Упорядоченная экспонента

Упорядоченная экспонента , также называемая упорядоченной по пути , — это математическая операция, определенная в некоммутативных алгебрах , эквивалентная экспоненте интеграла в экспонентой , коммутативных алгебрах . На практике упорядоченная экспонента используется в матричных и операторных алгебрах. Это своего рода интеграл произведения , или интеграл Вольтерра.

Определение

Пусть $A$ — алгебра над полем $K$ , а $a (t)$ — элемент $A$ , параметризованный действительными числами,

a:\mathbb {R} \to A.

Параметр $t$ в $a (t)$ в этом контексте часто называют параметром времени .

Упорядоченная экспонента $a$ обозначается

{\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t)\equiv {\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}dt'_{1}\cdots \int _{0}^{t}dt'_{n}\;{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}dt'_{1}\int _{0}^{t'_{1}}dt'_{2}\int _{0}^{t'_{2}}dt'_{3}\cdots \int _{0}^{t'_{n-1}}dt'_{n}\;a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\end{aligned}}

где член $n = 0$ равен 1 и где ${\mathcal {T}}$ — оператор упорядочивания времени . Это операция более высокого порядка, которая гарантирует, что экспонента упорядочена по времени, так что любой продукт $a (t)$ , который встречается в разложении экспоненты, упорядочивается так, что значение $t$ увеличивается справа налево от продукта. . Например:

{\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).

Требуется упорядочение по времени, поскольку произведения в алгебре не обязательно коммутативны.

Операция отображает параметризованный элемент на другой параметризованный элемент или символически:

\operatorname {OE} \mathrel {:} (\mathbb {R} \to A)\to (\mathbb {R} \to A).

Существуют различные способы более строгого определения этого интеграла.

Продукт экспонент

Упорядоченная экспонента может быть определена как интеграл левого произведения бесконечно малых экспонент или, что то же самое, как упорядоченное произведение экспонент в пределе , когда количество членов растет до бесконечности:

\operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t')\,dt'}\equiv \lim _{N\to \infty }\left(e^{a(t_{N})\,\Delta t}e^{a(t_{N-1})\,\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\,\Delta t}e^{a(t_{0})\,\Delta t}\right)

где моменты времени ${t 0, ..., t N}$ определяются как $t i \equiv i Δ t$ для $i = 0, ..., N$ и $Δ t \equiv t / N$ .

Упорядоченная экспонента на самом деле является геометрическим интегралом. ^{[ сломанный якорь ]}. ^[1]^[2]^[3]

Решение дифференциального уравнения

Упорядоченная экспонента является единственным решением задачи начального значения :

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)&=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\\[5pt]\operatorname {OE} [a](0)&=1.\end{aligned}}

Решение интегрального уравнения

Упорядоченная экспонента является решением интегрального уравнения :

\operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t')\,dt'.

Это уравнение эквивалентно предыдущей задаче начального значения.

Бесконечное расширение серии

Упорядоченную экспоненту можно определить как бесконечную сумму:

\operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1})\,dt_{1}+\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\;a(t_{1})a(t_{2})+\cdots .

Это можно получить путем рекурсивной подстановки интегрального уравнения в себя.

Пример

Учитывая многообразие $M$ где для $e\in TM$ с групповой трансформацией $g:e\mapsto ge$ оно держится в точке $x\in M$ :

de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0.

Здесь, $d$ обозначает внешнюю дифференциацию и $\operatorname {J} (x)$ – оператор связи (поле 1-й формы), действующий на $e(x)$ . При интегрировании приведенного выше уравнения оно сохраняется (теперь $\operatorname {J} (x)$ — оператор соединения, выраженный в координатной системе)

e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}J(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)

с оператором упорядочивания путей $\operatorname {P}$ который упорядочивает факторы в порядке пути $\gamma (t)\in M$ . Для особого случая, когда $\operatorname {J} (x)$ является антисимметричным оператором и $\gamma$ представляет собой бесконечно малый прямоугольник с длинами ребер $|u|,|v|$ и углы в точках $x,x+u,x+u+v,x+v,$ приведенное выше выражение упрощается следующим образом:

{\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x).\end{aligned}}

Следовательно, оно сохраняет тождество группового преобразования $\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}$ . Если $-\operatorname {J} (x)$ представляет собой плавную связь, расширяющуюся от величины до второго порядка в бесконечно малых количествах. $|u|,|v|$ для упорядоченной экспоненты получаем тождество с поправочным членом, пропорциональным тензору кривизны .

См. также

Ссылки

^ Майкл Гроссман и Роберт Кац. Неньютоновское исчисление , ISBN 0912938013 , 1972 г.
^ А.Е. Баширов, Э.М. Курпынар, А. Озяпыджи. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.
^ Люк Флорак и Ханс ван Ассен. «Мультипликативное исчисление в анализе биомедицинских изображений» , Журнал Mathematical Imaging and Vision, 2011.

Внешние ссылки

Сайт неньютоновского исчисления

[nnc-1] Майкл Гроссман и Роберт Кац. Неньютоновское исчисление , ISBN 0912938013 , 1972 г.

[2] А.Е. Баширов, Э.М. Курпынар, А. Озяпыджи. Мультипликативное исчисление и его приложения , Журнал математического анализа и приложений, 2008.

[FvA-3] Люк Флорак и Ханс ван Ассен. «Мультипликативное исчисление в анализе биомедицинских изображений» , Журнал Mathematical Imaging and Vision, 2011.

[1]

[2]

[3]