состояние КМС

Состояние Кубо-Мартина-Швингера, изображенное на памятнике перед Варшавского университета. Центром новых технологий

В статистической механике квантово -механических систем и квантовой теории поля свойства системы, находящейся в тепловом равновесии, могут быть описаны математическим объектом, называемым Кубо-Мартина-Швингера ( КМС ) состоянием : состояние, удовлетворяющее условию КМС .

Рёго Кубо представил это состояние в 1957 году. Пол К. Мартин и Джулиан Швингер использовали его в 1959 году для определения термодинамических функций Грина : и Рудольф Хааг , Маринус Виннинк и Нико Хугенхольц использовали это условие в 1967 году для определения состояний равновесия и назвали его условием КМС.

Обзор

Самый простой случай для изучения — это конечномерное гильбертово пространство , в котором не встречаются такие сложности, как фазовые переходы или спонтанное нарушение симметрии . Матрица плотности теплового состояния имеет вид

$\rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}$

где H — Гамильтона оператор , а N — оператор числа частиц (или оператор заряда , если мы хотим быть более общими) и

$Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]$

это функция распределения . Мы предполагаем, что N коммутирует с H, или, другими словами, что число частиц сохраняется .

В картине Гейзенберга матрица плотности не меняется со временем, но операторы зависят от времени. В частности, перевод оператора A на τ в будущее дает оператор

$\alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }$.

Комбинация перевода времени с «вращением» внутренней симметрии дает более общую картину.

$\alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }$

Небольшие алгебраические манипуляции показывают, что ожидаемые значения

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }$

для любых двух операторов A и B и любого вещественного τ (ведь мы работаем с конечномерными гильбертовыми пространствами). Мы использовали тот факт, что матрица плотности коммутирует с любой функцией от ( H − µ N ) и что след является циклическим.

Как упоминалось ранее, с бесконечномерными гильбертовыми пространствами мы сталкиваемся со множеством проблем, таких как фазовые переходы, спонтанное нарушение симметрии, операторы, не относящиеся к ядерному классу , расходящиеся статистические суммы и т. д.

Комплексные функции z ​ , $\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle$ сходится в комплексной полосе $-\beta <\Im {z}<0$ тогда как $\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle$ сходится в комплексной полосе $0<\Im {z}<\beta$ если мы сделаем определенные технические предположения, например, спектр H Температура − µ N ограничен снизу и его плотность не увеличивается экспоненциально (см. Хагедорна ). Если функции сходятся, то они должны быть аналитическими в пределах полосы, в которой они определены как их производные:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle$

и

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle$

существовать.

Однако мы все равно можем определить состояние KMS как любое состояние, удовлетворяющее

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle$

с $\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle$ и $\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle$ являющиеся аналитическими функциями z в своих полосах области определения.

$\left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle$ и $\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle$ – граничные значения распределения рассматриваемых аналитических функций.

Это дает правильный термодинамический предел большого объема и большого числа частиц. Если имеет место фазовый переход или спонтанное нарушение симметрии, состояние КМС не является уникальным.

Матрица плотности состояния KMS связана с унитарными преобразованиями , включающими временные трансляции (или временные трансляции и преобразование внутренней симметрии для ненулевых химических потенциалов) через теорию Томиты-Такесаки .

См. также

• штат Гиббса