Магнитный момент электрона

«Спин электрона» перенаправляется сюда. См. также Электронный спиновый резонанс и Спин (физика) .

В атомной физике магнитный момент электрона , или, более конкретно, магнитный дипольный момент электрона , является магнитным моментом электрона , возникающим из его внутренних свойств спина и электрического заряда . Значение магнитного момента электрона (обозначение μ _e ) составляет −9,284 764 6917 (29) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ‍ В единицах магнетона Бора ( μ _B ) это -1,001 159 652 180 59 (13) μ _B , значение, измеренное с относительной точностью 1,3 × 10 ⁻¹³ .

Магнитный момент электрона

Электрон — заряженная частица с зарядом −e , где e — единица элементарного заряда . Его угловой момент возникает в результате двух типов вращения: вращения и орбитального движения . Согласно классической электродинамике , вращающееся распределение электрического заряда создает магнитный диполь , который ведет себя как крошечный стержневой магнит . Одним из следствий является то, что внешнее магнитное поле оказывает крутящий момент электрона на магнитный момент , который зависит от ориентации этого диполя относительно поля.

Если электрон визуализировать как классическое твердое тело, в котором масса и заряд имеют одинаковое распределение и движение, которое вращается вокруг оси с угловым моментом L , его магнитный дипольный момент μ определяется выражением: $${\boldsymbol {\mu }}={\frac {-e}{2m_{\text{e}}}}\,\mathbf {L} \,,$$где m _e — электрона масса покоя . Угловой момент L в этом уравнении может быть спиновым угловым моментом, орбитальным угловым моментом или полным угловым моментом. Отношение между истинным спиновым магнитным моментом и моментом, предсказанным этой моделью, представляет собой , известный как _{безразмерный фактор ge} электрона g -фактор : $${\boldsymbol {\mu }}=g_{\text{e}}\,{\frac {(-e)}{~2m_{\text{e}}~}}\,\mathbf {L} \,.$$

Магнитный момент обычно выражают через приведенную постоянную Планка ħ и магнетон Бора µ _B : $${\boldsymbol {\mu }}=-g_{\text{e}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {\mathbf {L} }{\hbar }}\,.$$

Поскольку магнитный момент квантуется в единицах µ _B , соответственно угловой момент квантуется в единицах ħ .

Формальное определение

Однако классические понятия, такие как центр заряда и масса, трудно уточнить для квантовой элементарной частицы. На практике определение, используемое экспериментаторами, исходит из форм-факторов $F_{i}(q^{2})$ появляющийся в матричном элементе $$\langle p_{f}|j^{\mu }|p_{i}\rangle ={\bar {u}}(p_{f})\left[F_{1}(q^{2})\gamma ^{\mu }+{\frac {~i\sigma ^{\mu \nu }~}{~2\,m_{\text{e}}~}}q_{\nu }F_{2}(q^{2})+i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\sigma _{\rho \sigma }q_{\nu }F_{3}(q^{2})+{\frac {1}{~2\,m_{\text{e}}~}}\left(q^{\mu }-{\frac {q^{2}}{2m}}\gamma ^{\mu }\right)\gamma _{5}F_{4}(q^{2})\right]u(p_{i})$$

оператора электромагнитного тока между двумя состояниями на оболочке. Здесь $u(p_{i})$ и ${\bar {u}}(p_{f})$ являются 4-спинорным решением уравнения Дирака, нормированным так, что ${\bar {u}}u=2m_{\text{e}}$, и $q^{\mu }=p_{f}^{\mu }-p_{i}^{\mu }$ – передача импульса от тока к электрону. $q^{2}=0$ форм-фактор $F_{1}(0)=-e$ это заряд электрона, ${\textstyle \mu ={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}(F_{1}(0)+F_{2}(0))}$ - его статический магнитный дипольный момент, а ${\textstyle -{\frac {1}{2m_{\text{e}}}}F_{3}(0)}$ дает формальное определение электрического дипольного момента электрона . Оставшийся форм-фактор $F_{4}(q^{2})$ если бы он был ненулевым, это был бы анапольный момент .

дипольный

Спиновый магнитный момент присущ электрону. Это $${\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {S} ~}{\hbar }}\,.$$

Здесь S — угловой момент спина электрона. Спиновый g -фактор равен примерно двум: $g_{\text{s}}\approx 2$. Коэффициент два указывает на то, что электрон, по-видимому, в два раза эффективнее создает магнитный момент, чем заряженное тело, у которого распределения массы и заряда идентичны.

Спиновый магнитный дипольный момент составляет примерно один микроБ _, поскольку $g_{\text{s}}\approx 2$ а электрон представляет собой спин- 1 ⁄ частица ( S = ħ ⁄ 2 ):

- компонента z магнитного момента электрона равна $$({\boldsymbol {\mu }}_{\text{s}})_{z}=-g_{\text{s}}\,\mu _{\text{B}}\,m_{\text{s}}\,,$$где m _s — спиновое квантовое число . Обратите внимание, что µ — отрицательная константа, умноженная на спин , поэтому магнитный момент антипараллелен угловому моменту спина.

Спиновый g -фактор g _s = 2 исходит из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами. Сведение уравнения Дирака для электрона в магнитном поле к его нерелятивистскому пределу дает уравнение Шредингера с поправочным членом, которое учитывает взаимодействие собственного магнитного момента электрона с магнитным полем, дающим правильную энергию.

Для спина электрона наиболее точное значение спинового g -фактора экспериментально установлено :

−2.002 319 304 360 92 (36) . ‍

Обратите внимание, что это лишь незначительно отличается от значения уравнения Дирака. Небольшая поправка известна как аномальный магнитный дипольный момент электрона; оно возникает в результате взаимодействия электрона с виртуальными фотонами в квантовой электродинамике . Триумфом теории квантовой электродинамики -фактора электрона является точное предсказание g . Значение CODATA для магнитного момента электрона равно

−9.284 764 6917 (29) × 10 ⁻²⁴  J⋅T ⁻¹ . ‍

дипольный

Вращение электрона вокруг оси через другой объект, например ядро, приводит к возникновению орбитального магнитного дипольного момента. Предположим, что угловой момент орбитального движения равен L . Тогда орбитальный магнитный дипольный момент равен $${\boldsymbol {\mu }}_{L}=-g_{\text{L}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {L} ~}{\hbar }}\,.$$

Здесь g _L — орбитальный g -фактор электрона , а µ _B — магнетон Бора . Значение g _L точно равно единице по квантовомеханическому аргументу, аналогичному выводу классического гиромагнитного отношения .

дипольный

Полный магнитный дипольный момент, возникающий как из-за спинового, так и из-за орбитального угловых моментов электрона, связан с полным угловым моментом J аналогичным уравнением: $${\boldsymbol {\mu }}_{\text{J}}=-g_{\text{J}}\,\mu _{\text{B}}\,{\frac {~\mathbf {J} ~}{\hbar }}\,.$$

g g -фактор J _{известен} как Ланде g -фактор , который можно связать с g _L и g _S с помощью квантовой механики. см Ланде . в g -факторе Подробности .

Пример: атом водорода

Для атома водорода , электрона, занимающего атомную орбиталь Ψ _n,ℓ,m   , магнитный дипольный момент определяется выражением $$\mu _{\text{L}}=-g_{\text{L}}{\frac {\mu _{\text{B}}}{\hbar }}\langle \Psi _{n,\ell ,m}|L|\Psi _{n,\ell ,m}\rangle =-\mu _{\text{B}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}.$$

Здесь L — орбитальный угловой момент , n , ℓ и m — главное , азимутальное и магнитное квантовые числа соответственно.Z- компонента орбитального магнитного дипольного момента для электрона с магнитным квантовым числом m _ℓ определяется выражением $$({\boldsymbol {\mu }}_{\text{L}})_{z}=-\mu _{\text{B}}m_{\ell }.$$

История

Магнитный момент электрона неразрывно связан со спином электрона, и его гипотеза была впервые высказана в ранних моделях атома в начале двадцатого века. Первым, кто ввел идею спина электрона, был Артур Комптон в своей статье 1921 года об исследовании ферромагнитных веществ с помощью рентгеновских лучей. В статье Комптона он писал: «Возможно, наиболее естественная и, конечно, наиболее общепринятая точка зрения на природу элементарного магнита состоит в том, что вращение электронов на орбитах внутри атома придает атому в целом свойства магнита. крошечный постоянный магнит».

В том же году Отто Штерн предложил эксперимент, проведенный позже, названный экспериментом Штерна-Герлаха , в котором атомы серебра в магнитном поле отклонялись в противоположных направлениях распределения. Этот период до 1925 года ознаменовал собой старую квантовую теорию, построенную на Бора-Зоммерфельда модели атома с его классическими эллиптическими орбитами электронов. В период между 1916 и 1925 годами был достигнут большой прогресс в отношении расположения электронов в таблице Менделеева . Чтобы объяснить эффект Зеемана в атоме Бора, Зоммерфельд предположил, что электроны будут основаны на трех «квантовых числах» n, k и m, которые описывают размер орбиты, форму орбиты и направление куда указывала орбита. Ирвинг Ленгмюр объяснил в своей статье 1919 года об электронах в их оболочках: «Ридберг указал, что эти числа получены из ряда $N=2(1+2^{2}+2^{2}+3^{2}+3^{2}+4^{2})$. Фактор два предполагает фундаментальную двойную симметрию для всех стабильных атомов». Этот $2n^{2}$ Конфигурация была принята Эдмундом Стоунером в октябре 1924 года в его статье «Распределение электронов по атомным уровням», опубликованной в «Философском журнале». Вольфганг Паули предположил, что для этого требуется четвертое квантовое число с двузначным значением.

Спин электрона в теориях

Основные статьи: уравнение Паули и уравнение Дирака

Начиная с этого момента заряд электрона e < 0 . Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна-Герлаха . Пучок атомов пропускается через сильное неоднородное магнитное поле, которое затем распадается на N частей в зависимости от собственных угловых моментов атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок расщепляется на две части - поэтому основное состояние не может быть целым, потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньшим, 1, пучок был бы разделен на 3 части. , соответствующий атомам с L _z = −1, 0 и +1. Вывод состоит в том, что атомы серебра имеют чистый собственный угловой момент 1 ⁄ 2 . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление путем введения двухкомпонентной волновой функции и соответствующего поправочного члена в гамильтониан , представляющего квазиклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, а именно: $$H={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}+e\phi .$$

Здесь A — векторный магнитный потенциал , φ — потенциал , представляют электромагнитное поле , а σ = ( σx _оба , σy ₎ , σz _{электрический} — матрицы Паули . При возведении в квадрат первого слагаемого наряду с обычным классическим гамильтонианом заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем, находится остаточное взаимодействие с магнитным полем: $$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} .$$

Этот гамильтониан теперь представляет собой матрицу размера 2 × 2, поэтому основанное на нем уравнение Шредингера должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. Паули представил сигма-матрицы 2 × 2 как чистую феноменологию — у Дирака теперь был теоретический аргумент , который подразумевал, что спин каким-то образом является следствием включения теории относительности в квантовую механику . внешнего электромагнитного 4-потенциала При введении аналогичным образом в уравнение Дирака, известного как минимальная связь , он принимает вид (в натуральных единицах ħ = c = 1) $$\left[-i\gamma ^{\mu }\left(\partial _{\mu }+ieA_{\mu }\right)+m\right]\psi =0$$где $\gamma ^{\mu }$ — гамма-матрицы (известные как матрицы Дирака ), а i — мнимая единица . Второе применение оператора Дирака теперь воспроизведет член Паули точно так же, как и раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i , имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутации, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящее перед новым термином Паули, объясняется из первых принципов. Это было главным достижением уравнения Дирака и вселило в физиков большую веру в его общую правильность. Теорию Паули можно рассматривать как нижний энергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами: $${\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c\sigma \cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}.$$так $${\begin{aligned}(E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{-}&=mc^{2}\psi _{+}\\-(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}&=mc^{2}\psi _{-}\end{aligned}}$$

Полагая поле слабым и движение электрона нерелятивистским, мы имеем полную энергию электрона, примерно равную его энергии покоя , а импульс, приходящий к классическому значению, $${\begin{aligned}E-e\phi &\approx mc^{2}\\p&\approx mv\end{aligned}}$$и поэтому второе уравнение можно записать $$\psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\psi _{+}$$

что в порядке вещей v ⁄ c - таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении сильно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки $$\left(E-mc^{2}\right)\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}$$

Оператор слева представляет энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является классической энергией, поэтому мы восстановим теорию Паули, если отождествим его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также было большим триумфом нового уравнения, поскольку оно проследило загадочное i , которое появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции вплоть до геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя и внешне имеет форму уравнения диффузии, на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что такое разделение спинора Дирака на большую и малую компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой несократимое целое, а компоненты, которыми мы только что пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, приведут к новым явлениям в релятивистском режиме — антиматерии и идее рождения и уничтожения частиц.

В общем случае (если некоторая линейная функция электромагнитного поля не обращается в нуль тождественно) три из четырех компонент спинорной функции в уравнении Дирака могут быть алгебраически исключены, что дает эквивалентное уравнение в частных производных четвертого порядка всего для одного компонента. . Более того, этот оставшийся компонент можно сделать реальным с помощью калибровочного преобразования.

Измерение

Существование аномального магнитного момента электрона обнаружено экспериментально методом магнитного резонанса . Это позволяет определить сверхтонкое расщепление энергетических уровней электронных оболочек в атомах протия и дейтерия по измеренной резонансной частоте для нескольких переходов.

Магнитный момент электрона измерен с помощью одноэлектронного квантового циклотрона и квантовой неразрушающей спектроскопии. Спиновая частота электрона определяется g - фактором . $$\nu _{s}={\frac {g}{2}}\nu _{c}$$$${\frac {g}{2}}={\frac {{\bar {\nu }}_{c}+{\bar {\nu }}_{a}}{{\bar {\nu }}_{c}}}$$

См. также

• Спин (физика)
• Электронное осаждение
• Магнит Бора
• Ядерный магнитный момент
• Магнитный момент нуклона
• Аномальный магнитный дипольный момент
• Электрический дипольный момент электрона
• Тонкая структура
• Сверхтонкая структура

Библиография

• Сергей Вонсовский (1975). Магнетизм элементарных частиц . Издательство «Мир».
• Син-Итиро Томонага (1997). История Спина . Издательство Чикагского университета.