Порядок путей

Эта статья о перестановке произведения операторов в физике. Чтобы узнать о правильном порядке математических терминов, см. Упорядочение путей (переписывание терминов) .

В теоретической физике упорядочение путей — это процедура (или метаоператор ${\mathcal {P}}$), который упорядочивает произведение операторов в соответствии со значением выбранного параметра :

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\cdots O_{N}(\sigma _{N})\right\}\equiv O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\cdots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).$

Здесь p — перестановка , которая упорядочивает параметры по значению:

$p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}$

$\sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \cdots \leq \sigma _{p_{N}}.$

Например:

${\mathcal {P}}\left\{O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right\}=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).$

Примеры

Если оператор выражается не просто как произведение, а как функция другого оператора, мы должны сначала выполнить разложение Тейлора этой функции. Это случай петли Вильсона , которая определяется как экспонента, упорядоченная по пути, чтобы гарантировать, что петля Вильсона кодирует голономию калибровочной связи . Параметр σ , который определяет порядок, является параметром, описывающим контур , и поскольку контур замкнут, петля Вильсона должна быть определена как след , чтобы быть калибровочно-инвариантной .

Заказ времени

В квантовой теории поля полезно брать упорядоченное по времени произведение операторов. Эту операцию обозначим ${\mathcal {T}}$. (Хотя ${\mathcal {T}}$ часто называют «оператором временного упорядочения», строго говоря, он не является ни оператором состояний, ни супероператором операторов.)

Для двух операторов A ( x ) и B ( y ), которые зависят от местоположений x и y в пространстве-времени, мы определяем:

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:={\begin{cases}A(x)B(y)&{\text{if }}\tau _{x}>\tau _{y},\\\pm B(y)A(x)&{\text{if }}\tau _{x}<\tau _{y}.\end{cases}}$

Здесь $\tau _{x}$ и $\tau _{y}$ обозначают инвариантные скалярные временные координаты точек x и y.

Явно имеем

${\mathcal {T}}\left\{A(x)B(y)\right\}:=\theta (\tau _{x}-\tau _{y})A(x)B(y)\pm \theta (\tau _{y}-\tau _{x})B(y)A(x),$

где $\theta$ обозначает ступенчатую функцию Хевисайда , а $\pm$ зависит от того, являются ли операторы бозонными или фермионными по своей природе. Если бозонный, то всегда выбирается знак +, если фермионный, то знак будет зависеть от количества операторных перестановок, необходимых для достижения правильного временного порядка. Обратите внимание, что статистические факторы здесь не учитываются.

Поскольку операторы зависят от своего местоположения в пространстве-времени (то есть не только во времени), эта операция временного упорядочения не зависит от координат только в том случае, если операторы в пространственно-подобных точках, разделенных друг от друга, коммутируют . Вот почему необходимо использовать $\tau$ скорее, чем $t_{0}$, с $t_{0}$ обычно указывает на зависящий от координат времяподобный индекс точки пространства-времени. Обратите внимание, что порядок времени обычно записывается с увеличением аргумента времени справа налево.

общем, для произведения n полевых операторов A ₁ ( t ₁ ), …, An _В ( t _n ) упорядоченное по времени произведение операторов определяется следующим образом:

${\begin{aligned}{\mathcal {T}}\{A_{1}(t_{1})A_{2}(t_{2})\cdots A_{n}(t_{n})\}&=\sum _{p}\theta (t_{p_{1}}>t_{p_{2}}>\cdots >t_{p_{n}})\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\\&=\sum _{p}\left(\prod _{j=1}^{n-1}\theta (t_{p_{j}}-t_{p_{j+1}})\right)\varepsilon (p)A_{p_{1}}(t_{p_{1}})A_{p_{2}}(t_{p_{2}})\cdots A_{p_{n}}(t_{p_{n}})\end{aligned}}$

где сумма пробегает все p' s и симметричную группу степени перестановок n и

$\varepsilon (p)\equiv {\begin{cases}1&{\text{for bosonic operators,}}\\{\text{sign of the permutation}}&{\text{for fermionic operators.}}\end{cases}}$

S -матрица в квантовой теории поля является примером упорядоченного по времени произведения. S-матрицу, преобразующую состояние при t = −∞ в состояние при t = +∞ , также можно рассматривать как своего рода « голономию », аналогичную петле Вильсона . Мы получаем упорядоченное по времени выражение по следующей причине:

Начнем с этой простой формулы для экспоненты

$\exp h=\lim _{N\to \infty }\left(1+{\frac {h}{N}}\right)^{N}.$

Теперь рассмотрим оператор дискретной эволюции

$S=\cdots (1+h_{+3})(1+h_{+2})(1+h_{+1})(1+h_{0})(1+h_{-1})(1+h_{-2})\cdots$

где $1+h_{j}$ — оператор эволюции на бесконечно малом интервале времени $[j\varepsilon ,(j+1)\varepsilon ]$. Членами более высокого порядка можно пренебречь в пределе $\varepsilon \to 0$. Оператор $h_{j}$ определяется

$h_{j}={\frac {1}{i\hbar }}\int _{j\varepsilon }^{(j+1)\varepsilon }\,dt\int d^{3}x\,H({\vec {x}},t).$

Обратите внимание, что операторы эволюции за «прошлые» временные интервалы появляются в правой части произведения. Мы видим, что формула аналогична приведенному выше тождеству, которому удовлетворяет экспонента, и мы можем написать

$S={\mathcal {T}}\exp \left(\sum _{j=-\infty }^{\infty }h_{j}\right)={\mathcal {T}}\exp \left(\int dt\,d^{3}x\,{\frac {H({\vec {x}},t)}{i\hbar }}\right).$

Единственная тонкость, которую нам пришлось включить, — это оператор упорядочивания времени. ${\mathcal {T}}$ потому что факторы в произведении, определяющие S выше, также были упорядочены по времени (и операторы вообще не добираются до места работы), а оператор ${\mathcal {T}}$ гарантирует, что этот порядок будет сохранен.

См. также

• Упорядоченная экспонента (по сути, та же концепция)
• серия Дайсон
• Калибровочная теория
• S-матрица