Исходное поле

В теоретической физике исходное поле — это фоновое поле. $J$ связан с исходным полем $\phi$ как

$S_{\text{source}}=J\phi$.

Этот термин появляется в действии в Ричарда Фейнмана и формулировке интеграла по путям отвечает за теоретические взаимодействия. В формулировке Джулиана Швингера источник отвечает за создание или уничтожение (обнаружение) частиц. В реакции столкновения источником могут быть другие частицы, участвовавшие в столкновении. Таким образом, источник появляется в вакуумной амплитуде, действующей с обеих сторон на коррелятор функции Грина теории.

Теория источника Швингера вытекает из квантового принципа действия Швингера и может быть связана с формулировкой интеграла по путям как вариации относительно источника как такового. $\delta J$ соответствует полю $\phi$, то есть

$\delta J=\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~J(t)\phi (t)}$.

Также источник действует эффективно в области пространства-времени. Как видно из приведенных ниже примеров, исходное поле появляется в правой части уравнений движения (обычно уравнений в частных производных второго порядка ) для $\phi$. Когда поле $\phi$ – электромагнитный потенциал или метрический тензор , поле источника – электрический ток или тензор энергии-импульса соответственно.

С точки зрения статистических и нерелятивистских приложений, формулировка источника Швингера играет решающую роль в понимании многих неравновесных систем. Теория источников теоретически важна, поскольку она не нуждается ни в регуляризации дивергенции, ни в перенормировке.

формулировкой интеграла по пути и

В формулировке интеграла по путям Фейнмана с нормировкой ${\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]$, функция разделения

$Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}$

генерирует функции Грина ( корреляторы )

$G(t_{1},\cdots ,t_{N})=(-i)^{n}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{N})}}{\Bigg |}_{J=0}$ .

Чтобы понять, что $J$ является внешним движущим источником $\phi$. С точки зрения теории вероятностей, $Z[J]$ можно рассматривать как математическое ожидание функции $e^{J\phi }$. Это заставляет рассматривать гамильтониан вынужденного гармонического осциллятора как игрушечную модель.

${\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}a)$ где $E^{2}=m^{2}+{\vec {p}}^{2}$.

На самом деле ток реальный, то есть $J=J^{*}$. И лагранжиан ${\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}$ . С этого момента мы сбрасываем шляпу и звездочку. Помните, что канонического квантования состояния $\phi \sim (a^{\dagger }+a)$. В свете связи между статистической суммой и ее корреляторами изменение амплитуды вакуума дает

$\delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i{\Big \langle }0,x'_{0}{\Big |}\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\Big (}a^{\dagger }+a{\Big )}{\Big |}0,x''_{0}~{\Big \rangle }_{J}$, где $x_{0}'>x_{0}>x_{0}''$ .

Поскольку интеграл находится во временной области, его можно преобразовать Фурье вместе с операторами рождения/уничтожения так, что амплитуда в конечном итоге станет

$\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f){\Big ]}}$.

Легко заметить, что имеется особенность $f=E$ . Тогда мы сможем использовать $i\epsilon$-рецепт и сдвиг шеста $f-E+i\epsilon$ такой, что для $x_{0}>x_{0}'$ раскрыта функция Грина

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int dx_{0}~dx'_{0}J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0}){\Big ]}}\\&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if(x_{0}-x'_{0})}}{f-E+i\epsilon }}\end{aligned}}$

Последний результат представляет собой теорию источника Швингера для взаимодействующих скалярных полей и может быть обобщен на любые области пространства-времени. Обсуждаемые ниже примеры соответствуют метрике $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)$.

полей

Теория причинных возмущений объясняет, почему источники действуют слабо. Для слабого источника, испускающего частицы со спином 0 $J_{e}$ воздействуя на вакуумное состояние с амплитудой вероятности $\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1$, отдельная частица с импульсом $p$ и амплитуда $\langle p|0\rangle _{J_{e}}$ создается в определенной области пространства-времени $x'$. Затем еще один слабый источник $J_{a}$ поглощает эту единственную частицу в другой области пространства-времени $x$ такая, что амплитуда становится $\langle 0|p\rangle _{J_{a}}$. Таким образом, полная амплитуда вакуума определяется выражением

$\langle 0|0\rangle _{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx~dx'J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')$

где $\Delta (x-x')$ является распространителем (коррелятором) источников. Второй член последней амплитуды определяет статистическую сумму свободной скалярной теории поля . А для некоторой теории взаимодействия лагранжиан скалярного поля $\phi$ соединенный с током $J$ дается

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .$

Если добавить $-i\epsilon$ к массовому члену, то Фурье преобразует оба $J$ и $\phi$ в пространство импульсов, амплитуда вакуума становится

$\langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}J(-p)\right]\right)}$,

где ${\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}.$ Легко заметить, что ${\tilde {\phi }}(p)(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon ){\tilde {\phi }}(-p)$ Член указанной выше амплитуды может быть преобразован Фурье в ${\tilde {\phi }}(x)(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)J(x)$, то есть, $(\Box +m^{2}){\tilde {\phi }}=J$.

Таким образом, производящий функционал получается из статистической суммы следующим образом. Последний результат позволяет нам прочитать функцию раздела как

$Z[J]=Z[0]e^{{\frac {i}{2}}\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$, где $Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}~e^{-i\int dt~[{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\frac {1}{2}}(m^{2}-i\epsilon ){\tilde {\phi }}^{2}]}$, и $\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle$ - амплитуда вакуума, получаемая источником $\langle 0|0\rangle _{J}$. Следовательно, пропагатор определяется путем изменения статистической суммы следующим образом.

${\begin{aligned}{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}{\Bigg \vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\Bigg \{}Z[J]\left(\int d^{4}y'\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}yJ(y)\Delta (y-x')\right){\Bigg \}}{\Bigg \vert }_{J=0}={\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x'){\Bigg \vert }_{J=0}\\\quad \\&=\Delta (x-x').\end{aligned}}$Это мотивирует обсуждение приближения среднего поля ниже.

действие, аппроксимация среднего поля и

На основе теории источников Швингера Стивен Вайнберг заложил основы эффективной теории поля, получившей широкое признание среди физиков. Несмотря на « инцидент с обувью », Вайнберг отдал должное Швингеру за создание этой теоретической основы.

Все функции Грина могут быть формально найдены с помощью разложения Тейлора рассматриваемой суммы разбиения, как функция исходных полей. Этот метод обычно используется в в виде интеграла по траекториям формулировке квантовой теории поля . Общий метод использования таких полей источника для получения пропагаторов как в квантовых, статистических и других системах, так и в общих чертах. После переопределения статистической суммы в терминах повернутой Виком, амплитуды, $W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})$, функция распределения становится $Z[J]=e^{iW[J]}$. Можно представить $F[J]=iW[J]$, которая ведет себя как свободная энергия Гельмгольца в теориях теплового поля , поглотить комплексное число и, следовательно, $\ln Z[J]=F[J]$. Функция $F[J]$ также называется приведенным квантовым действием . И с помощью преобразования Лежандра мы можем изобрести «новый» эффективный функционал энергии, или эффективное действие , как

$\Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}xJ(x){\bar {\phi }}(x)$, с преобразованиями ${\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,~{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,~{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.$

Интегрирование при определении эффективного действия допускается заменять суммой по $\phi$, то есть, $\Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)$. Последнее уравнение напоминает термодинамическое соотношение $F=E-TS$ между свободной энергией Гельмгольца и энтропией. Теперь ясно, что тепловые и статистические теории поля в своей основе основаны на функциональном интегрировании и функциональных производных . Возвращаясь к преобразованиям Лежандра,

The $\langle \phi \rangle$ называется средним полем, очевидно, потому что $\langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i\int dt~[{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+J(t)\phi (t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}$, пока ${\bar {\phi }}$ является фоновым классическим полем . Поле $\phi$ разлагается на классическую часть ${\bar {\phi }}$ и колебательная часть $\eta$, то есть, $\phi ={\bar {\phi }}+\eta$, поэтому амплитуду вакуума можно вновь ввести как

$e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi$,

и любая функция ${\mathcal {F}}[\phi ]$ определяется как

$\langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]~\exp {{\Bigg \{}i{\Big [}S[\phi ]-{\Big (}{\frac {\delta }{\delta {\bar {\phi }}}}\Gamma [{\bar {\phi }}]{\Big )}\eta {\Big ]}}{\Bigg \}}~d\phi$,

где $S[\phi ]$ есть действие свободного лагранжиана. Последние два интеграла являются основой любой эффективной теории поля. Эта конструкция незаменима при изучении рассеяния ( формула приведения LSZ ), спонтанного нарушения симметрии , Тождества Уорда , нелинейные сигма-модели и теории низкой энергии . Кроме того, эта теоретическая основа порождает мысли, о которых в основном писал Брайс ДеВитт , который был аспирантом Швингера, о разработке канонической квантовой эффективной теории квантовой гравитации.

Вернемся к зеленым функциям действий. С $\Gamma [{\bar {\phi }}]$ представляет собой преобразование Лежандра $F[J]$, и $F[J]$ определяет N-точечный связанный коррелятор $G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}$, то соответствующий коррелятор, полученный из $F[J]$, известная как вершинная функция , определяется выражением $G_{\Gamma [J]}^{N,~c}={\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }$. Следовательно, в одночастичных неприводимых графах (обычно обозначаемых аббревиатурой 1PI ) связные двухточечные $F$-коррелятор определяется как обратный 2-точечному $\Gamma$-коррелятор, т.е. обычная приведенная корреляция есть $G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}$, а эффективная корреляция равна $G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}$. Для $J_{i}=J(x_{i})$, наиболее общие отношения между N-точками, соединенными $F[J]$ и $Z[J]$ являются

${\begin{aligned}{\frac {\delta ^{n}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{n-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{n-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}$ и

${\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{n}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{n-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{n-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{n-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}$

Теория источников для полей

Векторные поля

Для слабого источника, создающего миссионерскую частицу со спином 1 с общим током $J=J_{e}+J_{a}$ действуя на разные причинные точки пространства-времени $x_{0}>x_{0}'$, амплитуда вакуума равна

$\langle 0|0\rangle _{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right]\right)}$

В импульсном пространстве частица со спином 1 и массой покоя $m$ имеет определенный импульс $p_{\mu }=(m,0,0,0)$ в своей системе покоя, т.е. $p_{\mu }p^{\mu }=m^{2}$. Тогда амплитуда дает

${\begin{alignedat}{2}(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}(p_{\mu }J^{\mu }(p))^{T}~p_{\nu }J^{\nu }(p)&=(J_{\mu }(p))^{T}~J^{\mu }(p)-(J^{\mu }(p))^{T}~{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }}}{\Big |}_{on-shell}~J^{\nu }(p)\\&=(J^{\mu }(p))^{T}~\left[\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}}\right]~J^{\nu }(p)\end{alignedat}}$

где $\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)$ и $(J_{\mu }(p))^{T}$ это транспонирование $J_{\mu }(p)$. Последний результат совпадает с использованным пропагатором по вакуумной амплитуде в конфигурационном пространстве, т.е.

$\langle 0|TA_{\mu }(x)A_{\nu }(x')|0\rangle =-i\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{p_{\alpha }p^{\alpha }+i\epsilon }}\left[\eta _{\mu \nu }-(1-\xi ){\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{p_{\sigma }p^{\sigma }-\xi m^{2}}}\right]e^{ip^{\mu }(x_{\mu }-x'_{\mu })}$ .

Когда $\xi =1$, выбранная калибровка Фейнмана-'т Хофта делает спин-1 безмассовым. И когда $\xi =0$, выбранная калибровка Ландау делает спин-1 массивным. Безмассовый случай очевиден при изучении квантовой электродинамики . Массивный случай более интересен, поскольку ток не требуется сохранять. Однако ток можно улучшить аналогично тому, как улучшается тензор Белинфанте-Розенфельда, чтобы в конечном итоге он сохранялся. И чтобы получить уравнение движения массивного вектора, можно определить

$W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})={\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[J_{\mu }(x)\Delta (x-x')J^{\mu }(x')+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }J^{\mu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].$

Можно применить интегрирование по частям по второму члену, а затем выделить $\int dxJ_{\mu }(x)$ чтобы получить определение массивного поля со спином 1

$A_{\mu }(x)\equiv \int dx'\Delta (x-x')J^{\mu }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\left[\int dx'\Delta (x-x')\partial '_{\nu }J^{\nu }(x')\right].$

Кроме того, уравнение выше говорит, что $\partial _{\mu }A^{\mu }=(1/m^{2})\partial _{\mu }J^{\mu }$. Таким образом, уравнение движения можно записать в любой из следующих форм:

${\begin{aligned}(\Box +m^{2})A_{\mu }=J_{\mu }+{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\partial _{\mu }J^{\nu },\\(\Box +m^{2})A_{\mu }+\partial _{\nu }\partial _{\mu }A^{\nu }=J_{\mu }.\end{aligned}}$

полностью симметричные поля со

Для слабого источника на плоском фоне Минковского , создающего, а затем поглощающего частицу со спином 2 с общим переопределенным тензором энергии-импульса , действующую как ток, ${\bar {T}}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\eta _{\mu \alpha }{\bar {\eta }}_{\nu \beta }T^{\alpha \beta }$, где ${\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p)=(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}p_{\mu }p_{\nu })$ – тензор поляризации вакуума , амплитуда вакуума в компактном виде равна

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{\bar {T}}=\exp {\Big (}-{\frac {i}{2}}\int {\Big [}{\bar {T}}_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x'){\bar {T}}^{\mu \nu }(x')&+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\bar {T}}^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }{\bar {T}}^{\kappa \lambda }(x'){\Big ]}dx~dx'{\Big )},\end{aligned}}$

или

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{T}=\exp {\Bigg (}-{\frac {i}{2}}\int &{\Bigg [}T_{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')+{\frac {2}{m^{2}}}\eta _{\lambda \nu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }T^{\kappa \lambda }(x')\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }T^{\mu \nu }(x)\Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }(x)-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }T^{\mu \nu }(x)\right)\Delta (x-x')\left(\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right){\Bigg ]}dx~dx'{\Bigg )}.\end{aligned}}$

Эта амплитуда в импульсном пространстве дает (встроено транспонирование)

${\begin{aligned}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\mu \kappa }p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)\\&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }p^{\mu }p^{\kappa }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)+{\frac {1}{m^{4}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\mu }p^{\nu }p^{\kappa }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)=\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\eta ^{\mu \kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)&-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}\\&-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big (}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\{\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)\eta ^{\nu \lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p)-{\frac {1}{m^{2}}}{\bar {T}}_{\mu \nu }(p)p^{\nu }p^{\lambda }{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}=\\&{\bar {T}}_{\mu \nu }(p){\Big (}\eta ^{\mu \kappa }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\mu }p^{\kappa }{\Big )}{\Big (}\eta ^{\nu \lambda }-{\frac {1}{m^{2}}}p^{\nu }p^{\lambda }{\Big )}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }(p).\end{aligned}}$

А с учетом симметричных свойств источника последний результат можно записать как $T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)$, где оператор проектирования или преобразование Фурье оператора поля Якоби, полученное применением скобки Пайерлса к вариационному принципу Швингера , является $\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)={\frac {1}{2}}{\Big (}{\bar {\eta }}_{\mu \kappa }(p){\bar {\eta }}_{\nu \lambda }(p)+{\bar {\eta }}_{\mu \lambda }(p){\bar {\eta }}_{\nu \kappa }(p)-{\frac {2}{3}}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }(p){\bar {\eta }}_{\kappa \lambda }(p){\Big )}$.

В N-мерном плоском пространстве-времени 2/3 заменяется на 2/(N-1). А для безмассовых полей со спином 2 оператор проектирования определяется как $\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }^{m=0}={\frac {1}{2}}{\Big (}\eta _{\mu \kappa }\eta _{\nu \lambda }+\eta _{\mu \lambda }\eta _{\nu \kappa }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\eta _{\kappa \lambda }{\Big )}$.

Вместе с тождеством Уорда-Такахаши оператор проектора имеет решающее значение для проверки симметричных свойств поля, закона сохранения тока и разрешенных физических степеней свободы.

Стоит отметить, что тензор поляризации вакуума ${\bar {\eta }}_{\nu \beta }$ и улучшенный тензор энергии-импульса ${\bar {T}}^{\mu \nu }$ появляются в ранних версиях теорий массивной гравитации . Интересно, что теории массивной гравитации до недавнего времени не получили широкого признания из-за очевидных противоречий, полученных в начале 1970-х годов в исследованиях обмена одним полем со спином 2 между двумя источниками. Но в 2010 году подход dRGT Использование переопределения поля Штюкельберга привело к созданию последовательной ковариантизированной теории массивов, свободной от всех призраков и разрывов, полученных ранее.

Если посмотреть $\langle 0|0\rangle _{T}$ и следует той же процедуре, которая используется для определения массивных полей со спином 1, то массивные поля со спином 2 легко определить как

${\begin{aligned}h_{\mu \nu }(x)&=\int \Delta (x-x')T^{\mu \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \nu }(x')dx'-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\nu }\int \Delta (x-x')\partial '^{\kappa }T_{\kappa \mu }(x')dx'\\&+{\frac {1}{m^{4}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\int \Delta (x-x')\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')dx'\\&-{\frac {1}{3}}\left(\eta _{\mu \nu }-{\frac {1}{m^{2}}}\partial _{\mu }\partial _{\mu }\right)\int \Delta (x-x')\left[\eta _{\kappa \lambda }T^{\kappa \lambda }(x')-{\frac {1}{m^{2}}}\partial '_{\kappa }\partial '_{\lambda }T^{\kappa \lambda }(x')\right]dx'.\end{aligned}}$

Соответствующее условие расходимости читается $\partial ^{\mu }h_{\mu \nu }-\partial _{\nu }h={\frac {1}{m^{2}}}\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }$, где ток $\partial ^{\mu }T_{\mu \nu }$ не обязательно сохраняется (это не калибровочное условие, как в безмассовом случае). Но тензор энергии-импульса можно улучшить как ${\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}$ такой, что $\partial ^{\mu }{\mathfrak {T}}_{\mu \nu }=0$ по Белинфанте-Розенфельда конструкции . Таким образом, уравнение движения

$\left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }=T_{\mu \nu }+{\dfrac {1}{m^{2}}}\left(\partial _{\mu }\partial ^{\rho }T_{\rho \nu }+\partial _{\nu }\partial ^{\rho }T_{\rho \mu }-{\frac {1}{2}}~\eta _{\mu \nu }\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }\right)+{\frac {2}{3m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\partial ^{\rho }\partial ^{\sigma }T_{\rho \sigma }$

становится

$\left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\dfrac {1}{6m^{4}}}\left(\partial _{\mu }\partial _{\nu }-{\frac {1}{4}}~\eta _{\mu \nu }\square \right)\left(\square +3m^{2}\right){\mathfrak {T}}.$

Можно использовать условие дивергенции, чтобы разделить нефизические поля. $\partial ^{\mu }h_{\mu \nu }$ и $h$, поэтому уравнение движения упрощается как

$\left(\square +m^{2}\right)h_{\mu \nu }={\mathfrak {T}}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}~\eta _{\mu \nu }{\mathfrak {T}}-{\frac {1}{3m^{2}}}~\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathfrak {T}}$ .

Массивные полностью симметричные произвольные целочисленные спиновые поля

Можно обобщить $T^{\mu \nu }(p)$ источник, чтобы стать $S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)$ источник с более высоким спином такой, что $T^{\mu \nu }(p)\Pi _{\mu \nu \kappa \lambda }(p)T^{\kappa \lambda }(p)$ становится $S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)$ . Оператор обобщенного проецирования также помогает обобщить вектор электромагнитной поляризации. $e_{m}^{\mu }(p)$ квантованного электромагнитного векторного потенциала следующим образом. Для точек пространства-времени $x~{\text{and}}~x'$, теорема сложения сферических гармоник утверждает, что

$x^{\mu _{1}}\cdots x^{\mu _{\ell }}\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)x'^{\nu _{1}}\cdots x'^{\nu _{\ell }}={\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell ,m}(x)Y_{\ell ,m}^{*}(x')$ .

Также теория представлений пространства комплекснозначных однородных многочленов степени $\ell$ на единичной (N-1)-сфере определяет тензор поляризации как $e_{(m)}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}e_{(m)i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }},~\forall x_{i}\in S^{N-1}.$Тогда обобщенный вектор поляризации равен $e^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)~x_{\mu _{1}}\cdots x_{\mu _{\ell }}={\sqrt {{\frac {2^{\ell }(\ell !)^{2}}{(2\ell )!}}{\frac {4\pi }{2\ell +1}}}}~~Y_{\ell ,m}(x)$ .

А оператор проекции можно определить как $\Pi ^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)=\sum \limits _{m=-\ell }^{\ell }[e_{m}^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(p)]~[e_{m}^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)]^{*}$ .

Симметричные свойства оператора проектирования облегчают работу с вакуумной амплитудой в импульсном пространстве. Поэтому мы скорее выразим это через коррелятор $\Delta (x-x')$ в конфигурационном пространстве пишем

$\langle 0|0\rangle _{S}=\exp {{\Big [}{\frac {i}{2}}\int {\frac {dp^{4}}{(2\pi )^{4}}}S^{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }}(-p){\frac {\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{\ell }\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p)}{p_{\sigma }p^{\sigma }-m^{2}+i\epsilon }}S^{\nu _{1}\cdots \nu _{\ell }}(p){\Big ]}}$.

Смешанные симметричные произвольные спиновые поля

Кроме того, теоретически логично обобщить теорию источника для описания гипотетических калибровочных полей с антисимметричными и смешанно-симметричными свойствами в произвольных измерениях и произвольных спинах . Но следует позаботиться о нефизических степенях свободы в теории. Например, в N-мерностях и для смешанной симметричной безмассовой версии поля Куртрайта. $T_{[\mu \nu ]\lambda }$ и источник $S_{[\mu \nu ]\lambda }=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }T_{[\mu \nu ]\lambda }$ , амплитуда вакуума равна $\langle 0|0\rangle _{S}=\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\int dx~dx'\left[S_{[\mu \nu ]\lambda }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \nu ]\lambda }(x')+{\frac {2}{3-N}}S_{[\mu \alpha ]\alpha }(x)\Delta (x-x')S_{[\mu \beta ]\beta }(x')\right]\right)}$ что для теории с N=4 приводит к тому, что источник в конечном итоге обнаруживает, что это теория нефизического поля. Однако массовая версия сохраняется в N≥5.

Произвольные полуцелые спиновые поля

Для спин- ${\frac {1}{2}}$ фермионный пропагатор $S(x-x')=(p\!\!\!/+m)\Delta (x-x')$ и текущий $J=J_{e}+J_{a}$ как определено выше, амплитуда вакуума равна

${\begin{aligned}\langle 0|0\rangle _{J}&=\exp {{\Bigg [}{\frac {i}{2}}\int dxdx'~J(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x'){\Big )}~J(x'){\Bigg ]}}\\&=\langle 0|0\rangle _{J_{e}}\exp {{\Bigg [}i\int dxdx'~J_{e}(x)~{\Big (}\gamma ^{0}S(x-x')~{\Big )}~J_{a}(x'){\Bigg ]}}\langle 0|0\rangle _{J_{a}}.\end{aligned}}$

В импульсном пространстве приведенная амплитуда определяется выражением

$W_{\frac {1}{2}}=-{\frac {1}{3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J(-p){\Big [}\gamma ^{0}{\frac {p\!\!\!/+m}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J(p).$

Для спин- ${\frac {3}{2}}$ Фермионы -осцилляторы Рариты , $\Pi _{\mu \nu }={\bar {\eta }}_{\mu \nu }-{\frac {1}{3}}\gamma ^{\alpha }{\bar {\eta }}_{\alpha \mu }\gamma ^{\beta }{\bar {\eta }}_{\beta \nu }.$ Затем можно использовать $\gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }$ и оболочка $p\!\!\!/=-m$ получить

${\begin{aligned}W_{\frac {3}{2}}&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu }(-p)~{\Big [}\gamma ^{0}{\frac {(p\!\!\!/+m){\Big (}{\bar {\eta }}_{\mu \nu }|_{on-shell}-{\frac {1}{3}}\gamma ^{\alpha }{\bar {\eta }}_{\alpha \mu }|_{on-shell}\gamma ^{\beta }{\bar {\eta }}_{\beta \nu }|_{on-shell}{\Big )}}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J^{\nu }(p)\\&=-{\frac {2}{5}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu }(-p)~{\Big [}\gamma ^{0}{\frac {(\eta _{\mu \nu }-{\frac {p_{\mu }p_{\nu }}{m^{2}}})(p\!\!\!/+m)-{\frac {1}{3}}{\Big (}\gamma _{\mu }+{\frac {1}{m}}p_{\mu }{\Big )}{\Big (}p\!\!\!/+m{\Big )}{\Big (}\gamma _{\nu }+{\frac {1}{m}}p_{\nu }{\Big )}}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J^{\nu }(p).\end{aligned}}$

Приведенную метрику можно заменить ${\bar {\eta }}_{\mu \nu }$ с обычным $\eta _{\mu \nu }$ если источник $J_{\mu }$ заменяется на ${\bar {J}}_{\mu }(p)={\frac {2}{5}}\gamma ^{\alpha }\Pi _{\mu \alpha \nu \beta }\gamma ^{\beta }J^{\nu }(p).$

Для спин- $(j+{\frac {1}{2}})$, приведенные выше результаты можно обобщить на

$W_{j+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {j+1}{2j+3}}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}~J^{\mu _{1}\cdots \mu _{j}}(-p)~{\Big [}\gamma ^{0}{\frac {~\gamma ^{\alpha }~\Pi _{\mu _{1}\cdots \mu _{j}\alpha \nu _{1}\cdots \nu _{j}\beta }~\gamma ^{\beta }}{p^{2}-m^{2}}}{\Big ]}~J^{\nu _{1}\cdots \nu _{j}}(p).$

Фактор ${\frac {j+1}{2j+3}}$ получается из свойств оператора проецирования, бесследности тока и сохранения тока после проецирования оператором. Эти условия можно вывести из формулы Фирца-Паули. и Фанг-Фронсдал условия на самих полях. Лагранжевы формулировки массивных полей и их условия изучались Ламбодаром Сингхом и Карлом Хагеном . Нерелятивистская версия проекционных операторов, разработанная Чарльзом Земахом, еще одним учеником Швингера, широко используется в адронной спектроскопии. Метод Земаха можно было бы релятивистски улучшить, чтобы отображать ковариантные операторы проекции.

См. также

• Формализм Келдыша-Швингера.
• Функция осциллятора
• Уравнения Вигнера-Баргмана
• Уравнение Йооса – Вайнберга