Азимутальное квантовое число

Атомные орбитальные волновые функции атома водорода : азимутальное квантовое число ( ℓ ) обозначается буквой вверху каждого столбца. Главное квантовое число ( n ) показано справа от каждой строки.

В квантовой механике азимутальное квантовое число ℓ — это квантовое число атомной орбитали , которое определяет его орбитальный угловой момент и описывает аспекты угловой формы орбитали. Азимутальное m квантовое число — второе из набора квантовых чисел, которые описывают уникальное квантовое состояние электрона ( остальные — квантовое число n , магнитное квантовое число m _ℓ и спиновое квантовое число главное _s ).

Для данного значения главного квантового числа n ( электронная оболочка ) возможные значения ℓ — это целые числа от 0 до n - 1 . Например, оболочка n = 1 имеет только орбитали с $\ell =0$, а оболочка n = 2 имеет только орбитали с $\ell =0$, и $\ell =1$.

Для заданного значения азимутального квантового числа ℓ возможные значения магнитного квантового числа m _ℓ представляют собой целые числа от m _ℓ =-ℓ до m _ℓ =+ℓ , включая 0. Кроме того, спиновое квантовое число m _s может принять два различных значения. Набор орбиталей, связанных с определенным значением ℓ, иногда вместе называют подоболочкой .

Первоначально атомоподобные орбитали использовались только для изолированных атомов, но они играют ключевую роль в конфигурации электронов в соединениях, включая газы, жидкости и твердые тела. Квантовое число ℓ играет здесь важную роль благодаря связи с угловой зависимостью сферических гармоник для разных орбиталей вокруг каждого атома.

Номенклатура

Термин «азимутальное квантовое число» был введен Арнольдом Зоммерфельдом в 1915 году. как часть специального описания энергетической структуры атомных спектров. Лишь позже, с появлением квантовой модели атома, стало понятно, что это число ℓ возникает в результате квантования орбитального углового момента. Некоторые учебники и стандарт ISO 80000-10:2019. назовите ℓ момента квантовое число орбитального углового .

Энергетические уровни атома во внешнем магнитном поле зависят от значения mℓ _, поэтому его иногда называют магнитным квантовым числом.

Строчная буква ℓ используется для обозначения орбитального углового момента отдельной частицы. Для системы с несколькими частицами заглавная буква L. используется

с

Есть четыре квантовых числа n , ℓ , mℓ _— , ms _{— связанные с энергетическими} состояниями электронов изолированного атома. Эти четыре числа определяют уникальное и полное квантовое состояние любого отдельного электрона в атоме электрона , и они в совокупности составляют волновую функцию , или орбиталь .

При решении получения волновой функции уравнение Шредингера распадается на три уравнения, которые приводят к первым трем квантовым числам, а это означает, что эти три уравнения взаимосвязаны. Азимутальное квантовое число возникает при решении полярной части волнового уравнения, опираясь на сферическую систему координат , которая обычно лучше всего работает с моделями, имеющими достаточные аспекты сферической симметрии .

Азимутальное квантовое число: иллюстрирует (пять) альтернативных форм орбитального углового момента в виде «конусов» — здесь изображаются (пять) альтернативных значений приведенной постоянной Планка ħ .

Угловой момент электрона L связан с его квантовым числом ℓ следующим уравнением:

$$\mathbf {L} ^{2}\Psi =\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\Psi ,$$

где ħ — приведенная постоянная Планка , L — оператор орбитального углового момента и $\Psi$ – волновая функция электрона. Квантовое число ℓ всегда является неотрицательным целым числом: 0, 1, 2, 3 и т. д. (Примечательно, что L не имеет реального значения, за исключением использования в качестве оператора углового момента; поэтому стандартной практикой является использование квантового числа ℓ). число ℓ, когда речь идет об угловом моменте).

Атомные орбитали имеют характерную форму (см. верхний рисунок), в которой буквы s , p , d , f и т. д. (используя соглашение, возникшее в спектроскопии ) обозначают форму атомной орбитали . Волновые функции этих орбиталей принимают форму сферических гармоник и поэтому описываются полиномами Лежандра . Несколько орбиталей, относящихся к различным (целым) значениям ℓ , иногда называют подоболочками , обозначаемыми строчными латинскими буквами, выбранными по историческим причинам, как показано в таблице «Квантовые подоболочки для азимутального квантового числа».

Квантовые подоболочки для азимутального квантового числа

Азимутальный квантовый число ( ℓ )	Исторический письмо	Исторический имя	Максимум электроны	Форма
0	с	острый ​	2	Сферическая (см . изображение сферических гармоник, верхний ряд ).
1	п	главный ​	6	Три в форме гантелей полярно ориентированные орбитали ; по одному лепестку на каждом полюсе осей x, y и z (по осям + и –).
2	д	распространять буду	10	Девять гантелей и один пончик, или «Уникальная форма №1» (см. это изображение сферических гармоник, третий ряд в центре ).
3	ж	фундаментальный ​	14	«Уникальная форма №2» (см. изображение сферических гармоник, центр нижнего ряда ).
4	г	г аллант	18
5	час		22
6	я		26
Буквы после g подоболочки следуют в алфавитном порядке, за исключением буквы j и уже использованных.

Каждое из различных состояний углового момента может принять 2 (2 ℓ + 1) электронов. Это связано с тем, что третье квантовое число m _ℓ (которое можно рассматривать как квантованную проекцию вектора углового момента на ось z) изменяется от − ℓ до ℓ в целых единицах, и поэтому возможно 2 ℓ + 1. государства. Каждая отдельная орбиталь n , ℓ , m _ℓ может быть занята двумя электронами с противоположными спинами (задаваемыми квантовым числом m _s = ± 1 ⁄ 2 ), что в целом дает 2 (2 ℓ + 1) электронов. Орбитали с более высоким значением ℓ, чем указано в таблице, вполне допустимы, но эти значения охватывают все обнаруженные к настоящему времени атомы.

Для данного значения главного квантового числа n возможные значения ℓ варьируются от 0 до n - 1 ; следовательно, n = 1 оболочка имеет только подоболочку s и может принимать только 2 электрона, оболочка n = 2 имеет подоболочку s и p и в целом может принимать 8 электронов, оболочка n = 3 обладает s , p и d подоболочек и имеет максимум 18 электронов и так далее.

Упрощенная одноэлектронная модель приводит к тому, что уровни энергии зависят только от главного числа. В более сложных атомах эти энергетические уровни разделяются для всех n > 1 , помещая состояния с более высоким ℓ над состояниями с более низким ℓ . Например, энергия 2p выше, чем у 2s, 3d встречается выше, чем 3p, что, в свою очередь, выше 3s и т. д. Этот эффект в конечном итоге формирует блочную структуру таблицы Менделеева. Ни один известный атом не имеет электрона с ℓ выше трех ( f ) в основном состоянии .

Квантовое число углового момента ℓ и соответствующая сферическая гармоника определяют количество плоских узлов, проходящих через ядро. Плоский узел в электромагнитной волне можно описать как среднюю точку между гребнем и впадиной, имеющую нулевую величину. На s-орбитали ни один узел не проходит через ядро, поэтому соответствующее азимутальное квантовое число ℓ принимает значение 0. На p -орбитали один узел пересекает ядро ​​и, следовательно, ℓ имеет значение 1. $L$ имеет значение ${\sqrt {2}}\hbar$.

В зависимости от значения n существует квантовое число углового момента ℓ и следующий ряд. Перечисленные длины волн относятся к атому водорода :

• $n=1,L=0$, серия Лаймана (ультрафиолетовая)
• $n=2,L={\sqrt {2}}\hbar$, серия Бальмера (видна)
• $n=3,L={\sqrt {6}}\hbar$, серия Ритца – Пашена ( ближний инфракрасный диапазон )
• $n=4,L=2{\sqrt {3}}\hbar$, серия Brackett ( коротковолновое инфракрасное излучение )
• $n=5,L=2{\sqrt {5}}\hbar$, серия Pfund ( средневолновой инфракрасный порт ).

Добавление

Дополнительная информация: Муфта углового момента.

Учитывая квантованный полный угловой момент $\mathbf {j}$ это сумма двух отдельных квантованных угловых моментов ${\boldsymbol {\ell }}_{1}$ и ${\boldsymbol {\ell }}_{2}$,

$$\mathbf {j} ={\boldsymbol {\ell }}_{1}+{\boldsymbol {\ell }}_{2}$$

квантовое число $j$ связанное с его величиной, может варьироваться от $|\ell _{1}-\ell _{2}|$ к $\ell _{1}+\ell _{2}$ целочисленными шагамигде $\ell _{1}$ и $\ell _{2}$ — квантовые числа, соответствующие величинам отдельных угловых моментов.

Полный угловой момент электрона в атоме

«Векторные конусы» полного углового момента J (фиолетовый), орбитали L (синий) и спина S (зеленый). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерением составляющей углового момента.

Из-за спин-орбитального взаимодействия в атоме орбитальный угловой момент больше не коммутирует с гамильтонианом , как и спин . Поэтому они меняются со временем. Однако полный угловой момент J коммутирует с одноэлектронным гамильтонианом и поэтому является постоянным. J определяется как

$$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S}$$

L — орбитальный угловой момент , а S — спин. Полный угловой момент удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям, что и орбитальный угловой момент , а именно

$$[J_{i},J_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}J_{k}$$

из чего следует, что

$$\left[J_{i},J^{2}\right]=0$$

где J _i обозначают J _x , J _y и J _z .

Квантовые числа, описывающие систему, которые постоянны во времени, теперь равны j и m _j , определяемые действием J на ​​волновую функцию. $\Psi$

$${\begin{aligned}\mathbf {J} ^{2}\Psi &=\hbar ^{2}j(j+1)\Psi \\[1ex]\mathbf {J} _{z}\Psi &=\hbar m_{j}\Psi \end{aligned}}$$

Так что j относится к норме полного углового момента, а m _j — к его проекции на заданную ось. Число j имеет особое значение для релятивистской квантовой химии и часто указывается в нижнем индексе для более глубоких состояний вблизи ядра, для которых важна спин-орбитальная связь.

Как и любой угловой момент в квантовой механике , проекцию J вдоль других осей нельзя определить совместно с J _z , поскольку они не коммутируют.Собственные векторы j m , s , векторов _j и четности, которые также являются собственными векторами гамильтониана, представляют собой линейные комбинации собственных ℓ , s , m _ℓ и m _s .

За пределами изолированных атомов

Смотрите также: Теория функционала плотности и История спектроскопии.

Пример края ионизации внутренней оболочки (потери в сердечнике) данных EELS для La _0,7 Sr _0,3 MnO ₃ , полученных в сканирующем просвечивающем электронном микроскопе .

Квантовые числа углового момента относятся строго к изолированным атомам. Однако они имеют более широкое применение для атомов в твердых телах, жидкостях или газах. Квантовое число ℓ m соответствует определенным сферическим гармоникам и обычно используется для описания особенностей, наблюдаемых в спектроскопических методах, таких как рентгеновская фотоэлектронная спектроскопия. и спектроскопия потерь энергии электронов . (Обозначения немного другие: рентгеновские обозначения , где K, L, M используются для возбуждений из электронных состояний с $n=0,1,2$.)

Квантовые числа углового момента также используются, когда электронные состояния описываются в таких методах, как теория функционала плотности Кона – Шэма. или с гауссовскими орбиталями . Например, в кремнии электронные свойства, используемые в полупроводниковых устройствах, обусловлены p-подобными состояниями с $l=1$ с центром у каждого атома, тогда как многие свойства переходных металлов зависят от d-подобных состояний с $l=2$.

История

Азимутальное квантовое число было перенесено из модели атома Бора и было сформулировано Арнольдом Зоммерфельдом . Модель Бора была получена на основе спектроскопического анализа атомов в сочетании с атомной моделью Резерфорда . Было обнаружено, что самый низкий квантовый уровень имеет нулевой угловой момент. Орбиты с нулевым угловым моментом считались колеблющимися зарядами в одном измерении и поэтому описывались как орбиты «маятника», но не были обнаружены в природе. В трехмерном измерении орбиты становятся сферическими без каких-либо узлов, пересекающих ядро, подобно (в состоянии с самой низкой энергией) скакалке, которая колеблется по одному большому кругу.

См. также

• Введение в квантовую механику
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Муфта углового момента
• Оператор углового момента
• Коэффициенты Клебша – Гордана

Внешние ссылки

• Развитие атома Бора
• Объяснение азимутального уравнения