Азимутальное квантовое число

В квантовой механике азимутальное квантовое число $ℓ$ — это квантовое число атомной орбитали , которое определяет его орбитальный угловой момент и описывает аспекты угловой формы орбитали. Азимутальное квантовое квантовое число — второе из набора квантовых чисел, которые описывают уникальное состояние электрона главное (остальные — квантовое число $n$ , магнитное квантовое число $m ℓ$ и спиновое квантовое число $m s$ ).

Для данного значения главного квантового числа $n$ ( электронная оболочка ) возможные значения $ℓ$ являются целыми числами от 0 до $n - 1$ . Например, $оболочка n = 1$ имеет только орбитали с $\ell =0$ , а $оболочка n = 2$ имеет только орбитали с $\ell =0$ , и $\ell =1$ .

Для заданного значения азимутального квантового числа $ℓ$ возможные значения магнитного квантового числа $m ℓ$ представляют собой целые числа от $m ℓ =-ℓ$ до $m ℓ =+ℓ$ , включая 0. Кроме того, спиновое квантовое число $m s$ может принять два различных значения. Набор орбиталей, связанных с определенным значением $ℓ$ , иногда вместе называют подоболочкой .

Первоначально атомоподобные орбитали использовались только для изолированных атомов, но они играют ключевую роль в конфигурации электронов в соединениях, включая газы, жидкости и твердые тела. Квантовое число $ℓ$ играет здесь важную роль благодаря связи с угловой зависимостью сферических гармоник для разных орбиталей вокруг каждого атома.

Номенклатура [ править ]

Термин «азимутальное квантовое число» был введен Арнольдом Зоммерфельдом в 1915 году. ^[1]^{: II:132}как часть специального описания энергетической структуры атомных спектров. Лишь позже, с появлением квантовой модели атома, стало понятно, что это число $ℓ$ возникает в результате квантования орбитального углового момента. Некоторые учебники ^[2]^: 199 и стандарт ISO 80000-10:2019. ^[3] назовите $ℓ$ квантовое число орбитального углового момента .

Энергетические уровни атома во внешнем магнитном поле зависят от $значения m ℓ$ , поэтому его иногда называют магнитным квантовым числом. ^[4]^: 240

Строчная буква $ℓ$ используется для обозначения орбитального углового момента отдельной частицы. Для системы с несколькими частицами $заглавная буква L.$ используется ^[3]

Связь орбиталями с атомными

Есть четыре квантовых числа — , ℓ , mℓ , _n ms — _{связанные} с энергетическими состояниями электронов изолированного атома. Эти четыре числа определяют уникальное и полное квантовое состояние любого отдельного электрона в атоме электрона , и они в совокупности составляют волновую функцию , или орбиталь .

При решении получения волновой функции уравнение Шредингера распадается на три уравнения, которые приводят к первым трем квантовым числам, а это означает, что эти три уравнения взаимосвязаны. Азимутальное квантовое число возникает при решении полярной части волнового уравнения, опираясь на сферическую систему координат , которая обычно лучше всего работает с моделями, имеющими достаточные аспекты сферической симметрии .

Угловой момент электрона $L$ связан с его квантовым числом $ℓ$ следующим уравнением:

\mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,

где

ħ

— приведенная постоянная Планка ,

L

— оператор орбитального углового момента и

\Psi

– волновая функция электрона. Квантовое число

ℓ

всегда является неотрицательным целым числом: 0, 1, 2, 3 и т. д. (Примечательно, что

L

не имеет реального значения, за исключением использования в качестве оператора углового момента; поэтому стандартной практикой является использование квантового числа ℓ). число

ℓ,

когда речь идет об угловом моменте).

Атомные орбитали имеют характерную форму (см. верхний рисунок), в которой буквы s , p , d , f и т. д. (используя соглашение, возникшее в спектроскопии ) обозначают форму атомной орбитали . Волновые функции этих орбиталей принимают форму сферических гармоник и поэтому описываются полиномами Лежандра . Несколько орбиталей, относящихся к различным (целым) значениям ℓ , иногда называют подоболочками , обозначаемыми строчными латинскими буквами, выбранными по историческим причинам, как показано в таблице «Квантовые подоболочки для азимутального квантового числа».

Квантовые подоболочки для азимутального квантового числа
Азимутальный квантовый число ( ℓ )	Исторический письмо	Исторический имя	Максимум электроны	Форма
0	с	острый	2	Сферическая (см. изображение сферических гармоник, верхний ряд ).
1	п	главный	6	Три в форме гантелей полярно ориентированные орбитали ; по одному лепестку на каждом полюсе осей x, y и z (по осям + и –).
2	д	диффузный	10	Девять гантелей и один пончик, или «Уникальная форма №1» (см. это изображение сферических гармоник, третий ряд в центре ).
3	ж	фундаментальный	14	«Уникальная форма №2» (см. изображение сферических гармоник, центр нижнего ряда ).
4	г	г аллант	18
5	час		22
6	я		26
Буквы после g подоболочки следуют в алфавитном порядке, за исключением буквы j и уже использованных.

Каждое из различных состояний углового момента может принять 2 (2 ℓ + 1) электронов. Это связано с тем, что третье квантовое число m _ℓ (которое можно условно рассматривать как квантованную проекцию вектора углового момента на ось z) изменяется от − ℓ до ℓ в целых единицах, и поэтому возможно 2 ℓ + 1. состояния. Каждая отдельная орбиталь n , ℓ , m _ℓ может быть занята двумя электронами с противоположными спинами (задаваемыми квантовым числом m _s = ± 1 ⁄ 2 ), что в целом дает 2 (2 ℓ + 1) электронов. Орбитали с более высоким значением ℓ , чем указано в таблице, вполне допустимы, но эти значения охватывают все обнаруженные к настоящему времени атомы.

Для данного значения главного квантового числа n возможные значения ℓ варьируются от 0 до $n - 1$ ; следовательно, $n = 1$ оболочка имеет только подоболочку s и может принимать только 2 электрона, $оболочка n = 2$ имеет подоболочку s и p и в целом может принимать 8 электронов, $оболочка n = 3$ обладает s , p и d подоболочек и имеет максимум 18 электронов и так далее.

Упрощенная одноэлектронная модель приводит к тому, что уровни энергии зависят только от главного числа. В более сложных атомах эти энергетические уровни разделяются для всех $n > 1$ , помещая состояния с более высоким ℓ над состояниями с более низким ℓ . Например, энергия 2p выше, чем у 2s, 3d встречается выше, чем 3p, что, в свою очередь, выше 3s и т. д. Этот эффект в конечном итоге формирует блочную структуру таблицы Менделеева. Ни один из известных атомов не имеет электрона с ℓ выше трех ( f ) в основном состоянии .

Квантовое число углового момента ℓ и соответствующая сферическая гармоника определяют количество плоских узлов, проходящих через ядро. Плоский узел в электромагнитной волне можно описать как среднюю точку между гребнем и впадиной, имеющую нулевую величину. На s-орбитали ни один узел не проходит через ядро, поэтому соответствующее азимутальное квантовое число ℓ принимает значение 0. На p -орбитали один узел пересекает ядро и, следовательно, ℓ имеет значение 1. $L$ имеет значение ${\sqrt {2}}\hbar$ .

В зависимости от значения n существует квантовое число углового момента ℓ и следующий ряд. Перечисленные длины волн относятся к атому водорода :

$n=1,L=0$ , серия Лаймана (ультрафиолетовая)
$n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$ , серия Бальмера (видна)
$n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$ , серия Ритца – Пашена ( ближний инфракрасный диапазон )
$n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$ , серия Brackett ( коротковолновое инфракрасное излучение )
$n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$ , серия Pfund ( средневолновой инфракрасный порт ).

Добавление моментов квантованных угловых

Учитывая квантованный полный угловой момент $\mathbf {j}$ это сумма двух отдельных квантованных угловых моментов ${\boldsymbol {\ell }}_{1}$ и ${\boldsymbol {\ell }}_{2}$ ,

\mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}

квантовое число

j

связанное с его величиной, может варьироваться от

|\ell _{1}-\ell _{2}|

к

\ell _{1}+\ell _{2}

целочисленными шагами где

\ell _{1}

и

\ell _{2}

— квантовые числа, соответствующие величинам отдельных угловых моментов.

Полный угловой момент электрона в атоме [ править ]

Из-за спин-орбитального взаимодействия в атоме орбитальный угловой момент больше не коммутирует с гамильтонианом , как и спин . Поэтому они меняются со временем. Однако полный угловой момент $J$ коммутирует с одноэлектронным гамильтонианом и поэтому является постоянным. $J$ определяется как

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}

L

— орбитальный угловой момент , а

S

— спин. Полный угловой момент удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и орбитальный угловой момент , а именно

[J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}

из чего следует, что

\left[J_{i},J^{2}\right]=0

где

J i

обозначают

J x

,

J y

и

J z

.

Квантовые числа, описывающие систему, которые постоянны во времени, теперь равны $j$ и $m j$ , определяемые действием $J$ на волновую функцию. $\Psi$

{\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}

Так что $j$ относится к норме полного углового момента, а $m j —$ к его проекции на заданную ось. Число j имеет особое значение для релятивистской квантовой химии и часто указывается в нижнем индексе для более глубоких состояний вблизи ядра, для которых важна спин-орбитальная связь.

Как и любой угловой момент в квантовой механике , проекцию $J$ вдоль других осей нельзя определить совместно с $J z$ , поскольку они не коммутируют. Собственные векторы j $и$ , $s$ , $m j$ и четности, которые также являются собственными векторами гамильтониана, представляют собой линейные комбинации собственных $ℓ$ , $s$ , $m ℓ$ m $s .$ векторов

За пределами изолированных атомов [ править ]

Квантовые числа углового момента относятся строго к изолированным атомам. Однако они имеют более широкое применение для атомов в твердых телах, жидкостях или газах. Квантовое число ℓ $m$ соответствует определенным сферическим гармоникам и обычно используется для описания особенностей, наблюдаемых в спектроскопических методах, таких как рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия. ^[5] и спектроскопия потерь энергии электронов . ^[6] (Обозначения немного другие: рентгеновские обозначения , где K, L, M используются для возбуждений из электронных состояний с $n=0,1,2$ .)

Квантовые числа углового момента также используются, когда электронные состояния описываются в таких методах, как теория функционала плотности Кона – Шэма. ^[7] или с гауссовскими орбиталями . ^[8] Например, в кремнии электронные свойства, используемые в полупроводниковых устройствах , обусловлены p-подобными состояниями с $l=1$ сосредоточены у каждого атома, тогда как многие свойства переходных металлов зависят от d-подобных состояний с $l=2$ . ^[9]

История [ править ]

Азимутальное квантовое число было перенесено из модели атома Бора и было сформулировано Арнольдом Зоммерфельдом . ^[10]Модель Бора была получена на основе спектроскопического анализа атомов в сочетании с атомной моделью Резерфорда . Было обнаружено, что самый низкий квантовый уровень имеет нулевой угловой момент. Орбиты с нулевым угловым моментом считались колеблющимися зарядами в одном измерении и поэтому описывались как орбиты «маятника», но не были обнаружены в природе. ^[11] В трехмерном измерении орбиты становятся сферическими без каких-либо узлов, пересекающих ядро, подобно (в состоянии с самой низкой энергией) скакалке, которая колеблется по одному большому кругу.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Уиттакер, Эдмунд Тейлор (1989). История теорий эфира и электричества . Дуврская классика науки и математики. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-26126-3 .
^ Шифф, Леонард (1949). Квантовая механика . МакГроу-Хилл.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Платформа онлайн-просмотра ISO» . 10-13.3 . Проверено 20 февраля 2024 г.
^ Айсберг, Роберт М.; Резник, Роберт (2009). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд., 37. [Начдр.] изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-87373-0 .
^ Хюфнер, Стефан (2003). Фотоэлектронная спектроскопия . Продвинутые тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-09280-4 . ISBN 978-3-642-07520-9 .
^ Эгертон, РФ (2011). Спектроскопия электронных потерь энергии в электронном микроскопе . Бостон, Массачусетс: Springer US. дои : 10.1007/978-1-4419-9583-4 . ISBN 978-1-4419-9582-7 .
^ Кон, В.; Шам, ЖЖ (1965). «Самосогласованные уравнения, включая эффекты обмена и корреляции» . Физический обзор . 140 (4А): А1133–А1138. дои : 10.1103/PhysRev.140.A1133 . ISSN 0031-899X .
^ Гилл, Питер М.В. (1994), «Молекулярные интегралы по гауссовым базисным функциям» , «Достижения в квантовой химии» , том. 25, Elsevier, стр. 141–205, номер документа : 10.1016/s0065-3276(08)60019-2 , ISBN. 978-0-12-034825-1 , получено 20 февраля 2024 г.
^ Петтифор, Д.Г. (1996). Связь и строение молекул и твердых тел . Оксфордские научные публикации (перепечатка с корр.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851786-3 .
^ Айсберг, Роберт (1974). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц . Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. 114–117. ISBN 978-0-471-23464-7 .
^ Р.Б. Линдсей (1927). «Заметка о «маятниковых» орбитах в моделях атома» . Учеб. Натл. акад. Наука . 13 (6): 413–419. Бибкод : 1927PNAS...13..413L . дои : 10.1073/pnas.13.6.413 . ПМК 1085028 . ПМИД 16587189 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Уиттакер, Эдмунд Тейлор (1989). История теорий эфира и электричества . Дуврская классика науки и математики. Нью-Йорк: Дувр. ISBN 978-0-486-26126-3 .

[Schiff-2] Шифф, Леонард (1949). Квантовая механика . МакГроу-Хилл.

[iso-3] Перейти обратно: ^а ^б «Платформа онлайн-просмотра ISO» . 10-13.3 . Проверено 20 февраля 2024 г.

[4] Айсберг, Роберт М.; Резник, Роберт (2009). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд., 37. [Начдр.] изд.). Нью-Йорк: Уайли. ISBN 978-0-471-87373-0 .

[5] Хюфнер, Стефан (2003). Фотоэлектронная спектроскопия . Продвинутые тексты по физике. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. дои : 10.1007/978-3-662-09280-4 . ISBN 978-3-642-07520-9 .

[6] Эгертон, РФ (2011). Спектроскопия электронных потерь энергии в электронном микроскопе . Бостон, Массачусетс: Springer US. дои : 10.1007/978-1-4419-9583-4 . ISBN 978-1-4419-9582-7 .

[7] Кон, В.; Шам, ЖЖ (1965). «Самосогласованные уравнения, включая эффекты обмена и корреляции» . Физический обзор . 140 (4А): А1133–А1138. дои : 10.1103/PhysRev.140.A1133 . ISSN 0031-899X .

[8] Гилл, Питер М.В. (1994), «Молекулярные интегралы по гауссовым базисным функциям» , «Достижения в квантовой химии» , том. 25, Elsevier, стр. 141–205, номер документа : 10.1016/s0065-3276(08)60019-2 , ISBN. 978-0-12-034825-1 , получено 20 февраля 2024 г.

[9] Петтифор, Д.Г. (1996). Связь и строение молекул и твердых тел . Оксфордские научные публикации (перепечатка с корр.). Оксфорд: Кларендон Пресс. ISBN 978-0-19-851786-3 .

[10] Айсберг, Роберт (1974). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц . Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc., стр. 114–117. ISBN 978-0-471-23464-7 .

[11] Р.Б. Линдсей (1927). «Заметка о «маятниковых» орбитах в моделях атома» . Учеб. Натл. акад. Наука . 13 (6): 413–419. Бибкод : 1927PNAS...13..413L . дои : 10.1073/pnas.13.6.413 . ПМК 1085028 . ПМИД 16587189 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т Это Электронная конфигурация
Электронная оболочка Атомная орбиталь Квантовая механика Введение в квантовую механику
Квантовые числа	Главное квантовое число ( $n$ ) Азимутальное квантовое число ( $ℓ$ ) Магнитное квантовое число ( $м$ ) Спиновое квантовое число ( $s$ )
Конфигурации основного состояния	Таблица Менделеева (электронные конфигурации) Электронные конфигурации элементов (страница данных)
Электронное заполнение	Принцип исключения Паули Правило собаки Принцип конструкции
Электронное спаривание	Электронная пара Непарный электрон
Связующее участие	валентный электрон Основной электрон
счета электронов Правила	Правило октета правило 18 электронов