Оператор углового момента

В квантовой механике оператор углового момента является одним из нескольких родственных операторов, аналогичных классическому угловому моменту . Оператор углового момента играет центральную роль в теории атомной и молекулярной физики и других квантовых проблемах, связанных с вращательной симметрией . Такой оператор применяется к математическому представлению физического состояния системы и дает значение углового момента, если состояние имеет для него определенное значение. И в классических, и в квантово-механических системах угловой момент (вместе с линейным моментом и энергией ) является одним из трёх фундаментальных свойств движения.

Существует несколько операторов углового момента: полный угловой момент (обычно обозначаемый J ), орбитальный угловой момент (обычно обозначаемый L ) и спиновый угловой момент ( спин для краткости , обычно обозначаемый S ). Термин «оператор углового момента» может (что сбивает с толку) относиться как к полному, так и к орбитальному угловому моменту. Полный угловой момент всегда сохраняется , см. теорему Нётер .

Обзор

«Векторные конусы» полного углового момента J (зеленый), орбитали L (синий) и спина S (красный). Конусы возникают из-за квантовой неопределенности между измерениями компонентов углового момента ( см. ниже ).

В квантовой механике угловой момент может относиться к одному из трех разных, но связанных между собой явлений.

Орбитальный угловой момент

Классическое определение углового момента : $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$. Квантово-механические аналоги этих объектов имеют те же отношения: $$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$$где r — оператор квантового положения , p — оператор квантового момента , × — векторное произведение , а L — оператор орбитального углового момента . L (так же, как p и r ) — векторный оператор (вектор, компоненты которого являются операторами), т.е. $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$ где L _x , L _y , L _z — три разных квантовомеханических оператора.

В частном случае одиночной частицы без электрического заряда и спина оператор орбитального углового момента можно записать в базисе позиций как: $$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$$где ∇ — вектор-дифференциальный оператор del .

Спиновый угловой момент

Основная статья: Спин (физика)

Существует другой тип углового момента, называемый спиновым угловым моментом (чаще сокращается до спина ), представленный оператором спина. $\mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)$. Спин часто изображают как частицу, буквально вращающуюся вокруг оси, но это лишь метафора: ближайший классический аналог основан на волновой циркуляции. Все элементарные частицы имеют характерный спин ( скалярные бозоны имеют нулевой спин). Например, электроны всегда имеют «спин 1/2», а фотоны всегда имеют «спин 1» (подробности ниже ).

Полный угловой момент

Наконец, существует полный угловой момент $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$, который сочетает в себе как спин, так и орбитальный угловой момент частицы или системы: $$\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .$$

Сохранение углового момента означает, что J для закрытой системы или J для всей Вселенной сохраняется. Однако L и S сохраняются обычно не . Например, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться туда и обратно между L и S , при этом общий J остается постоянным.

Коммутационные отношения

Коммутационные отношения между компонентами

Оператор орбитального углового момента является векторным оператором, то есть его можно записать через его векторные компоненты. $\mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)$. Компоненты имеют следующие коммутационные отношения : между собой $$\left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},$$

где [ , ] обозначает коммутатор $$[X,Y]\equiv XY-YX.$$

В общем виде это можно записать как $$\left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},$$где l , m , n — индексы компонентов (1 для x , 2 для y , 3 для z ), а ε _lmn обозначает символ Леви-Чивита .

Также возможно компактное выражение в виде одного векторного уравнения: $$\mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L}$$

Коммутационные соотношения могут быть доказаны как прямое следствие канонических коммутационных соотношений $[x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}$, где δ _lm — дельта Кронекера .

Аналогичная зависимость существует и в классической физике: $$\left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}$$где L _n — компонента классического оператора углового момента, а $\{,\}$ есть скобка Пуассона .

Те же коммутационные соотношения применимы и для других операторов углового момента (спина и полного углового момента): $$\left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.$$

Можно предположить, что они выполняются по аналогии с L . Альтернативно, они могут быть получены, как описано ниже .

Эти коммутационные соотношения означают, что L имеет математическую структуру алгебры Ли , а ε _lmn — ее структурные константы . В этом случае алгеброй Ли является SU(2) или SO(3) в физических обозначениях ( $\operatorname {su} (2)$ или $\operatorname {so} (3)$ соответственно в математических обозначениях), т.е. алгебра Ли, связанная с вращениями в трех измерениях. То же самое относится и J и S. к Причина обсуждается ниже . Эти коммутационные соотношения актуальны для измерения и неопределенности, как обсуждается ниже.

В молекулах полный угловой момент F представляет собой сумму ровибронного (орбитального) углового момента N углового момента электронного спина S и углового момента ядерного спина I. , Для электронных синглетных состояний ровибронный угловой момент обозначается J, не N. а Как объяснил Ван Флек, компоненты молекулярного ровибронного углового момента, отнесенные к неподвижным осям молекулы, имеют иные коммутационные соотношения, чем приведенные выше, которые относятся к компонентам относительно неподвижных в пространстве осей.

Коммутационные отношения, включающие векторную величину

Как и любой вектор, квадрат величины можно определить для оператора орбитального углового момента: $$L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$$

$L^{2}$ это еще один квантовый оператор . Он коммутирует с компонентами $\mathbf {L}$, $$\left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.$$

Один из способов доказать, что эти операторы коммутируют, — начать с коммутационных соотношений [ L _ℓ , L _m ] из предыдущего раздела:

Доказательство [ L ² , L _x ] = 0, исходя из [ L _ℓ , L _{m ]} коммутационных соотношений

$${\begin{aligned}\left[L^{2},L_{x}\right]&=\left[L_{x}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{y}^{2},L_{x}\right]+\left[L_{z}^{2},L_{x}\right]\\&=L_{y}\left[L_{y},L_{x}\right]+\left[L_{y},L_{x}\right]L_{y}+L_{z}\left[L_{z},L_{x}\right]+\left[L_{z},L_{x}\right]L_{z}\\&=L_{y}\left(-i\hbar L_{z}\right)+\left(-i\hbar L_{z}\right)L_{y}+L_{z}\left(i\hbar L_{y}\right)+\left(i\hbar L_{y}\right)L_{z}\\&=0\end{aligned}}$$

Математически, $L^{2}$ является инвариантом Казимира алгебры Ли SO(3), натянутой на $\mathbf {L}$.

Как и выше, аналогичная зависимость существует и в классической физике: $$\left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0$$где $L_{i}$ является компонентой классического оператора углового момента, а $\{,\}$ есть скобка Пуассона .

Возвращаясь к квантовому случаю, те же коммутационные соотношения применимы и к другим операторам углового момента (спину и полному угловому моменту): $${\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}$$

Принцип неопределенности

Основные статьи: Принцип неопределенности и вывод принципа неопределенности

В общем, в квантовой механике, когда два наблюдаемых оператора не коммутируют, их называют дополнительными наблюдаемыми . Две дополняющие друг друга наблюдаемые величины не могут быть измерены одновременно; вместо этого они удовлетворяют принципу неопределенности . Чем точнее известна одна наблюдаемая, тем менее точно может быть известна другая. Точно так же, как существует принцип неопределенности, связывающий положение и импульс, существуют принципы неопределенности и для углового момента.

Соотношение Робертсона-Шредингера дает следующий принцип неопределенности: $$\sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.$$где $\sigma _{X}$ – стандартное отклонение измеренных значений X и $\langle X\rangle$ обозначает ожидание X. ​ математическое Это неравенство также верно, если , y, z переставить или если L заменить на J или S. x

Следовательно, две ортогональные компоненты углового момента (например, L _x и L _y ) дополняют друг друга и не могут быть одновременно известны или измерены, за исключением особых случаев, таких как $L_{x}=L_{y}=L_{z}=0$.

Однако возможно одновременно измерить или указать L ² и любой один компонент L ; например, Л ² и Л _з . Это часто бывает полезно, и значения характеризуются азимутальным квантовым числом ( l ) и магнитным квантовым числом ( m ). В этом случае квантовое состояние системы является одновременным собственным состоянием операторов L ² и L _z , не L x _но или L _y . Собственные значения связаны с l и m , как показано в таблице ниже.

Квантование

См. Также: Азимутальное квантовое число и Магнитное квантовое число.

В квантовой механике угловой момент квантуется – то есть он не может изменяться непрерывно, а только «квантовыми скачками» между определёнными допустимыми значениями. Для любой системы применяются следующие ограничения на результаты измерений, где $\hbar$ приведенная постоянная Планка :

Если вы измерите ...	...результат может быть...	Примечания
$L^{2}$	$\hbar ^{2}\ell (\ell +1)$, где $\ell =0,1,2,\ldots$	$\ell$ иногда называют азимутальным квантовым числом или орбитальным квантовым числом .
$L_{z}$	$\hbar m_{\ell }$, где $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell$	$m_{\ell }$ иногда называют магнитным квантовым числом . Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {L}$; например, $L_{x}\,or\,L_{y}$. Это правило иногда называют пространственным квантованием .
$S^{2}$	$\hbar ^{2}s(s+1)$, где $s=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	s называется спиновым квантовым числом или просто спином . Например, спин- 1 ⁄ 2 частица – это частица, у которой s = 1 ⁄ 2 .
$S_{z}$	$\hbar m_{s}$, где $m_{s}=-s,(-s+1),\ldots ,(s-1),s$	$m_{s}$ иногда называют квантовым числом проекции спина . Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {S}$; например, $S_{x}\,or\,S_{y}$.
$J^{2}$	$\hbar ^{2}j(j+1)$, где $j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\ldots$	j иногда называют квантовым числом полного углового момента .
$J_{z}$	$\hbar m_{j}$, где $m_{j}=-j,(-j+1),\ldots ,(j-1),j$	$m_{j}$ иногда называют квантовым числом проекции полного углового момента . Это же правило квантования справедливо для любого компонента $\mathbf {J}$; например, $J_{x}\,or\,J_{y}$.

Вывод с использованием лестничных операторов

Основная статья: Лестничный оператор § Угловой момент

Распространенным способом получения приведенных выше правил квантования является метод лестничных операторов . Лестничные операторы для полного углового момента $\mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)$ определяются как: $${\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}$$

Предполагать $|\psi \rangle$ является одновременным собственным состоянием $J^{2}$ и $J_{z}$ (т.е. состояние с определенным значением для $J^{2}$ и определенное значение для $J_{z}$). Тогда, используя коммутационные соотношения для компонент $\mathbf {J}$, можно доказать, что каждое из состояний $J_{+}|\psi \rangle$ и $J_{-}|\psi \rangle$ либо ноль, либо одновременное собственное состояние $J^{2}$ и $J_{z}$, с тем же значением, что и $|\psi \rangle$ для $J^{2}$ но со значениями для $J_{z}$ которые увеличиваются или уменьшаются на $\hbar$ соответственно. Результат равен нулю, если в противном случае использование лестничного оператора привело бы к состоянию со значением $J_{z}$ это выходит за пределы допустимого диапазона. Используя лестничные операторы таким образом, возможные значения и квантовые числа для $J^{2}$ и $J_{z}$ можно найти.

Вывод возможных значений и квантовых чисел для $J_{z}$ и $J^{2}$.

Позволять $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ быть функцией состояния системы с собственным значением ${J^{2}}'$ для $J^{2}$ и собственное значение $J_{z}'$ для $J_{z}$.

От $J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}$ получается, $$J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.$$Применяя обе части приведенного выше уравнения к $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$, $$(J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$$С $J_{x}$ и $J_{y}$ являются реальными наблюдаемыми, ${J^{2}}'-J_{z}'^{2}$ не является отрицательным и ${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. Таким образом $J_{z}'$ имеет верхнюю и нижнюю границу.

Два коммутационных соотношения для компонент $\mathbf {J}$ являются, $$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.$$Их можно объединить, чтобы получить два уравнения, которые записываются вместе с помощью $\pm$ следующие знаки: $$J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),$$где в одном из уравнений используется $+$ знаки, а другой использует $-$ знаки.Применяя обе стороны вышеизложенного к $\psi ({J^{2}}'J_{z}')$, $${\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}$$Вышеизложенное показывает, что $(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')$ две собственные функции $J_{z}$ с соответствующими собственными значениями ${J_{z}}'\pm \hbar$ , если только одна из функций не равна нулю, и в этом случае она не является собственной функцией. Для функций, не равных нулю, $$\psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').$$Дальнейшие собственные функции $J_{z}$ и соответствующие собственные значения можно найти, многократно применяя $J_{x}\pm iJ_{y}$ до тех пор, пока величина результирующего собственного значения равна $\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}$.Поскольку собственные значения $J_{z}$ ограничены, пусть $J_{z}^{0}$ быть наименьшим собственным значением и $J_{z}^{1}$ быть самым высоким. Затем $$(J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0$$ и $$(J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,$$поскольку нет состояний, в которых собственное значение $J_{z}$ является $<J_{z}^{0}$ или $>J_{z}^{1}$. Применив $(J_{x}+iJ_{y})$ к первому уравнению, $(J_{x}-iJ_{y})$ ко второму, используя $J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}$, а также используя $J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}$, можно показать, что $${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$$ и $${J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.$$Вычитая первое уравнение из второго и переставляя, $$(J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.$$С $J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}$, второй фактор отрицательный. Тогда первый множитель должен быть равен нулю и, следовательно, $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$.

Разница $J_{z}^{1}-J_{z}^{0}$ происходит в результате последовательного применения $J_{x}-iJ_{y}$ или $J_{x}+iJ_{y}$ которые понижают или повышают собственное значение $J_{z}$ к $\hbar$ так что, $$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots$$Позволять $$J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,$$ где $$j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.$$Затем используя $J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}$ и вышеизложенное, $$J_{z}^{0}=-j\hbar$$ и $$J_{z}^{1}=j\hbar ,$$и допустимые собственные значения $J_{z}$ являются $$J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .$$Выражение $J_{z}'$ с точки зрения квантового числа $m_{j}\;$, и подставив $J_{z}^{0}=-j\hbar$ в ${J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0$ сверху,

${\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}$

С $\mathbf {S}$ и $\mathbf {L}$ имеют те же коммутационные соотношения, что и $\mathbf {J}$, к ним можно применить тот же лестничный анализ, за ​​исключением того, что для $\mathbf {L}$ Существует еще одно ограничение на квантовые числа: они должны быть целыми числами.

Традиционный вывод ограничения на целые квантовые числа для $L_{z}$ и $L^{2}$.

В представлении Шредингера компонент z оператора орбитального углового момента может быть выражен в сферических координатах как: $$L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.$$Для $L_{z}$ и собственная функция $\psi$ с собственным значением $L_{z}'$, $$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .$$Решение для $\psi$, $$\psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },$$где $A$ не зависит от $\phi$. С $\psi$ должно быть однозначным, и добавление $2\pi$ к $\phi$ приводит к координате той же точки в пространстве, $${\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}$$Решение собственного значения $L_{z}'$, $$L_{z}'=m_{l}\hbar \;,$$где $m_{l}$ является целым числом. Из вышеизложенного и связи $m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \$, отсюда следует, что $\ell$ также является целым числом. Это показывает, что квантовые числа $m_{\ell }$ и $\ell$ для орбитального углового момента $\mathbf {L}$ ограничены целыми числами, в отличие от квантовых чисел для полного углового момента $\mathbf {J}$ и вращаться $\mathbf {S}$, который может иметь полуцелые значения.

альтернативный вывод, который не предполагает однозначных волновых функций приводится , а еще один аргумент с использованием групп Ли Ниже .

Альтернативный вывод ограничения на целые квантовые числа для $L_{z}$ и $L^{2}$

Ключевой частью традиционного вывода, приведенного выше, является то, что волновая функция должна быть однозначной. Сейчас многие признают это не совсем правильным: волновая функция $\psi$ не наблюдаема, и только плотность вероятности $\psi ^{*}\psi$ требуется, чтобы оно было однозначным. Возможные двузначные полуцелые волновые функции имеют однозначную плотность вероятности. Это было признано Паули в 1939 г. (цитируется Джапаридзе и др.). )

... не существует априорно убедительного аргумента, утверждающего, что волновые функции, описывающие некоторые физические состояния, должны быть однозначными функциями. Для физических величин, выражаемых квадратамиволновых функций, чтобы быть однозначными, вполне достаточно, чтобы после движения по замкнутому контуру эти функции приобрели множитель exp(iα)

Были найдены двузначные волновые функции, такие как $\left|{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta$ и $\left|{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}}\right\rangle =e^{-i\phi /2}\sin ^{\frac {1}{2}}\theta$. Они плохо себя ведут под действием лестничных операторов, но оказались полезными при описании жестких квантовых частиц.

Баллентин дает аргумент, основанный исключительно на операторном формализме и не полагающийся на однозначность волновой функции. Азимутальный угловой момент определяется как $$L_{z}=Q_{x}P_{y}-Q_{y}P_{x}$$Определение новых операторов $${\begin{aligned}q_{1}&={\frac {Q_{x}+P_{y}}{\sqrt {2}}}&q_{2}&={\frac {Q_{x}-P_{y}}{\sqrt {2}}}\\p_{1}&={\frac {P_{x}-Q_{y}}{\sqrt {2}}}&p_{2}&={\frac {P_{x}+Q_{y}}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$$(Правильность размеров можно сохранить, введя коэффициенты массы и единичной угловой частоты, численно равные единице.) Тогда $$L_{z}={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)-{\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)$$Но два члена справа — это всего лишь гамильтонианы для квантового гармонического осциллятора с единичной массой и угловой частотой. $${\begin{aligned}H_{1}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{1}^{2}+q_{1}^{2}\right)\\H_{2}&={\tfrac {1}{2}}\left(p_{2}^{2}+q_{2}^{2}\right)\end{aligned}}$$и $L^{2}$, $L_{z}$, $H_{1}$ и $H_{2}$ все ездят на работу.

Для коммутирующих эрмитовых операторов можно выбрать полный набор базисных векторов, которые являются собственными векторами для всех четырех операторов. (Аргумент Глориозо легко обобщается на любое количество коммутирующих операторов.)

Для любого из этих собственных векторов $\psi$ с $${\begin{aligned}L^{2}\psi &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\psi \\L_{z}\psi &=\hbar m\psi \\H_{1}\psi &=\hbar \left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \\H_{2}\psi &=\hbar \left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)\psi \end{aligned}}$$для некоторых целых чисел $n_{1},n_{2}$, мы находим $$m=\left(n_{1}+{\tfrac {1}{2}}\right)-\left(n_{2}+{\tfrac {1}{2}}\right)=n_{1}-n_{2}$$Как разность двух целых чисел, $m$ должно быть целым числом, из которого $\ell$ также является целым.

Более сложная версия этого аргумента с использованием лестничных операторов квантового гармонического осциллятора была предложена Бухдалем.

Визуальная интерпретация

Иллюстрация векторной модели орбитального углового момента.

Поскольку угловые моменты являются квантовыми операторами, их нельзя нарисовать в виде векторов, как в классической механике. Тем не менее, их принято изображать эвристически таким образом. Справа изображен набор состояний с квантовыми числами. $\ell =2$, и $m_{\ell }=-2,-1,0,1,2$ для пяти конусов снизу вверх. С $|L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}$, все векторы показаны с длиной $\hbar {\sqrt {6}}$. Кольца символизируют тот факт, что $L_{z}$ известно достоверно, но $L_{x}$ и $L_{y}$ неизвестны; поэтому каждый классический вектор соответствующей длины и z -компоненты рисуется, образуя конус. Ожидаемое значение углового момента для данного ансамбля систем в квантовом состоянии, характеризуемом $\ell$ и $m_{\ell }$ может находиться где-то на этом конусе, но его нельзя определить для отдельной системы (поскольку компоненты $L$ не ездите друг с другом).

Квантование в макроскопических системах

Широко распространено мнение, что правила квантования верны даже для макроскопических систем, таких как угловой момент L вращающейся шины. Однако они не имеют заметного эффекта, поэтому это не проверялось. Например, если $L_{z}/\hbar$ примерно 100000000, по существу не имеет значения, является ли точное значение целым числом, например 100000000 или 100000001, или нецелым числом, например 100000000,2 — дискретные шаги в настоящее время слишком малы для измерения.

Угловой момент как генератор вращений

Смотрите также: Квантовое число полного углового момента

Наиболее общее и фундаментальное определение углового момента — как генератора вращений . Точнее, пусть $R({\hat {n}},\phi )$ быть оператором вращения , который вращает любое квантовое состояние вокруг оси ${\hat {n}}$ по углу $\phi$. Как $\phi \rightarrow 0$, оператор $R({\hat {n}},\phi )$ приближается к тождественному оператору , поскольку вращение на 0° отображает все состояния сами на себя. Тогда оператор углового момента $J_{\hat {n}}$ около оси ${\hat {n}}$ определяется как: $$J_{\hat {n}}\equiv i\hbar \lim _{\phi \rightarrow 0}{\frac {R\left({\hat {n}},\phi \right)-1}{\phi }}=\left.i\hbar {\frac {\partial R\left({\hat {n}},\phi \right)}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}$$

где 1 — тождественный оператор . Также обратите внимание, что R является аддитивным морфизмом: $R\left({\hat {n}},\phi _{1}+\phi _{2}\right)=R\left({\hat {n}},\phi _{1}\right)R\left({\hat {n}},\phi _{2}\right)$ ; как следствие $$R\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi J_{\hat {n}}}{\hbar }}\right)$$где exp – матричная экспонента . Существование генератора гарантируется теоремой Стоуна об однопараметрических унитарных группах .

Проще говоря, оператор полного углового момента характеризует, как изменяется квантовая система при ее вращении. Отношения между операторами углового момента и операторами вращения такие же, как отношения между алгебрами Ли и группами Ли в математике, как обсуждается ниже.

Различные типы операторов вращения . В верхнем блоке показаны две частицы, спиновые состояния которых схематически обозначены стрелками.

1. Оператор R , связанный с J , вращает всю систему.
2. Оператор R _{пространственный} , связанный с L , вращает положения частиц, не изменяя их внутренние спиновые состояния.
3. Оператор R _Internal , связанный с S , вращает внутренние спиновые состояния частиц, не меняя их положения.

Так же, как J является генератором операторов вращения , L и S являются генераторами модифицированных операторов частичного вращения. Оператор $$R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi L_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$$вращает положение (в пространстве) всех частиц и полей, не вращая внутреннее (спиновое) состояние какой-либо частицы. Аналогично, оператор $$R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)=\exp \left(-{\frac {i\phi S_{\hat {n}}}{\hbar }}\right),$$вращает внутреннее (спиновое) состояние всех частиц, не перемещая ни частиц, ни полей в пространстве. Отношение J = L + S возникает из: $$R\left({\hat {n}},\phi \right)=R_{\text{internal}}\left({\hat {n}},\phi \right)R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},\phi \right)$$

т.е. если позиции повернуты, а затем повернуты внутренние состояния, то в целом вся система повернулась.

SU (2), SO (3) и вращение на 360 °.

Основная статья: Спин (физика)

Хотя можно было бы ожидать $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1$ (поворот на 360° является тождественным оператором), это не предполагается в квантовой механике, и оказывается, что это часто неверно: когда квантовое число полного углового момента представляет собой полуцелое число (1/2, 3/2 , и т. д.), $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1$, а когда оно целое, $R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$. Математически структура вращений во Вселенной не является SO(3) — группой трёхмерных вращений в классической механике. Вместо этого это SU(2) , который идентичен SO(3) для небольших вращений, но в котором вращение на 360° математически отличается от вращения на 0°. (Однако поворот на 720° аналогичен повороту на 0°.)

С другой стороны, $R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1$ при любых обстоятельствах, поскольку поворот пространственной конфигурации на 360° — это то же самое, что отсутствие вращения вообще. (Это отличается от вращения внутреннего ( спинового) состояния частицы на 360°, которое может совпадать, а может и не совпадать с отсутствием вращения вообще.) Другими словами, $R_{\text{spatial}}$ операторы несут структуру SO(3) , а $R$ и $R_{\text{internal}}$ несут структуру SU(2) .

Из уравнения $+1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)$, выбирают собственное состояние $L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle$ и рисует $$e^{-2\pi im}=1$$то есть квантовые числа орбитального углового момента могут быть только целыми, а не полуцелыми числами.

Связь с теорией представлений

Основные статьи: Физика частиц и теория представлений , Теория представлений SU (2) и Группа вращения SO (3) § Замечание об алгебрах Ли

Начиная с определенного квантового состояния $|\psi _{0}\rangle$, рассмотрим набор состояний $R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle$ для всех возможных ${\hat {n}}$ и $\phi$, то есть набор состояний, возникающих в результате вращения исходного состояния всеми возможными способами. Линейная область этого набора представляет собой векторное пространство , и поэтому способ, которым операторы вращения отображают одно состояние в другое, является представлением группы операторов вращения.

Когда операторы вращения действуют на квантовые состояния, они образуют представление группы Ли SU(2) (для R и R _{внутреннего} ) или SO(3) (для R _{пространственного} ).

Из связи между J и операторами вращения:

Когда операторы углового момента действуют на квантовые состояния, они образуют представление алгебры Ли. ${\mathfrak {su}}(2)$ или ${\mathfrak {so}}(3)$.

(Алгебры Ли групп SU(2) и SO(3) идентичны.)

Приведенный выше вывод лестничного оператора представляет собой метод классификации представлений алгебры Ли SU (2).

Связь с коммутационными отношениями

Классические вращения не коммутируют друг с другом: например, поворот на 1° вокруг оси X , затем на 1° вокруг оси Y , дает немного другой общий поворот, чем поворот на 1° вокруг оси Y , а затем на 1° вокруг X. оси ось. Тщательно анализируя эту некоммутативность, можно вывести коммутационные соотношения операторов углового момента.

(Эта же вычислительная процедура является одним из способов ответить на математический вопрос: «Что такое алгебра Ли групп Ли SO(3) или SU(2) ?»)

Сохранение углового момента

Гамильтониан представляет энергию H и динамику системы. В сферически симметричной ситуации гамильтониан инвариантен относительно вращений: $$RHR^{-1}=H$$где R — оператор вращения . Как следствие, $[H,R]=0$, а потом $[H,\mathbf {J} ]=\mathbf {0}$ отношений между J и R. из- за По теореме Эренфеста следует, что J сохраняется.

Подводя итог, если H вращательно-инвариантен (сферически симметричен), то полный угловой момент J сохраняется. Это пример теоремы Нётер .

Если H — это просто гамильтониан для одной частицы, полный угловой момент этой частицы сохраняется, когда частица находится в центральном потенциале (т. е. когда функция потенциальной энергии зависит только от $\left|\mathbf {r} \right|$). Альтернативно, H может быть гамильтонианом всех частиц и полей во Вселенной, и тогда H всегда инвариантен относительно вращения, поскольку фундаментальные законы физики Вселенной одинаковы независимо от ориентации. Это является основанием для того, чтобы сказать, что сохранение углового момента является общим принципом физики.

Для частицы без спина J = L , поэтому орбитальный угловой момент сохраняется при тех же обстоятельствах. Когда спин ненулевой, спин-орбитальное взаимодействие позволяет угловому моменту передаваться из L в S или обратно. Следовательно, L сам по себе не сохраняется.

Муфта углового момента

Основные статьи: Связь по угловому моменту и коэффициенты Клебша – Гордана

Часто два или более видов углового момента взаимодействуют друг с другом, так что угловой момент может передаваться от одного к другому. Например, при спин-орбитальном взаимодействии угловой момент может передаваться между L и S только общий J = L + S. , но сохраняется В другом примере в атоме с двумя электронами каждый имеет свой угловой момент J ₁ и J ₂ только суммарный J = J ₁ + J ₂ , но сохраняется .

В таких ситуациях часто бывает полезно знать взаимосвязь между, с одной стороны, состояниями, в которых $\left(J_{1}\right)_{z},\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)_{z},\left(J_{2}\right)^{2}$ все имеют определенные ценности, а с другой стороны, состояния, в которых $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2},J_{z}$ все они имеют определенные значения, поскольку последние четыре обычно сохраняются (константы движения). Процедура перехода между этими базами заключается в использовании коэффициентов Клебша – Гордана .

Одним из важных результатов в этой области является то, что связь между квантовыми числами для $\left(J_{1}\right)^{2},\left(J_{2}\right)^{2},J^{2}$: $$j\in \left\{\left|j_{1}-j_{2}\right|,\left(\left|j_{1}-j_{2}\right|+1\right),\ldots ,\left(j_{1}+j_{2}\right)\right\}.$$

Для атома или молекулы с J = L + S термин символ обозначает квантовые числа, связанные с операторами $L^{2},S^{2},J^{2}$.

Орбитальный угловой момент в сферических координатах

Операторы углового момента обычно возникают при решении задачи со сферической симметрией в сферических координатах . Угловой момент в пространственном представлении равен $${\begin{aligned}\mathbf {L} &=i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)\\&=i\hbar \left({\hat {\mathbf {x} }}\left(\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)+{\hat {\mathbf {y} }}\left(-\cos(\phi ){\frac {\partial }{\partial \theta }}+\cot(\theta )\sin(\phi ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)-{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)\\L_{+}&=\hbar e^{i\phi }\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L_{-}&=\hbar e^{-i\phi }\left(-{\frac {\partial }{\partial \theta }}+i\cot(\theta ){\frac {\partial }{\partial \phi }}\right),\\L^{2}&=-\hbar ^{2}\left({\frac {1}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin(\theta ){\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}(\theta )}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right),\\L_{z}&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.\end{aligned}}$$

В сферических координатах угловая часть оператора Лапласа может быть выражена через угловой момент. Это приводит к отношению $$\Delta ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\frac {L^{2}}{\hbar ^{2}r^{2}}}.$$

При решении найти собственные состояния оператора $L^{2}$, мы получаем следующее $${\begin{aligned}L^{2}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)\left|\ell ,m\right\rangle \\L_{z}\left|\ell ,m\right\rangle &=\hbar m\left|\ell ,m\right\rangle \end{aligned}}$$где $$\left\langle \theta ,\phi |\ell ,m\right\rangle =Y_{\ell ,m}(\theta ,\phi )$$являются сферическими гармониками .

См. также

• Вектор Рунге – Ленца (используется для описания формы и ориентации тел на орбите)
• Преобразование Гольштейна – Примакова
• Карта Джордана ( Швингера бозонная модель углового момента )
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Диаграммы углового момента (квантовая механика)
• Сферическая основа
• Тензорный оператор
• Орбитальная намагниченность
• Орбитальный угловой момент свободных электронов
• Орбитальный угловой момент света

Дальнейшее чтение

• Аберс, Э. (2004). Квантовая механика . Prentice Hall Inc. Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-13-146100-0 .
• Биденхарн, LC ; Лук, Джеймс Д. (1984). Угловой момент в квантовой физике: теория и применение . Энциклопедия математики и ее приложений. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Бибкод : 1984amqp.book.....B . дои : 10.1017/cbo9780511759888 . ISBN  978-0-521-30228-9 .
• Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (1983). Физика атомов и молекул . Лонгман. ISBN  0-582-44401-2 .
• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс, Мэтью. «Глава 18: Угловой момент» . Фейнмановские лекции по физике Vol. III (изд. «Новое тысячелетие»).
• МакМахон, Д. (2006). Квантовая механика демистифицирована . МакГроу Хилл (США). ISBN  0-07-145546 9 .
• Заре, Р.Н. (1991). Угловой момент. Понимание пространственных аспектов в химии и физике . Уайли-Интерсайенс. ISBN  978-0-47-1858928 .