Келдыш формализм

В неравновесной физике или формализм Келдыша формализм Келдыша-Швингера представляет собой общую основу для описания квантово-механической эволюции системы в неравновесном состоянии или систем, подверженных изменяющимся во времени внешним полям ( электрическому полю , магнитному полю и т. д.). . Исторически его предвосхитили работы Юлиана Швингера и почти одновременно предложил Леонид Келдыш. и отдельно Лео Каданофф и Гордон Бэйм . Дальнейшее развитие он получил у более поздних авторов, таких как О. В. Константинов и В. И. Перель .

Распространение ведомо-диссипативных открытых квантовых систем дано не только для бозонных систем, но и для фермионных систем.

Формализм Келдыша обеспечивает систематический способ изучения неравновесных систем, обычно основанный на двухточечных функциях, соответствующих возбуждениям в системе. Основным математическим объектом в формализме Келдыша является неравновесная функция Грина (NEGF), которая представляет собой двухточечную функцию полей частиц. В этом смысле он напоминает формализм Мацубары , который основан на равновесных функциях Грина в мнимом времени и рассматривает только равновесные системы.

Временная эволюция квантовой системы

Рассмотрим общую квантовомеханическую систему. Эта система имеет гамильтониан $H_{0}$. Пусть начальным состоянием системы будет чистое состояние $|n\rangle$. Если мы теперь добавим к этому гамильтониану зависящее от времени возмущение, скажем, $H'(t)$, полный гамильтониан $H(t)=H_{0}+H'(t)$ и, следовательно, система будет развиваться во времени под действием полного гамильтониана. В этом разделе мы увидим, как на самом деле работает временная эволюция в квантовой механике.

Рассмотрим эрмитов оператор ${\mathcal {O}}$. В представлении Гейзенберга о квантовой механике этот оператор зависит от времени, а состояние — нет. Ожидаемое значение оператора ${\mathcal {O}}(t)$ дается

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{U}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$

где из-за эволюции во времени операторов в картине Гейзенберга ${\mathcal {O}}(t)=U^{\dagger }(t,0){\mathcal {O}}(0)U(t,0)$. времени Унитарный оператор эволюции во $U(t_{2},t_{1})$ - упорядоченная по времени экспонента интеграла, $U(t_{2},t_{1})=T(e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}).$ (Обратите внимание, что если гамильтониан в один момент времени коммутирует с гамильтонианом в разное время, то это можно упростить до $U(t_{2},t_{1})=e^{-i\int _{t_{1}}^{t_{2}}H(t')dt'}$.)

Для пертурбативной квантовой механики и квантовой теории поля часто удобнее использовать картину взаимодействия . Оператор изображения взаимодействия

${\begin{aligned}{\mathcal {O_{I}}}(t)&={U_{0}}^{\dagger }(t,0)\,{\mathcal {O}}(0)\,U_{0}(t,0),\end{aligned}}$

где $U_{0}(t_{1},t_{2})=e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}$. Затем, определяя $S(t_{1},t_{2})=U_{0}^{\dagger }(t_{1},t_{2})U(t_{1},t_{2}),$ у нас есть

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(t,0){\mathcal {O_{I}}}(t)S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$

Поскольку унитарные операторы эволюции во времени удовлетворяют $U(t_{3},t_{2})U(t_{2},t_{1})=U(t_{3},t_{1})$, приведенное выше выражение можно переписать как

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{S}^{\dagger }(\infty ,0)S(\infty ,t){\mathcal {O_{I}}}(t)\,S(t,0)|n\rangle \\\end{aligned}}$,

или с $\infty$ заменяется любым значением времени, большим, чем $t$.

Упорядочение путей на контуре Келдыша

Мы можем записать приведенное выше выражение более кратко, чисто формально заменив каждый оператор $X(t)$ с контурно-упорядоченным оператором $X(c)$ , такой, что $c$ параметризует путь контура на оси времени, начиная с $t=0$, переходя к $t=\infty$, а затем возвращаясь к $t=0$. Этот путь известен как контур Келдыша. $X(c)$ имеет то же действие оператора, что и $X(t)$ (где $t$ значение времени, соответствующее $c$), но также содержит дополнительную информацию $c$ (то есть, строго говоря $X(c_{1})\neq X(c_{2})$ если $c_{1}\neq c_{2}$, даже если для соответствующих времен $X(t_{1})=X(t_{2})$).

Тогда мы можем ввести обозначение порядка путей на этом контуре, определив ${\mathcal {T_{c}}}(X^{(1)}(c_{1})X^{(2)}(c_{2})\ldots X^{(n)}(c_{n}))=(\pm 1)^{\sigma }X^{(\sigma (1))}(c_{\sigma (1)})X^{(\sigma (2))}(c_{\sigma (2)})\ldots X^{(\sigma (n))}(c_{\sigma (n)})$, где $\sigma$ является такой перестановкой, что $c_{\sigma (1)}<c_{\sigma (2)}<\ldots c_{\sigma (n)}$, а знаки плюс и минус относятся к бозонному и фермионному операторам соответственно. Обратите внимание, что это обобщение временного порядка .

В этих обозначениях приведенная выше временная эволюция записывается как

${\begin{aligned}\langle {\mathcal {O}}(t)\rangle &=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}({\mathcal {O(c)}}e^{-i\int dc'H'(c')})|n\rangle \end{aligned}}$

Где $c$ соответствует времени $t$ на передней ветви контура Келдыша, а интеграл по $c'$ проходит по всему контуру Келдыша. В оставшейся части статьи мы, как обычно, будем просто использовать обозначения $X(t)$ для $X(c)$ где $t$ время соответствует $c$, и ли $c$ находится в прямой или обратной ветви, выводится из контекста.

Грина

Неравновесная функция Грина определяется как ${\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|T\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle \end{aligned}}$.

Или, на картинке взаимодействия, ${\begin{aligned}iG(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T_{c}}}(e^{-i\int _{c}H'(t')dt'}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle \end{aligned}}$ . Мы можем разложить экспоненту в ряд Тейлора, чтобы получить ряд возмущений

$\sum _{j=0}^{\infty }\langle n|{\mathcal {T_{c}}}((-i\int _{t}(H'(t',+)+H'(t',-))dt')^{j}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2}))|n\rangle /j!$.

Это та же процедура, что и в равновесной диаграммной теории возмущений, но с той важной разницей, что включены как прямые, так и обратные ветви контура.

Если, как это часто бывает, $H'$ представляет собой полином или ряд как функцию элементарных полей $\psi$, мы можем организовать этот ряд возмущений в мономиальные члены и применить все возможные спаривания Вика к полям в каждом мономе, получив суммирование диаграмм Фейнмана . Однако ребра диаграммы Фейнмана соответствуют разным распространителям в зависимости от того, происходят ли парные операторы из прямой или обратной ветвей. А именно,

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{++}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {T}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},+)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{+-}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},+)|n\rangle \equiv G_{0}^{-+}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\pm \langle n|\psi (x_{2},t_{2})\psi (x_{1},t_{1})|n\rangle$

$\langle n|{\mathcal {T_{c}}}\psi (x_{1},t_{1},-)\psi (x_{2},t_{2},-)|n\rangle \equiv G_{0}^{--}(x_{1},t_{1},x_{2},t_{2})=\langle n|{\mathcal {\overline {T}}}\psi (x_{1},t_{1})\psi (x_{2},t_{2})|n\rangle$

где анти-временной порядок ${\mathcal {\overline {T}}}$ упорядочивает операторы способом, противоположным упорядочиванию по времени и $\pm$ войти $G_{0}^{-+}$ относится к бозонным или фермионным полям. Обратите внимание, что $G_{0}^{--}$ — это пропагатор, используемый в обычной теории основного состояния.

Таким образом, диаграммы Фейнмана для корреляционных функций могут быть построены и их значения вычислены так же, как и в теории основного состояния, за исключением следующих модификаций правил Фейнмана: Каждая внутренняя вершина диаграммы помечается либо $+$ или $-$, а внешние вершины помечены $-$. Тогда каждое (неперенормированное) ребро, направленное из вершины $a$ (с позицией $x_{a}$, время $t_{a}$ и подпиши $s_{a}$) в вершину $b$ (с позицией $x_{b}$, время $t_{b}$ и подпиши $s_{b}$) соответствует пропагатору $G_{0}^{s_{a}s_{b}}(x_{a},t_{a},x_{b},t_{b})$. Затем значения диаграммы для каждого выбора $\pm$ знаки (есть $2^{v}$ такой выбор, где $v$ — количество внутренних вершин) все складываются, чтобы найти общее значение диаграммы.

См. также

• Эффект спин-холла
• Эффект Кондо

Ссылки

Другое

1. Лифшиц Евгений Михайлович; Питаевский, Лев Петрович (1979). «Физическая кинетика». Наука, гл. ред. физико-математическая литература . 10 .
2. Джаухо, AP (5 октября 2006 г.). «Введение в метод неравновесной зеленой функции Келдыша» (PDF) . наноХАБ . Проверено 18 июня 2018 г.
3. Лейк, Роджер (13 января 2018 г.). «Применение формализма Келдыша к моделированию и анализу квантовых устройств» (PDF) . наноХАБ . Проверено 18 июня 2018 г.
4. Каменев, Алекс (11 декабря 2004 г.). «Теория многих тел неравновесных систем». arXiv : cond-mat/0412296 .
5. Кита, Такафуми (2010). «Введение в неравновесную статистическую механику с квантовым полем». Успехи теоретической физики . 123 (4): 581–658. arXiv : 1005.0393 . Бибкод : 2010PThPh.123..581K . дои : 10.1143/PTP.123.581 . S2CID   119165404 .
6. Рындык, Д.А.; Гутьеррес, Р.; Песня, Б.; Куниберти, Г. (2009). «Методы зеленой функции в лечении квантового транспорта на молекулярном уровне». Динамика переноса энергии в системах биоматериалов . Серия Спрингера по химической физике. Том. 93. Шпрингер Верлаг. стр. 213–335. arXiv : 0805.0628 . Бибкод : 2009SSCP...93..213R . дои : 10.1007/978-3-642-02306-4_9 . ISBN  9783642023057 . S2CID   118343568 .
7. Ген, Татара; Коно, Хироши; Шибата, Джунья (2008). «Микроскопический подход к динамике доменных стенок, управляемой током». Отчеты по физике . 468 (6): 213–301. arXiv : 0807.2894 . Бибкод : 2008PhR...468..213T . doi : 10.1016/j.physrep.2008.07.003 . S2CID   119257806 .
8. Джанлука Стефануччи и Роберт ван Леувен (2013). «Неравновесная теория квантовых систем многих тел: современное введение» (Cambridge University Press, 2013). DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9781139023979.
9. Роберт ван Леувен, Нильс Эрик Дален, Джанлука Стефануччи, Карл-Олоф Альмблад и Ульф фон Барт, «Введение в формализм Келдыша», Конспекты лекций по физике 706 , 33 (2006). arXiv:cond-mat/0506130