Статистическая сумма (квантовая теория поля)

В теории поля квантовой статистические суммы являются производящими функционалами для корреляционных функций , что делает их ключевыми объектами изучения в формализме интеграла по путям . Они представляют собой воображаемые версии статистических статистической механики сумм , порождающие тесную связь между этими двумя областями физики. Статистические суммы редко могут быть решены точно, хотя свободные теории допускают такие решения. Вместо этого обычно реализуется пертурбативный подход, эквивалентный суммированию по диаграммам Фейнмана .

Генерация функционала

Скалярные теории

В $d$-мерная теория поля с действительным скалярным полем $\phi$ и действие $S[\phi ]$статистическая сумма определяется в формализме интеграла по путям как функционал

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x)\phi (x)}$

где $J(x)$ является фиктивным источником тока . Он действует как производящий функционал для произвольных n-точечных корреляционных функций.

$G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-1)^{n}{\frac {1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.$

Используемые здесь производные являются функциональными производными, а не регулярными производными, поскольку они действуют на функционалы, а не на регулярные функции. Отсюда следует, что эквивалентное выражение для статистической суммы, напоминающей степенной ряд по токам источника, имеет вид

$Z[J]=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{n!}}\int \prod _{i=1}^{n}d^{d}x_{i}G(x_{1},\dots ,x_{n})J(x_{1})\cdots J(x_{n}).$

В искривленном пространстве-времени есть дополнительная тонкость, с которой необходимо иметь дело, поскольку начальное состояние вакуума не обязательно должно совпадать с конечным состоянием вакуума. Статистические суммы могут быть построены для составных операторов так же, как и для фундаментальных полей. Корреляционные функции этих операторов затем можно вычислить как функциональные производные этих функционалов. Например, статистическая сумма для составного оператора ${\mathcal {O}}(x)$ дается

$Z_{\mathcal {O}}[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{iS[\phi ]+i\int d^{d}xJ(x){\mathcal {O}}(x)}.$

Знание статистической суммы полностью решает теорию, поскольку позволяет напрямую вычислить все ее корреляционные функции. Однако случаев, когда статистическую сумму можно вычислить точно, очень мало. В то время как свободные теории допускают точные решения, взаимодействующие теории обычно этого не делают. Вместо этого статистическая сумма может быть вычислена при слабой связи пертурбативно, что представляет собой регулярную теорию возмущений с использованием диаграмм Фейнмана с $J$ вставки на внешних ножках. Коэффициенты симметрии для этих типов диаграмм отличаются от коэффициентов симметрии корреляционных функций, поскольку все внешние ветви имеют одинаковые $J$ вставки, которые можно менять местами, тогда как все внешние ветви корреляционных функций зафиксированы в определенных координатах и, следовательно, фиксированы.

Выполняя преобразование Вика , статистическую сумму можно выразить в евклидовом пространстве-времени как

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{-(S_{E}[\phi ]+\int d^{d}x_{E}J\phi )},$

где $S_{E}$ есть евклидово действие и $x_{E}$ являются евклидовыми координатами. Эта форма тесно связана со статистической суммой в статистической механике, тем более что евклидов лагранжиан обычно ограничен снизу, и в этом случае его можно интерпретировать как плотность энергии . Это также позволяет интерпретировать экспоненциальный коэффициент как статистический вес для конфигураций поля, при этом большие колебания значений градиента или поля приводят к большему подавлению. Эта связь со статистической механикой также дает дополнительное представление о том, как корреляционные функции должны вести себя в квантовой теории поля.

Общие теории

Большинство принципов скалярного случая справедливы и для более общих теорий с дополнительными полями. Каждое поле требует введения своего собственного фиктивного тока, а поля античастиц требуют своих собственных отдельных токов. Воздействие на статистическую сумму производной тока снижает связанное с ней поле из экспоненты, позволяя строить произвольные корреляционные функции. После дифференцирования токи устанавливаются равными нулю, когда желательны корреляционные функции в состоянии вакуума, но токи также могут быть установлены на принятие определенных значений для получения корреляционных функций в неисчезающих фоновых полях.

Для статистических сумм с Грассмана со значениями фермионными полями источники также имеют значения со значениями Грассмана. Например, теория с одним фермионом Дирака $\psi (x)$ требует введения двух токов Грассмана $\eta$ и ${\bar {\eta }}$ так что статистическая сумма равна

$Z[{\bar {\eta }},\eta ]=\int {\mathcal {D}}{\bar {\psi }}{\mathcal {D}}\psi \ e^{iS[\psi ,{\bar {\psi }}]+i\int d^{d}x({\bar {\eta }}\psi +{\bar {\psi }}\eta )}.$

Функциональные производные по ${\bar {\eta }}$ дают фермионные поля, а производные по $\eta$ дают антифермионные поля в корреляционных функциях.

поля

Теория теплового поля при температуре $T$ эквивалентно в евклидовом формализме теории с компактифицированным временным направлением длины $\beta =1/T$. Статистические суммы должны быть соответствующим образом модифицированы путем наложения условий периодичности на поля и евклидовы интегралы пространства-времени.

$Z[\beta ,J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-S_{E,\beta }[\phi ]+\int _{\beta }d^{d}x_{E}J\phi }{\bigg |}_{\phi ({\boldsymbol {x}},0)=\phi ({\boldsymbol {x}},\beta )}.$

Эту статистическую сумму можно принять как определение теории теплового поля в формализме мнимого времени. Корреляционные функции получаются из статистической суммы через обычные функциональные производные по токам.

$G_{n,\beta }(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\delta ^{n}Z[\beta ,J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}{\bigg |}_{J=0}.$

Бесплатные теории

Статистическая сумма может быть точно решена в свободных теориях путем заполнения квадрата через поля. Поскольку сдвиг на константу не влияет на меру интеграла по пути , это позволяет разделить статистическую сумму на константу пропорциональности $N$ возникающий из интеграла по пути, и второго члена, который зависит только от тока. Для скалярной теории это дает

$Z_{0}[J]=N\exp {\bigg (}-{\frac {1}{2}}\int d^{d}xd^{d}y\ J(x)\Delta _{F}(x-y)J(y){\bigg )},$

где $\Delta _{F}(x-y)$ Фейнмана в позиционном пространстве это пропагатор

$\Delta _{F}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.$

Эта статистическая сумма полностью определяет теорию свободного поля.

В случае теории с одним свободным фермионом Дирака пополнение квадрата дает статистическую сумму вида

$Z_{0}[{\bar {\eta }},\eta ]=N\exp {\bigg (}\int d^{d}xd^{d}y\ {\bar {\eta }}(y)\Delta _{D}(x-y)\eta (x){\bigg )},$

где $\Delta _{D}(x-y)$ - пропагатор Дирака в позиционном пространстве

$\Delta _{D}(x-y)=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}.$

Дальнейшее чтение

• Ашок Дас, Теория поля: интегральный подход , 2-е издание, World Scientific (Сингапур, 2006 г.); мягкая обложка ISBN   978-9812568489 .
• Кляйнерт, Хаген , Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , 4-е издание, World Scientific (Сингапур, 2004 г.); мягкая обложка ISBN   981-238-107-4 (также доступен онлайн: PDF-файлы ) .
• Жан Зинн-Джастин (2009), Scholarpedia , 4 (2): 8674 .