-58113-4 .
^ Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (2006). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Пирсон/Аддисон-Уэсли. стр. 13–12. ISBN 978-0-8053-9045-2 .
^ «Значение CODATA: магнитный момент электрона» . физика.nist.gov .
^ Тилли, RJD (2004). Понимание твердых тел . Джон Уайли и сыновья . п. 368. ИСБН 978-0-470-85275-0 .
^ Типлер, Пол Аллен; Ллевеллин, Ральф А. (2002). Современная физика (4-е изд.). Макмиллан . п. 310. ИСБН 978-0-7167-4345-3 .
^ Кроутер, Дж. А. (1949). Ионы, электроны и ионизирующие излучения (8-е изд.). Лондон: Эдвард Арнольд. п. 270 .
^ Райс, Стюарт Алан (2004). Достижения химической физики . Уайли . стр. 208 и далее. ISBN 978-0-471-44528-9 .
^ Штайнер, Маркус (2004). Микромагнетизм и электрическое сопротивление ферромагнитных электродов для устройств спиновой инжекции . Кювилье Верлаг. п. 6. ISBN 978-3-86537-176-8 .
^ Фиггис, Б.Н.; Льюис, Дж. (1960). «Магнитохимия комплексных соединений» . В Льюисе, Дж.; Уилкинс, Р.Г. (ред.). Современная координационная химия: Принципы и методы . Нью-Йорк: Межнаучный. стр. 405–407.
^ «Результаты поиска по запросу «магнитный момент» » . CODATA рекомендует значения фундаментальных физических констант, рекомендованные на международном уровне . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 11 мая 2012 г.

Внешние ссылки

Боутелл, Ричард (2009). « μ – Магнитный момент» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .

[Graham-1] Jump up to: ^а ^б Каллити, Б.Д.; Грэм, компакт-диск (2008). Введение в магнитные материалы (2-е изд.). Wiley-IEEE Press . п. 103. ИСБН 978-0-471-47741-9 .

[2] См., например, Каллен, Герберт Б. (1985). Термодинамика и введение в термостатистику (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . п. 200 . ISBN 978-0-471-86256-7 . где соответствующий $U$ — это $U[B e]$ .

[IEEEM-3] «Магнитные агрегаты» . IEEE Магнетизм . Проверено 19 февраля 2016 г.

[4] Мор, Питер Дж.; Ньюэлл, Дэвид Б.; Тейлор, Барри Н. (21 июля 2015 г.). «Рекомендуемые CODATA значения фундаментальных физических констант: 2014». Обзоры современной физики . 88 (3): 035009. arXiv : 1507.07956 . Бибкод : 2016RvMP...88c5009M . doi : 10.1103/RevModPhys.88.035009 . S2CID 1115862 .

[SI2019-5] Jump up to: ^а ^б Международная система единиц (PDF) (9-е изд.), Международное бюро мер и весов, декабрь 2022 г., ISBN 978-92-822-2272-0

[6] «K&J Magnetics – Глоссарий» . www.kjMagnetics.com .

[Brown62-7] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Браун, Уильям Фуллер младший (1962). Магнитостатические принципы в ферромагнетизме . Северная Голландия .

[GriffithsIntroED-8] Jump up to: ^а ^б Гриффитс, Дэвид Дж. (1999). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл . п. 258. ИСБН 978-0-13-805326-0 . OCLC 40251748 .

[JDJacksonCED-9] Jump up to: ^а ^б ^с Джексон, Джон Дэвид (1975). Классическая электродинамика (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-43132-9 .

[10] Бойер, Тимоти Х. (1988). «Сила на магнитном диполе». Являюсь. Дж. Физ. 56 (8): 688–692. Бибкод : 1988AmJPh..56..688B . дои : 10.1119/1.15501 .

[11] Ландау, Л.Д.; Лифшиц, Э.М.; Питаевский Л.П. (15 января 1984 г.). Электродинамика сплошных сред: Том 8 (Курс теоретической физики) (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 130. ИСБН 978-0-7506-2634-7 .

[12] Фурлани, Эдвард П. (2001). Постоянные магниты и электромеханические устройства: материалы, анализ и применение . Академическая пресса . п. 140. ИСБН 978-0-12-269951-1 .

[Yung-13] Jump up to: ^а ^б Юнг, К.В.; Ландекер, П.Б.; Виллани, Д.Д. (1998). «Аналитическое решение силы между двумя магнитными диполями» (PDF) . Магнитная и электрическая сепарация . 9 : 39–52. дои : 10.1155/1998/79537 . Проверено 24 ноября 2012 г.

[Krey-14] Крей, Уве; Оуэн, Энтони (2007). Основная теоретическая физика . Спрингер . стр. 151–152. ISBN 978-3-540-36804-5 .

[Buxton-15] Бакстон, Ричард Б. (2002). Введение в функциональную магнитно-резонансную томографию . Издательство Кембриджского университета . п. 136. ИСБН 978-0-521-58113-4 .

[Feynman-16] Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б .; Сэндс, Мэтью (2006). Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Пирсон/Аддисон-Уэсли. стр. 13–12. ISBN 978-0-8053-9045-2 .

[17] «Значение CODATA: магнитный момент электрона» . физика.nist.gov .

[Tilley2-18] Тилли, RJD (2004). Понимание твердых тел . Джон Уайли и сыновья . п. 368. ИСБН 978-0-470-85275-0 .

[Llewellyn-19] Типлер, Пол Аллен; Ллевеллин, Ральф А. (2002). Современная физика (4-е изд.). Макмиллан . п. 310. ИСБН 978-0-7167-4345-3 .

[Crowther-20] Кроутер, Дж. А. (1949). Ионы, электроны и ионизирующие излучения (8-е изд.). Лондон: Эдвард Арнольд. п. 270 .

[Rice-21] Райс, Стюарт Алан (2004). Достижения химической физики . Уайли . стр. 208 и далее. ISBN 978-0-471-44528-9 .

[Steiner-22] Штайнер, Маркус (2004). Микромагнетизм и электрическое сопротивление ферромагнитных электродов для устройств спиновой инжекции . Кювилье Верлаг. п. 6. ISBN 978-3-86537-176-8 .

[23] Фиггис, Б.Н.; Льюис, Дж. (1960). «Магнитохимия комплексных соединений» . В Льюисе, Дж.; Уилкинс, Р.Г. (ред.). Современная координационная химия: Принципы и методы . Нью-Йорк: Межнаучный. стр. 405–407.

[24] «Результаты поиска по запросу «магнитный момент» » . CODATA рекомендует значения фундаментальных физических констант, рекомендованные на международном уровне . Национальный институт стандартов и технологий . Проверено 11 мая 2012 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

258

[9]

257

[10]

[11]

[12]

[13]

184

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]