Значение ожидания (квантовая механика)

В квантовой механике математическое ожидание — это вероятностное ожидаемое значение результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее всех возможных результатов измерения, взвешенное по их правдоподобию, и как таковое это не наиболее вероятное значение измерения; действительно, математическое ожидание может иметь нулевую вероятность появления (например, измерения, которые могут давать только целочисленные значения, могут иметь нецелое среднее значение). Это фундаментальная концепция во всех областях квантовой физики .

Операционное определение

Рассмотрим оператор $A$ . Тогда ожидаемое значение $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ в обозначениях Дирака с $|\psi \rangle$ вектор нормализованный состояния.

Формализм в квантовой механике

В квантовой теории экспериментальная установка описывается наблюдаемой $A$ подлежащее измерению, и состояние $\sigma$ системы. Ожидаемая стоимость $A$ в штате $\sigma$ обозначается как $\langle A\rangle _{\sigma }$ .

Математически, $A$ — самосопряженный оператор в сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве . В наиболее часто используемом случае в квантовой механике $\sigma$ представляет собой чистое состояние , описываемое нормализованным ^[а] вектор $\psi$ в гильбертовом пространстве. Ожидаемая стоимость $A$ в штате $\psi$ определяется как

\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .

( 1 )

Если рассматривать динамику , то либо вектор $\psi$ или оператор $A$ считается зависящим от времени в зависимости от того, ли изображение Шредингера или изображение Гейзенберга используется . Однако эволюция математического ожидания не зависит от этого выбора.

Если $A$ имеет полный набор собственных векторов $\phi _{j}$ , с собственными значениями $a_{j}$ , то ( 1 ) можно выразить как ^[1]

\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.

( 2 )

Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения $a_{j}$ возможные результаты эксперимента, ^[б] и соответствующий им коэффициент $|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}$ — вероятность того, что этот результат произойдет; ее часто называют вероятностью перехода .

Особенно простой случай возникает, когда $A$ является проекцией и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Физически это соответствует типу эксперимента «да-нет». В этом случае математическое ожидание — это вероятность того, что результат эксперимента будет равен «1», и его можно вычислить как

\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.

( 3 )

В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например оператор положения $X$ в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр с собственными значениями и собственными векторами, зависящими от непрерывного параметра: $x$ . В частности, оператор $X$ действует на пространственный вектор $|x\rangle$ как $X|x\rangle =x|x\rangle$ . ^[2] В этом случае вектор $\psi$ можно записать как комплексную функцию $\psi (x)$ по спектру $X$ (обычно реальная линия). Формально это достигается путем проектирования вектора состояния $|\psi \rangle$ на собственные значения оператора, как и в дискретном случае ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полную основу векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются соотношению полноты в квантовой механике : $\int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I}$

Вышеупомянутое можно использовать для получения общего интегрального выражения ожидаемого значения ( 4 ) путем вставки идентификаторов в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширения в базисе позиций:

{\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} |\psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*}x'\delta (x-x')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi (x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{aligned}}

Где соотношение ортонормированности базисных векторов положения $\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$ , сводит двойной интеграл к одному. В последней строке используется модуль комплексной функции. для замены $\psi ^{*}\psi$ с $|\psi |^{2}$ , что является обычной заменой в квантово-механических интегралах.

Затем математическое ожидание может быть указано, где $x$ не ограничено, как формула

\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.

( 4 )

Аналогичная формула справедлива для оператора импульса в системах, где он имеет непрерывный спектр.

Все приведенные выше формулы справедливы для чистых состояний. $\sigma$ только. В термодинамике и квантовой оптике важное значение также смешанные состояния имеют ; они описываются положительным трассировочного класса оператором ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ , статистический оператор или матрица плотности . Тогда математическое ожидание можно получить как

\langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.

( 5 )

Общая формулировка

В общем, квантовые состояния $\sigma$ описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, математически часто принимаемых за C*-алгебру . Ожидаемое значение наблюдаемой $A$ затем дается

\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).

( 6 )

Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве и если $\sigma$ является нормальным функционалом , т. е. непрерывен в сверхслабой топологии , то его можно записать в виде $\sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )$ с положительным трассировочного класса оператором $\rho$ следа 1. Это дает формулу ( 5 ), приведенную выше. В случае чистого состояния $\rho =|\psi \rangle \langle \psi |$ является проекцией на единичный вектор $\psi$ . Затем $\sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle$ , что дает формулу ( 1 ) выше.

$A$ предполагается самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни вполне дискретным, ни вполне непрерывным. Все же можно написать $A$ в спектральном разложении , $A=\int a\,dP(a)$ с проекционной мерой $P$ . Для ожидаемого значения $A$ в чистом виде $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$ , это означает $\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,$ что можно рассматривать как общее обобщение приведенных выше формул ( 2 ) и ( 4 ).

В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (в строгом смысле квантовой механики) рассматриваемые состояния, как правило, являются нормальными. ^{[ нужны разъяснения ]}. Однако в других областях квантовой теории используются и ненормальные состояния: они возникают, например. в виде состояний КМС в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред, ^[3] и как заряженные состояния в квантовой теории поля . ^[4] В этих случаях математическое ожидание определяется только по более общей формуле ( 6 ).

Пример в пространстве конфигурации

В качестве примера рассмотрим квантовомеханическую частицу в одном пространственном измерении, в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство ${\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )$ , пространство интегрируемых с квадратом функций на действительной прямой. Векторы $\psi \in {\mathcal {H}}$ представлены функциями $\psi (x)$ , называемые волновыми функциями . Скалярное произведение определяется выражением ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$ . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей:

\rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx

дает вероятность найти частицу в бесконечно малом интервале длины $dx$ о каком-то моменте $x$ .

В качестве наблюдаемой рассмотрим оператор положения $Q$ , который действует на волновые функции $\psi$ к $(Q\psi )(x)=x\psi (x).$

Ожидаемое значение или среднее значение измерений $Q$ выполняемые на очень большом количестве идентичных независимых систем, будут иметь вид $\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.$

Среднее значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не относится ко всем векторам. $\psi$ . Это связано с тем, что оператор позиции не ограничен , и $\psi$ должен выбираться из области определения .

В общем, математическое ожидание любой наблюдаемой можно вычислить, заменив $Q$ с соответствующим оператором. Например, чтобы вычислить средний импульс, в конфигурационном пространстве используется оператор импульса : ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$ . Явно его математическое ожидание равно

\langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.

Не все операторы в целом обеспечивают измеримую ценность. Оператор, имеющий чистое реальное математическое ожидание, называется наблюдаемой , и его значение можно непосредственно измерить в эксперименте.

См. также

Примечания

^ Эта статья всегда занимает $\psi$ иметь норму 1. Для ненормализованных векторов $\psi$ должен быть заменен на $\psi /\|\psi \|$ во всех формулах.
^ Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

Ссылки

^ Вероятность, ожидание и неопределенность
^ Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2 . Диу, Бернар, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островский, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0 . ОСЛК 1159410161 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Спрингер. ISBN 978-3-540-17093-8 . 2-е издание.
^ Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика . Спрингер. стр. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6 .

Дальнейшее чтение

Ожидаемое значение, в частности представленное в разделе « Формализм в квантовой механике », рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.

Для обсуждения концептуальных аспектов см.:

Ишам, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Издательство Имперского колледжа. ISBN 978-1-86094-001-9 .

[1] Эта статья всегда занимает $\psi$ иметь норму 1. Для ненормализованных векторов $\psi$ должен быть заменен на $\psi /\|\psi \|$ во всех формулах.

[3] Здесь предполагается, что собственные значения невырождены.

[2] Вероятность, ожидание и неопределенность

[4] Коэн-Таннуджи, Клод, 1933- (июнь 2020 г.). Квантовая механика. Том 2 . Диу, Бернар, Лалоэ, Франк, 1940-, Хемли, Сьюзан Рид, Островски, Николь, 1943-, Островский, Д.Б. Вайнхайм. ISBN 978-3-527-82272-0 . ОСЛК 1159410161 . {{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ) CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[5] Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Спрингер. ISBN 978-3-540-17093-8 . 2-е издание.

[6] Хааг, Рудольф (1996). Локальная квантовая физика . Спрингер. стр. Глава IV. ISBN 3-540-61451-6 .

[а]

[1]

[б]

[2]

[3]

[4]